🗊Презентация Числовые, функциональные и степенные ряды

Категория: Математика
Нажмите для полного просмотра!
Числовые, функциональные и степенные ряды, слайд №1Числовые, функциональные и степенные ряды, слайд №2Числовые, функциональные и степенные ряды, слайд №3Числовые, функциональные и степенные ряды, слайд №4Числовые, функциональные и степенные ряды, слайд №5Числовые, функциональные и степенные ряды, слайд №6Числовые, функциональные и степенные ряды, слайд №7Числовые, функциональные и степенные ряды, слайд №8Числовые, функциональные и степенные ряды, слайд №9Числовые, функциональные и степенные ряды, слайд №10Числовые, функциональные и степенные ряды, слайд №11Числовые, функциональные и степенные ряды, слайд №12Числовые, функциональные и степенные ряды, слайд №13Числовые, функциональные и степенные ряды, слайд №14Числовые, функциональные и степенные ряды, слайд №15Числовые, функциональные и степенные ряды, слайд №16Числовые, функциональные и степенные ряды, слайд №17Числовые, функциональные и степенные ряды, слайд №18Числовые, функциональные и степенные ряды, слайд №19Числовые, функциональные и степенные ряды, слайд №20Числовые, функциональные и степенные ряды, слайд №21Числовые, функциональные и степенные ряды, слайд №22Числовые, функциональные и степенные ряды, слайд №23Числовые, функциональные и степенные ряды, слайд №24Числовые, функциональные и степенные ряды, слайд №25Числовые, функциональные и степенные ряды, слайд №26Числовые, функциональные и степенные ряды, слайд №27Числовые, функциональные и степенные ряды, слайд №28Числовые, функциональные и степенные ряды, слайд №29Числовые, функциональные и степенные ряды, слайд №30Числовые, функциональные и степенные ряды, слайд №31Числовые, функциональные и степенные ряды, слайд №32Числовые, функциональные и степенные ряды, слайд №33Числовые, функциональные и степенные ряды, слайд №34Числовые, функциональные и степенные ряды, слайд №35Числовые, функциональные и степенные ряды, слайд №36Числовые, функциональные и степенные ряды, слайд №37Числовые, функциональные и степенные ряды, слайд №38Числовые, функциональные и степенные ряды, слайд №39Числовые, функциональные и степенные ряды, слайд №40Числовые, функциональные и степенные ряды, слайд №41Числовые, функциональные и степенные ряды, слайд №42Числовые, функциональные и степенные ряды, слайд №43Числовые, функциональные и степенные ряды, слайд №44Числовые, функциональные и степенные ряды, слайд №45Числовые, функциональные и степенные ряды, слайд №46Числовые, функциональные и степенные ряды, слайд №47Числовые, функциональные и степенные ряды, слайд №48Числовые, функциональные и степенные ряды, слайд №49Числовые, функциональные и степенные ряды, слайд №50Числовые, функциональные и степенные ряды, слайд №51Числовые, функциональные и степенные ряды, слайд №52
Скачать

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Числовые, функциональные и степенные ряды. Доклад-сообщение содержит 52 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1


Числовые, функциональные и степенные ряды, слайд №1
Описание слайда:

Слайд 2


Числовые, функциональные и степенные ряды, слайд №2
Описание слайда:

Слайд 3


Числовые, функциональные и степенные ряды, слайд №3
Описание слайда:

Слайд 4


Числовые, функциональные и степенные ряды, слайд №4
Описание слайда:

Слайд 5


Числовые, функциональные и степенные ряды, слайд №5
Описание слайда:

Слайд 6


Числовые, функциональные и степенные ряды, слайд №6
Описание слайда:

Слайд 7


Числовые, функциональные и степенные ряды, слайд №7
Описание слайда:

Слайд 8


Числовые, функциональные и степенные ряды, слайд №8
Описание слайда:

Слайд 9


Числовые, функциональные и степенные ряды, слайд №9
Описание слайда:

Слайд 10


Числовые, функциональные и степенные ряды, слайд №10
Описание слайда:

Слайд 11


Числовые, функциональные и степенные ряды, слайд №11
Описание слайда:

Слайд 12


Числовые, функциональные и степенные ряды, слайд №12
Описание слайда:

Слайд 13


Определение 1: Определение 1: Функциональным называется ряд, члены которого есть непрерывные функции от аргумента x: При x=n функциональный ряд становится числовым, который либо сходится, либо расходится.
Описание слайда:
Определение 1: Определение 1: Функциональным называется ряд, члены которого есть непрерывные функции от аргумента x: При x=n функциональный ряд становится числовым, который либо сходится, либо расходится.

Слайд 14


Рассмотрим геометрическую прогрессию со знаменателем х: Рассмотрим геометрическую прогрессию со знаменателем х: . Геометрическая прогрессия сходится, если ее знаменатель . Тогда она имеет сумму , которая очевидно является функцией от х.
Описание слайда:
Рассмотрим геометрическую прогрессию со знаменателем х: Рассмотрим геометрическую прогрессию со знаменателем х: . Геометрическая прогрессия сходится, если ее знаменатель . Тогда она имеет сумму , которая очевидно является функцией от х.

Слайд 15


Определение 2: Определение 2: Совокупность значений x, при которых ФР сходится, называется областью сходимости ряда. Сумма ФР может быть представлена:
Описание слайда:
Определение 2: Определение 2: Совокупность значений x, при которых ФР сходится, называется областью сходимости ряда. Сумма ФР может быть представлена:

Слайд 16


Определение 3: Определение 3: ФР называется равномерно сходящимся в некоторой области X, если для каждого сколь угодно малого ε>0 найдется такое N(ε)>0, что при n>N выполняется неравенство: S(x) – непрерывная функция
Описание слайда:
Определение 3: Определение 3: ФР называется равномерно сходящимся в некоторой области X, если для каждого сколь угодно малого ε>0 найдется такое N(ε)>0, что при n>N выполняется неравенство: S(x) – непрерывная функция

Слайд 17


Определение 4: Определение 4: Пусть даны: причем в некоторой области выполняется условие: Тогда
Описание слайда:
Определение 4: Определение 4: Пусть даны: причем в некоторой области выполняется условие: Тогда

Слайд 18


Если мажоранта функционального ряда сходится, то сходится и функциональный ряд абсолютно и равномерно. Если мажоранта функционального ряда сходится, то сходится и функциональный ряд абсолютно и равномерно.
Описание слайда:
Если мажоранта функционального ряда сходится, то сходится и функциональный ряд абсолютно и равномерно. Если мажоранта функционального ряда сходится, то сходится и функциональный ряд абсолютно и равномерно.

Слайд 19


Пусть даны функциональные ряды: Пусть даны функциональные ряды:
Описание слайда:
Пусть даны функциональные ряды: Пусть даны функциональные ряды:

Слайд 20


Определение 5: Определение 5: Функциональный ряд вида: называется степенным рядом.
Описание слайда:
Определение 5: Определение 5: Функциональный ряд вида: называется степенным рядом.

Слайд 21


Если степенной ряд сходится при x = x1, то он сходится для всех |x| < |x1|. Если степенной ряд сходится при x = x1, то он сходится для всех |x| < |x1|. Если степенной ряд расходится при x = x2, то он расходится для всех |x |> |x2|. Из теоремы следует, что существует такое положительное значение x = R, что при |x| < R степенной ряд сходится, а при |x| > R расходится, R - радиус сходимости.
Описание слайда:
Если степенной ряд сходится при x = x1, то он сходится для всех |x| < |x1|. Если степенной ряд сходится при x = x1, то он сходится для всех |x| < |x1|. Если степенной ряд расходится при x = x2, то он расходится для всех |x |> |x2|. Из теоремы следует, что существует такое положительное значение x = R, что при |x| < R степенной ряд сходится, а при |x| > R расходится, R - радиус сходимости.

Слайд 22


По признаку Даламбера: По признаку Даламбера:
Описание слайда:
По признаку Даламбера: По признаку Даламбера:

Слайд 23


По радикальному признаку Коши: По радикальному признаку Коши:
Описание слайда:
По радикальному признаку Коши: По радикальному признаку Коши:

Слайд 24


Определение 6: Определение 6: Рядом Тейлора функции f(x) называется степенной ряд вида: это есть разложение функции в окрестности точки x0. Коэффициентами являются производные высших порядков в точке x0, т.е. Для разложения в ряд Тейлора необходимо, чтобы f(x)существовала в x0 вместе со своими производными.
Описание слайда:
Определение 6: Определение 6: Рядом Тейлора функции f(x) называется степенной ряд вида: это есть разложение функции в окрестности точки x0. Коэффициентами являются производные высших порядков в точке x0, т.е. Для разложения в ряд Тейлора необходимо, чтобы f(x)существовала в x0 вместе со своими производными.

Слайд 25


Определение 6: Определение 6: Всякая функция f(x) бесконечно дифференцируемая в интервале |x-x0|<r может быть разложена в степенной ряд Тейлора, если в этом интервале остаток ряда стремится к нулю:
Описание слайда:
Определение 6: Определение 6: Всякая функция f(x) бесконечно дифференцируемая в интервале |x-x0|<r может быть разложена в степенной ряд Тейлора, если в этом интервале остаток ряда стремится к нулю:

Слайд 26


Определение 7: Определение 7: Рядом Маклорена функции f(x) называется степенной ряд вида: это есть разложение функции в окрестности точки x=0. Коэффициентами являются производные высших порядков в точке x=0, т.е. Для разложения в ряд Маклорена необходимо, чтобы f(x)существовала в x=0 вместе со своими производными.
Описание слайда:
Определение 7: Определение 7: Рядом Маклорена функции f(x) называется степенной ряд вида: это есть разложение функции в окрестности точки x=0. Коэффициентами являются производные высших порядков в точке x=0, т.е. Для разложения в ряд Маклорена необходимо, чтобы f(x)существовала в x=0 вместе со своими производными.

Слайд 27


Определение. Ряд Определение. Ряд называется степенным по степеням х . Ряд является степенным по степеням .
Описание слайда:
Определение. Ряд Определение. Ряд называется степенным по степеням х . Ряд является степенным по степеням .

Слайд 28


Для любого степенного ряда существует конечное неотрицательное число R - радиус сходимости - такое, что если , то при Для любого степенного ряда существует конечное неотрицательное число R - радиус сходимости - такое, что если , то при ряд сходится, а при расходится. Интервал называется интервалом сходимости степенного ряда. Если , то интервал сходимости представляет собой всю числовую прямую. Если же , то степенной ряд сходится лишь в точке х=0.
Описание слайда:
Для любого степенного ряда существует конечное неотрицательное число R - радиус сходимости - такое, что если , то при Для любого степенного ряда существует конечное неотрицательное число R - радиус сходимости - такое, что если , то при ряд сходится, а при расходится. Интервал называется интервалом сходимости степенного ряда. Если , то интервал сходимости представляет собой всю числовую прямую. Если же , то степенной ряд сходится лишь в точке х=0.

Слайд 29


Составим ряд из абсолютных величин членов степенного ряда и найдем интервал, в котором он будет сходиться, Тогда в этом интервале данный степенной ряд будет сходиться абсолютно. Согласно признаку Даламбера , если Составим ряд из абсолютных величин членов степенного ряда и найдем интервал, в котором он будет сходиться, Тогда в этом интервале данный степенной ряд будет сходиться абсолютно. Согласно признаку Даламбера , если ,то степенной ряд абсолютно сходится для всех х, удовлетворяющих этому условию.
Описание слайда:
Составим ряд из абсолютных величин членов степенного ряда и найдем интервал, в котором он будет сходиться, Тогда в этом интервале данный степенной ряд будет сходиться абсолютно. Согласно признаку Даламбера , если Составим ряд из абсолютных величин членов степенного ряда и найдем интервал, в котором он будет сходиться, Тогда в этом интервале данный степенной ряд будет сходиться абсолютно. Согласно признаку Даламбера , если ,то степенной ряд абсолютно сходится для всех х, удовлетворяющих этому условию.

Слайд 30


В этом случае ряд будет сходиться внутри интервала (-R,R),где R-это радиус сходимости ряда: В этом случае ряд будет сходиться внутри интервала (-R,R),где R-это радиус сходимости ряда: . За пределами этого интервала ряд будет расходиться, а на концах интервала, где , требуется дополнительное исследование.
Описание слайда:
В этом случае ряд будет сходиться внутри интервала (-R,R),где R-это радиус сходимости ряда: В этом случае ряд будет сходиться внутри интервала (-R,R),где R-это радиус сходимости ряда: . За пределами этого интервала ряд будет расходиться, а на концах интервала, где , требуется дополнительное исследование.

Слайд 31


Найти интервал сходимости ряда Найти интервал сходимости ряда . Следовательно, ряд сходится абсолютно в интервале (-1,1).
Описание слайда:
Найти интервал сходимости ряда Найти интервал сходимости ряда . Следовательно, ряд сходится абсолютно в интервале (-1,1).

Слайд 32


Положим . Тогда получим числовой ряд . Этот ряд расходится Положим . Тогда получим числовой ряд . Этот ряд расходится (сравните его с гармоническим рядом). Полагая x = -1, имеем знакочередующийся ряд , который сходится условно в силу теоремы Лейбница. Итак, степенной ряд сходится в промежутке [-1,1).
Описание слайда:
Положим . Тогда получим числовой ряд . Этот ряд расходится Положим . Тогда получим числовой ряд . Этот ряд расходится (сравните его с гармоническим рядом). Полагая x = -1, имеем знакочередующийся ряд , который сходится условно в силу теоремы Лейбница. Итак, степенной ряд сходится в промежутке [-1,1).

Слайд 33


Найти интервал сходимости степенного Найти интервал сходимости степенного ряда . Здесь , = .Тогда = =
Описание слайда:
Найти интервал сходимости степенного Найти интервал сходимости степенного ряда . Здесь , = .Тогда = =

Слайд 34


= . Но 0<1 всегда, т.е. независимо от x. Это означает, что степенной ряд сходится независимо от x, т.е. на всей числовой прямой. Итак, интервал сходимости ряда - это промежуток .
Описание слайда:
= . Но 0<1 всегда, т.е. независимо от x. Это означает, что степенной ряд сходится независимо от x, т.е. на всей числовой прямой. Итак, интервал сходимости ряда - это промежуток .

Слайд 35


Найти интервал сходимости ряда . Найти интервал сходимости ряда . = = = = . Этот предел может быть меньше единицы, если только x=0 (иначе он будет равен бесконечности). Это означает, что степенной ряд сходится лишь в точке x=0.
Описание слайда:
Найти интервал сходимости ряда . Найти интервал сходимости ряда . = = = = . Этот предел может быть меньше единицы, если только x=0 (иначе он будет равен бесконечности). Это означает, что степенной ряд сходится лишь в точке x=0.

Слайд 36


1. Сумма степенного ряда 1. Сумма степенного ряда является непрерывной функцией в каждой точке интервала сходимости этого ряда. Например, непрерывна , если .
Описание слайда:
1. Сумма степенного ряда 1. Сумма степенного ряда является непрерывной функцией в каждой точке интервала сходимости этого ряда. Например, непрерывна , если .

Слайд 37


2. Ряд, полученный почленным дифференцированием степенного ряда, является степенным рядом с тем же интервалом сходимости, что и данный ряд, причем :если 2. Ряд, полученный почленным дифференцированием степенного ряда, является степенным рядом с тем же интервалом сходимости, что и данный ряд, причем :если , то
Описание слайда:
2. Ряд, полученный почленным дифференцированием степенного ряда, является степенным рядом с тем же интервалом сходимости, что и данный ряд, причем :если 2. Ряд, полученный почленным дифференцированием степенного ряда, является степенным рядом с тем же интервалом сходимости, что и данный ряд, причем :если , то

Слайд 38


3. Степенной ряд можно почленно интегрировать на любом промежутке, целиком входящем в интервал сходимости степенного ряда, при этом 3. Степенной ряд можно почленно интегрировать на любом промежутке, целиком входящем в интервал сходимости степенного ряда, при этом где .
Описание слайда:
3. Степенной ряд можно почленно интегрировать на любом промежутке, целиком входящем в интервал сходимости степенного ряда, при этом 3. Степенной ряд можно почленно интегрировать на любом промежутке, целиком входящем в интервал сходимости степенного ряда, при этом где .

Слайд 39


Определение. Если бесконечно дифференцируемая функция является суммой степенного ряда, то говорят, что она разлагается в степенной ряд . Определение. Если бесконечно дифференцируемая функция является суммой степенного ряда, то говорят, что она разлагается в степенной ряд . Опр. Рядом Тейлора функции f(x) называется ряд, коэффициенты которого определяются по формулам , т.е. ряд или .
Описание слайда:
Определение. Если бесконечно дифференцируемая функция является суммой степенного ряда, то говорят, что она разлагается в степенной ряд . Определение. Если бесконечно дифференцируемая функция является суммой степенного ряда, то говорят, что она разлагается в степенной ряд . Опр. Рядом Тейлора функции f(x) называется ряд, коэффициенты которого определяются по формулам , т.е. ряд или .

Слайд 40


Теорема. Если в некоторой окрестности точки Теорема. Если в некоторой окрестности точки , то ряд справа есть ее ряд Тейлора. Короче: если функция представлена в виде степенного ряда, то этот ряд является ее рядом Тейлора. Представление функции ее рядом Тейлора единственно.
Описание слайда:
Теорема. Если в некоторой окрестности точки Теорема. Если в некоторой окрестности точки , то ряд справа есть ее ряд Тейлора. Короче: если функция представлена в виде степенного ряда, то этот ряд является ее рядом Тейлора. Представление функции ее рядом Тейлора единственно.

Слайд 41


Рассмотрим n-ю частичную сумму ряда Тейлора: Рассмотрим n-ю частичную сумму ряда Тейлора: Этот многочлен называется многочленом Тейлора функции . Разность называется остаточным членом ряда Тейлора.
Описание слайда:
Рассмотрим n-ю частичную сумму ряда Тейлора: Рассмотрим n-ю частичную сумму ряда Тейлора: Этот многочлен называется многочленом Тейлора функции . Разность называется остаточным членом ряда Тейлора.

Слайд 42


Остаточный член в форме Лагранжа имеет вид: Остаточный член в форме Лагранжа имеет вид: Тогда называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
Описание слайда:
Остаточный член в форме Лагранжа имеет вид: Остаточный член в форме Лагранжа имеет вид: Тогда называется формулой Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.

Слайд 43


Для того чтобы функцию можно было разложить в ряд Тейлора на интервале(-R,R),необходимо и достаточно, чтобы функция на этом интервале имела производные всех порядков и чтобы остаточный член формулы Тейлора стремился к нулю при всех Для того чтобы функцию можно было разложить в ряд Тейлора на интервале(-R,R),необходимо и достаточно, чтобы функция на этом интервале имела производные всех порядков и чтобы остаточный член формулы Тейлора стремился к нулю при всех
Описание слайда:
Для того чтобы функцию можно было разложить в ряд Тейлора на интервале(-R,R),необходимо и достаточно, чтобы функция на этом интервале имела производные всех порядков и чтобы остаточный член формулы Тейлора стремился к нулю при всех Для того чтобы функцию можно было разложить в ряд Тейлора на интервале(-R,R),необходимо и достаточно, чтобы функция на этом интервале имела производные всех порядков и чтобы остаточный член формулы Тейлора стремился к нулю при всех

Слайд 44


Если функция f(x) на интервале (-R,R) бесконечно дифференцируема и ее производные равномерно ограничены в совокупности, т. е. существует такая константа М, что для всех Если функция f(x) на интервале (-R,R) бесконечно дифференцируема и ее производные равномерно ограничены в совокупности, т. е. существует такая константа М, что для всех выполняется условие при п=0,1,2,…, то функцию можно разложить в ряд Тейлора на этом интервале.
Описание слайда:
Если функция f(x) на интервале (-R,R) бесконечно дифференцируема и ее производные равномерно ограничены в совокупности, т. е. существует такая константа М, что для всех Если функция f(x) на интервале (-R,R) бесконечно дифференцируема и ее производные равномерно ограничены в совокупности, т. е. существует такая константа М, что для всех выполняется условие при п=0,1,2,…, то функцию можно разложить в ряд Тейлора на этом интервале.

Слайд 45


Все производные этой функции совпадают с самой функцией, а в точке х=0 они равны 1. Составим для функции формально ряд Маклорена: Все производные этой функции совпадают с самой функцией, а в точке х=0 они равны 1. Составим для функции формально ряд Маклорена: Этот ряд, очевидно, сходится на всей числовой оси. Но все производные функции равномерно ограничены, т. к. , где R-любое число из интервала сходимости. Поэтому этот ряд сходится именно к функции
Описание слайда:
Все производные этой функции совпадают с самой функцией, а в точке х=0 они равны 1. Составим для функции формально ряд Маклорена: Все производные этой функции совпадают с самой функцией, а в точке х=0 они равны 1. Составим для функции формально ряд Маклорена: Этот ряд, очевидно, сходится на всей числовой оси. Но все производные функции равномерно ограничены, т. к. , где R-любое число из интервала сходимости. Поэтому этот ряд сходится именно к функции

Слайд 46


Вычислим производные синуса: Вычислим производные синуса:
Описание слайда:
Вычислим производные синуса: Вычислим производные синуса:

Слайд 47


Ясно, что все производные синуса не превосходят по модулю единицу. Так что запишем ряд, который будет разложением синуса: Ясно, что все производные синуса не превосходят по модулю единицу. Так что запишем ряд, который будет разложением синуса: при этом видно, что этот ряд сходится на всей числовой оси.
Описание слайда:
Ясно, что все производные синуса не превосходят по модулю единицу. Так что запишем ряд, который будет разложением синуса: Ясно, что все производные синуса не превосходят по модулю единицу. Так что запишем ряд, который будет разложением синуса: при этом видно, что этот ряд сходится на всей числовой оси.

Слайд 48


Разложения 1–7 позволяют, используя соответствующее разложение, вычислять приближенно значения функций, интегралы, приближенно интегрировать дифференциальные уравнения. Разложения 1–7 позволяют, используя соответствующее разложение, вычислять приближенно значения функций, интегралы, приближенно интегрировать дифференциальные уравнения. Пример . С помощью степенного ряда вычислить с точностью до 0,0001
Описание слайда:
Разложения 1–7 позволяют, используя соответствующее разложение, вычислять приближенно значения функций, интегралы, приближенно интегрировать дифференциальные уравнения. Разложения 1–7 позволяют, используя соответствующее разложение, вычислять приближенно значения функций, интегралы, приближенно интегрировать дифференциальные уравнения. Пример . С помощью степенного ряда вычислить с точностью до 0,0001

Слайд 49


Разложим подынтегральную функцию в степенной ряд: Разложим подынтегральную функцию в степенной ряд:
Описание слайда:
Разложим подынтегральную функцию в степенной ряд: Разложим подынтегральную функцию в степенной ряд:

Слайд 50


Так как получившийся ряд является знакочередующимся, то сумма знакочередующегося ряда не превосходит первого члена такого ряда. Ясно, что часть ряда, которую в задаче следует отбросить, также является знакочередующимся рядом и его сумма не превзойдет модуля первого отброшенного члена ряда. Таким образом, первый отброшенный член ряда должен быть меньше заданной погрешности, т.е. 0,0001.
Описание слайда:
Так как получившийся ряд является знакочередующимся, то сумма знакочередующегося ряда не превосходит первого члена такого ряда. Ясно, что часть ряда, которую в задаче следует отбросить, также является знакочередующимся рядом и его сумма не превзойдет модуля первого отброшенного члена ряда. Таким образом, первый отброшенный член ряда должен быть меньше заданной погрешности, т.е. 0,0001.

Слайд 51


Вычислив еще несколько членов ряда Вычислив еще несколько членов ряда видим, что Отбросив этот и следующие за ним члены ряда, получим:
Описание слайда:
Вычислив еще несколько членов ряда Вычислив еще несколько членов ряда видим, что Отбросив этот и следующие за ним члены ряда, получим:

Слайд 52


Вычислить с точностью до 0,001.Преобразуем Вычислить с точностью до 0,001.Преобразуем Воспользуемся биномиальным рядом при х=0,25 и
Описание слайда:
Вычислить с точностью до 0,001.Преобразуем Вычислить с точностью до 0,001.Преобразуем Воспользуемся биномиальным рядом при х=0,25 и

Скачать

Похожие презентации
Mypresentation.ru
Загрузить презентацию