🗊Презентация Импульсное управление моделями экономической динамики

Импульсное управление моделями экономической динамики Научный руководитель: к.ф.-м.н. доцент кафедры ПМ Соколов В.А. Студент: Паршаков Р.В.

ЦЕЛЬ Исследование разрешимости краевых задач с импульсным управлением для динамических моделей экономики и нахождение импульсного управления

ЗАДАЧИ ЗАДАЧИ Модифицировать некоторые динамические модели экономики путем внедрения кусочно-постоянного запаздывания Сформулировать краевые задачи для этих моделей Преобразовать исходные задачи к задачам с импульсным управлением Получить решение дифференциальных уравнений с кусочно-постоянным запаздыванием в явном виде, которые описывают исследуемые динамические модели Доказать разрешимость преобразованных краевых задач для каждой модели Найти управления, позволяющие достигнуть к конечному моменту времени желаемых результатов

W – подстановка Азбелева Краевая задача: (1) (2) По числу ψ и функции можно найти такую функцию , что , и система уравнений Где , однозначно разрешима и ее решение имеет вид: (3) Здесь Краевая задача сводится к интегральному уравнению Фредгольма второго рода Уравнение заменяется интегральным уравнением Фредгольма второго рода с вырожденным ядром Исследуется обратимость матрицы А, построенной с заданной точностью по функциям

ТЕОРЕМА О РАЗРЕШИМОСТИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ Теорема: Пусть матрица обратима и выполнено неравенство , где Тогда краевая задача (1) – (2) однозначно разрешима, и ее решение имеет представление с точностью При естественных предположениях относительно ядра для любого заданного вырожденное ядро можно определить следующим образом:

ИМПУЛЬСНОЕ УПРАВЛЕНИЕ Краевая задача: (13) (14) (15) (15.1) где -фиксированный набор точек, , – постоянные, - характеристическая функция отрезка : Под решением уравнения (13) будем понимать такую функцию x , которая удовлетворяет ему всюду на отрезке , за исключением, быть может, точек .

МОДЕЛЬ ДИНАМИКИ ФОНДОВ В ДВУХОТРАСЛЕВОЙ ЭКОНОМИКЕ (СЛУЧАЙ НЕЗАВИСИМЫХ ОТРАСЛЕЙ). (17) Где - фонды, -эффективность использования фондов для развития отрасли, -скорость амортизации, - внешнее воздействие. Поставим задачу об - кратном изменении фондов к конечному моменту времени . (18) (19) Обозначим через вектор столбец с двумя компонентами , понимая под вектор столбец с двумя компонентами и вводя в рассмотрение вектор-столбец , , запишем систему в форме (20) (21)

МОДЕЛЬ ДИНАМИКИ ФОНДОВ В ДВУХОТРАСЛЕВОЙ ЭКОНОМИКЕ (СЛУЧАЙ НЕЗАВИСИМЫХ ОТРАСЛЕЙ) (22) где (23) (24) где

СИСТЕМА УРАВНЕНИЙ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ИМПУЛЬСНОГО УПРАВЛЕНИЯ

Решение краевой задачи

МОДЕЛЬ ДИНАМИКИ ФОНДОВ В ДВУХОТРАСЛЕВОЙ ЭКОНОМИКЕ (СЛУЧАЙ ЗАВИСИМЫХ ОТРАСЛЕЙ) Где - объем основных средств в момент времени - отрасли соответственно; - положительный коэффициент, характеризирующий эффективность использования основных средств - отрасли; - положительный коэффициент, характеризирующий эффективность использования основных средств- отрасли; - скорость выбытия основных средств - отрасли; - скорость выбытия основных средств - отрасли;- целая часть числа ; - инвестиционная политика в момент времени - отрасли соответственно; -натуральное число. Поставим задачу об - кратном изменении фондов к конечному моменту времени (27)

МОДЕЛЬ ДИНАМИКИ ФОНДОВ В ДВУХОТРАСЛЕВОЙ ЭКОНОМИКЕ (СЛУЧАЙ ЗАВИСИМЫХ ОТРАСЛЕЙ) Обозначим через вектор столбец с двумя компонентами , понимая под вектор столбец с двумя компонентами и вводя в рассмотрение матрицы , и вектор-столбец , запишем (26) в форме (28) Так же перезапишем краевое условие (27) (29) Введем импульсное управление (30) где (31) (32) где

МОДЕЛЬ ДИНАМИКИ ФОНДОВ В ДВУХОТРАСЛЕВОЙ ЭКОНОМИКЕ (СЛУЧАЙ ЗАВИСИМЫХ ОТРАСЛЕЙ) Получим в итоге систему уравнений для определения импульсного управления :

Решение краевой задачи

ЛИНЕЙНАЯ МОДЕЛЬ АЛЛЕНА РЫНКА ОДНОГО ТОВАРА С КУСОЧНО-ПОСТОЯННЫМ ЗАПАЗДЫВАНИЕМ ОБЪЕМА ПРЕДЛОЖЕНИЯ

Литература Соколов В.А., Губайдуллина Р.В. Об одной задаче импульсного управления в экономической динамике НАУКА И БИЗНЕС: ПУТИ РАЗВИТИЯ № 8(26) 2013 (ВАК) Соколов В.А., Стрикун Н.А. Об одной краевой задаче для модели Вальраса-Эванса-Самуэльсона рынка одного товара ПЕРСПЕКТИВЫ НАУКИ № 8(47) 2013 (РИНЦ) Симонов П.М. Об одном методе исследования динамических моделей микроэкономики ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА. ЭКОНОМИКА. № 1(20) 2014 (ВАК) Азбелев Н.В., Максимов В.П., Рахматуллина Л.Ф. Введение в теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.:Наука, 1991 Максимов В.П., Румянцев А.Н. Краевые задачи и задачи импульсного управления в экономической динамике. Конструктивное исследование ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. МАТЕМАТИКА № 5 1993 Аллен Р. Математическая экономия. М.:ИЛ, 1963 Гранберг А.Г. Динамические модели народного хозяйства: Учеб. Пособие для студентов вузов, обучающихся по спец. «Экономическая кибернетика». – М.:Экономика, 1985 Максимов В.П., Симонов П.М. Теория оптимального управления: Ч.2. Элементы теории линейных операторов и операторных уравнений: учеб. пособие; Перм. гос. ун-т.-Пермь, 2010

Спасибо за внимание