🗊Презентация Решение олимпиадных задач. Четность

ЧЕТНОСТЬ

1. Если в некоторой замкнутой цепочке чередуются объекты двух видов, то их четное число (и каждого вида поровну).

4. Если предметы можно разбить на пары, то их количество четно. 5. Сумма любого количества четных чисел четна. 6. Сумма четного числа нечетных чисел четна; сумма нечетного числа нечетных чисел нечетна. 7. Разность двух четных чисел – четна. Разность двух нечетных - четна. Разность четного и нечетного чисел в любом порядке – нечетна.

Задача 1. На плоскости расположено 13 шестеренок, соединенных по цепочке. Могут ли все шестеренки вращаться одновременно? А если шестеренок 14 ? Решение:

Решение: Решение:

Задача 2. 16 корзин расположили по кругу. Можно ли в них расположить 55 арбузов так, чтобы количество арбузов в любых двух соседних корзинах отличалось на 1 ?

Задача 3. Учитель написал на листе бумаги число 10. 25 учеников передают листок друг другу, и каждый прибавляет к числу или отнимает от него единицу - как хочет. Может ли в результате получиться число ноль?

Задача 4. Шахматный конь вышел с поля a1 и через несколько ходов вернулся на него. Докажите, что он сделал четное число ходов.

Задача 5. Разность двух целых чисел умножили на их произведение. Могло ли получиться число 45 045 ? Решение: Пусть 45 045=(x-y)*x*y. Рассмотрим случаи: 1. x- четное, y- четное (x-y)- четное и xy- четное, а произведение двух четных чисел четно, поскольку 45 045 число нечетное, то этот вариант невозможнен. 2. x-нечетное, y- четное или y – нечетное, x-четное (x-y)-нечетное и xy- четное, а произведение нечетного и четного чисел четно, поскольку 45 045 число нечетное, то этот вариант невозможен. 3. x-нечетное, y- нечетное (x-y)- четное и xy-нечетное, а произведение нечетного и четного чисел четно, поскольку 45 045 число нечетное, то этот вариант невозможен. Вывод: Не могло получиться 45 045.

Задача 6. На доске записано 15 чисел: 8 нулей и 7 единиц. Вам предлагается 14 раз подряд выполнить такую операцию: зачеркнуть любые два числа и если они одинаковые, то допишите к оставшимся числам нуль, а если они разные, то единицу. Какое число останется на доске?