Числовые характеристики одномерных и двумерных случайных величин

Нажмите для полного просмотра!

Числовые характеристики одномерных и двумерных случайных величин, слайд №2

Числовые характеристики одномерных и двумерных случайных величин, слайд №3

Числовые характеристики одномерных и двумерных случайных величин, слайд №4

Числовые характеристики одномерных и двумерных случайных величин, слайд №5

Числовые характеристики одномерных и двумерных случайных величин, слайд №6

Числовые характеристики одномерных и двумерных случайных величин, слайд №7

Числовые характеристики одномерных и двумерных случайных величин, слайд №8

Числовые характеристики одномерных и двумерных случайных величин, слайд №9

Числовые характеристики одномерных и двумерных случайных величин, слайд №10

Числовые характеристики одномерных и двумерных случайных величин, слайд №11

Числовые характеристики одномерных и двумерных случайных величин, слайд №12

Числовые характеристики одномерных и двумерных случайных величин, слайд №13

Числовые характеристики одномерных и двумерных случайных величин, слайд №14

Числовые характеристики одномерных и двумерных случайных величин, слайд №15

Числовые характеристики одномерных и двумерных случайных величин, слайд №16

Числовые характеристики одномерных и двумерных случайных величин, слайд №17

Числовые характеристики одномерных и двумерных случайных величин, слайд №18

Числовые характеристики одномерных и двумерных случайных величин, слайд №19

Числовые характеристики одномерных и двумерных случайных величин, слайд №20

Числовые характеристики одномерных и двумерных случайных величин, слайд №21

Числовые характеристики одномерных и двумерных случайных величин, слайд №22

Числовые характеристики одномерных и двумерных случайных величин, слайд №23

Числовые характеристики одномерных и двумерных случайных величин, слайд №24

Числовые характеристики одномерных и двумерных случайных величин, слайд №25

Числовые характеристики одномерных и двумерных случайных величин, слайд №26

Числовые характеристики одномерных и двумерных случайных величин, слайд №27

Числовые характеристики одномерных и двумерных случайных величин, слайд №28

Числовые характеристики одномерных и двумерных случайных величин, слайд №29

Числовые характеристики одномерных и двумерных случайных величин, слайд №30

Числовые характеристики одномерных и двумерных случайных величин, слайд №31

Числовые характеристики одномерных и двумерных случайных величин, слайд №32

Числовые характеристики одномерных и двумерных случайных величин, слайд №33

Числовые характеристики одномерных и двумерных случайных величин, слайд №34

Числовые характеристики одномерных и двумерных случайных величин, слайд №35

Числовые характеристики одномерных и двумерных случайных величин, слайд №36

Числовые характеристики одномерных и двумерных случайных величин, слайд №37

Числовые характеристики одномерных и двумерных случайных величин, слайд №38

Числовые характеристики одномерных и двумерных случайных величин, слайд №39

Числовые характеристики одномерных и двумерных случайных величин, слайд №40

Числовые характеристики одномерных и двумерных случайных величин, слайд №41

Числовые характеристики одномерных и двумерных случайных величин, слайд №42

Числовые характеристики одномерных и двумерных случайных величин, слайд №43

Числовые характеристики одномерных и двумерных случайных величин, слайд №44

Числовые характеристики одномерных и двумерных случайных величин, слайд №45

Числовые характеристики одномерных и двумерных случайных величин, слайд №46

Числовые характеристики одномерных и двумерных случайных величин, слайд №47

Числовые характеристики одномерных и двумерных случайных величин, слайд №48

Числовые характеристики одномерных и двумерных случайных величин, слайд №49

Числовые характеристики одномерных и двумерных случайных величин, слайд №50

Числовые характеристики одномерных и двумерных случайных величин, слайд №51

Числовые характеристики одномерных и двумерных случайных величин, слайд №52

Числовые характеристики одномерных и двумерных случайных величин, слайд №53

Числовые характеристики одномерных и двумерных случайных величин, слайд №54

Числовые характеристики одномерных и двумерных случайных величин, слайд №55

Числовые характеристики одномерных и двумерных случайных величин, слайд №56

Числовые характеристики одномерных и двумерных случайных величин, слайд №57

Числовые характеристики одномерных и двумерных случайных величин, слайд №58

Числовые характеристики одномерных и двумерных случайных величин, слайд №59

Числовые характеристики одномерных и двумерных случайных величин, слайд №60

Числовые характеристики одномерных и двумерных случайных величин, слайд №61

Числовые характеристики одномерных и двумерных случайных величин, слайд №62

Числовые характеристики одномерных и двумерных случайных величин, слайд №63

Числовые характеристики одномерных и двумерных случайных величин, слайд №64

Числовые характеристики одномерных и двумерных случайных величин, слайд №65

Числовые характеристики одномерных и двумерных случайных величин, слайд №66

Числовые характеристики одномерных и двумерных случайных величин, слайд №67

Числовые характеристики одномерных и двумерных случайных величин, слайд №68

Числовые характеристики одномерных и двумерных случайных величин, слайд №69

Числовые характеристики одномерных и двумерных случайных величин, слайд №70

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Числовые характеристики одномерных и двумерных случайных величин. Доклад-сообщение содержит 70 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Описание слайда:

Теория вероятностей и математическая статистика Числовые характеристики двумерных и многомерных случайных величин

Слайд 2

Описание слайда:

Характеристики двумерной случайной величины Характеристики двумерной случайной величины (ξ, η) – это характеристики одномерных величин ξ и η, и характеристики связи между ними. Дальше мы будем рассматривать именно статистическую связь, которая называется корреляцией. Вначале рассмотрим линейную связь и ее характеристики – ковариацию, коэффициент корреляции, уравнение линейной регрессии, остаточную дисперсию.

Слайд 3

Описание слайда:

Ковариация Определение. Ковариацией случайной величины (ξ, η) называется центральный смешанный момент второго порядка Kξ,η = cov(ξ, η) = M[(ξ – Mξ)∙(η – Mη)]. Ковариация есть мера линейной зависимости между ξ, η.

Слайд 4

Описание слайда:

Ковариация Величины ξ,η называются некоррелированными при cov(ξ, η) = 0, положительно коррелированными при cov(ξ, η) > 0, отрицательно коррелированными при cov(ξ, η) < 0. Для вычисления ковариации часто используют формулу cov(ξ, η) = M(ξ∙η) – M ξ∙M η.

Слайд 5

Описание слайда:

Коэффициент корреляции Определение. Коэффициентом корреляции между случайными величинами ξ, η называется число

Слайд 6

Описание слайда:

Свойства коэффициента корреляции 1. │ρξη│≤ 1. 2. Если ξ,η независимы, то ρξη= 0. Если │ρξη│=1, то ξ, η линейно зависимы, то есть существуют такие a и b, что ξ = aη + b.

Слайд 7

Описание слайда:

Смысл коэффициента корреляции Коэффициент корреляции есть мера линейной зависимости между ξ, η. Его модуль указывает на силу линейной связи (чем ближе к 1, тем сильнее), а знак указывает на направление связи.

Слайд 8

Описание слайда:

Пример: ρ = +0,9

Слайд 9

Описание слайда:

Пример : ρ = +0,2

Слайд 10

Описание слайда:

Пример: ρ = – 0,6

Слайд 11

Описание слайда:

Линейная зависимость Проблема: найти функцию, описывающую линейную зависимость (уравнение прямой).

Слайд 12

Описание слайда:

Уравнение линейной регрессии Определение. Уравнением линейной регрессии η на ξ называется уравнение ηˆ = aξ + b, параметры которого минимизируют остаточную дисперсию S2ост= M (η – ηˆ)2 = M(η – (aξ + b))2. Смысл. Уравнение линейной регрессии η на ξ выражает линейную зависимость η от ξ.

Слайд 13

Описание слайда:

Надо найти минимум остаточной дисперсии S2ост= M (η – ηˆ)2

Слайд 14

Описание слайда:

Нахождение коэффициентов уравнения линейной регрессии S2ост = M[η – (aξ+b)]2 = M[(η – Mη) – a(ξ – Mξ) + (Mη – aMξ – b)]2 = M(η – Mη)2 + a2M(ξ – M ξ)2 + M[(Mη – aMξ – b)]2 – 2aM[(η – Mη)(ξ – Mξ)] + 2M[(η – Mη)(Mη – aMξ – b)] – 2aM[(ξ – Mξ)(Mη – aMξ – b)].

Слайд 15

Описание слайда:

(Mη – aMξ – b) – постоянная величина, ее можно вынести за знак матожидания. M(η – Mη) = Mη – M[Mη] = Mη – Mη = 0, M(ξ – M ξ) = 0 Подставляя, получаем: S2ост = M(η – Mη)2 + a2M(ξ – M ξ)2 + + (Mη – aMξ – b)2 – 2aM[(η – Mη)(ξ – Mξ)].

Слайд 16

Описание слайда:

Поскольку M(η – Mη)2 = Dη = σ2η, M(ξ – M ξ)2 = Dξ = σ2ξ, M[(ξ – Mξ)∙(η – Mη)] = cov(ξ,η) = ρσξση, то S2ост = σ2η+ a2σ2ξ + (Mη – aMξ – b)2 – 2a ρσξση.

Слайд 17

Описание слайда:

S2ост – функция переменных a и b, надо найти min S2ост , то есть найти значения a и b, при которых достигается минимум. Найдем производные от S2ост по a и b.

Слайд 18

Описание слайда:

S2ост = σ2η+ a2σ2ξ + (Mη – aMξ – b)2 – 2a ρσξση. (S2ост)'b= –2(Mη – aMξ – b) = 0 (S2ост)'a = 2aσ2ξ – 2Mξ (Mη – aMξ – b) – –2ρσξση = 0 Из первого уравнения находим: b = Mη – aMξ. Подставляя во второе, получаем: a = ρ∙ση/σξ.

Слайд 19

Описание слайда:

Подставим a = ρ∙ση/σξ, b = Mη – aMξ В уравнение ηˆ= aξ+b. Получим: ηˆ= ρ∙ση/σξ∙ ξ + Mη – ρ∙ση/σξ ∙ Mξ, или

Слайд 20

Описание слайда:

Замечание Коэффициент уравнения линейной регрессии ρ∙ση/σξ можно записать в виде: ρ∙ση/σξ = cov(ξ,η)/σ2ξ. Тогда уравнение линейной регрессии примет вид:

Слайд 21

Описание слайда:

Остаточная дисперсия Найдем значение S2ост = M(η – ηˆ)2 = M(η – (aξ+b))2. Для этого подставим полученные значения a и b. S2ост = M(η – (aξ + b))2 = M(η – (aξ + b))2= M[η – Mη – ρ∙ση/σξ(ξ – M ξ)]2 = M(η –Mη)2 + (ρ∙ση/σξ)2 M(ξ – M ξ)]2 –2 ρ∙ση/σξ M[(ξ – Mξ)∙ (η – Mη)] = σ2η+ (ρ∙ση/σξ)2σ2ξ – 2 ρ∙ση/σξ ∙ ρσξση =

Слайд 22

Описание слайда:

Остаточная дисперсия σ2η + (ρ∙ση)2 – 2 ρ2∙ση2 = σ2η – ρ2∙ση2 = = σ2η (1 – ρ2). Смысл: остаточная дисперсия выражает ошибку приближения при замене η на ηˆ= aξ+b.

Слайд 23

Описание слайда:

Пример Дискретная двумерная случайная величина (X,Y) задана таблицей распределения:

Слайд 24

Описание слайда:

Пример Найдем одномерные законы распределения:

Слайд 25

Описание слайда:

Пример Вычислим числовые характеристики. MX = 0∙0,5 + 1∙0,2 + 2∙0,3 = 0,8. DX = 02∙0,5 + 12∙0,2 + 22∙0,3 – 0,82 = 0,76. MY = ( –1)∙0,3 + 0∙0,4 + 3∙0,3 = 0,6. DY = ( –1)2∙0,3 + 02∙0,4 + 32∙0,3 – 0,62 = 2,64. M(XY) = ( –1)∙2∙0,2 = – 0,4.

Слайд 26

Описание слайда:

Пример Найдем ковариацию: cov(ξ, η) = M(ξ∙η) – M ξ∙ M η. В наших обозначениях cov(X, Y) = M(X∙Y) – MX∙ MY. cov(X,Y) = – 0,4 – 0,8∙0,6 = – 0,88. Величины X,Y отрицательно коррелированы.

Слайд 27

Описание слайда:

Коэффициент корреляции

Слайд 28

Описание слайда:

Уравнение линейной регрессии Запишем уравнение линейной регрессии Y на X. Подставим MX = 0,8, DX = 0,76, MY = 0,6. cov(X,Y) = – 0,88. Yˆ – 0,6 = – 0,88/0,76∙(X – 0,8).

Слайд 29

Описание слайда:

Остаточная дисперсия Yˆ – 0,6 = – 1,16(X – 0,8). Yˆ= – 1,16X +1,53. Найдем остаточную дисперсию: S2ост.= σ2Y (1 – ρ2). S2ост.= 2,64∙(1 –0,642) ≈ 1,56.

Слайд 30

Описание слайда:

График линейной регрессии Yˆ= – 1,16X + 1,53.

Слайд 31

Описание слайда:

Нелинейная зависимость Проблема: найти функцию, описывающую нелинейную зависимость.

Слайд 32

Описание слайда:

Условные распределения Пусть (ξ, η) – двумерная случайная величина. Рассмотрим распределение η при условии, что ξ = x. Оно называется условным.

Слайд 33

Описание слайда:

Условные распределения η при разных значениях ξ.

Слайд 34

Описание слайда:

Способы нахождения условных распределений в дискретном случае Рассмотрим пример. Пусть дискретная двумерная случайная величина (X, Y) задана таблицей:

Слайд 35

Описание слайда:

Пример Найдем условный закон распределения Y/X = 0:

Слайд 36

Описание слайда:

Действительно, P(Y = –1/X = 0) = P(Y = –1, X = 0)/P(X = 0) т.к. по формуле условной вероятности, P(A/B) = P(AB)/P(B). P(Y = –1,X = 0) =0,1 P(X =0) = 0,5. Отсюда P(Y= –1/X = 0) = 0,1: 0,5 = 1/5. Аналогично P(Y = 0/X=0) = 0,1: 0,5 = 1/5, P(Y = 3/X = 0) = 0,3: 0,5 =3/5.

Слайд 37

Описание слайда:

Найдем другие условные законы. Условный закон распределения Y/X = 1:

Слайд 38

Описание слайда:

Такой закон распределения записывается в виде ряда распределения

Слайд 39

Описание слайда:

Условный закон распределения Y/X=2:

Слайд 40

Описание слайда:

Условное математическое ожидание Определение. Условным математическим ожиданием случайной величины η при условии, что ξ = x, называется математическое ожидание, найденное с помощью условного закона распределения. Обозначение: M(η/ξ = x).

Слайд 41

Описание слайда:

Замечание Условное математическое ожидание обладает свойствами математического ожидания .

Слайд 42

Описание слайда:

Условное математическое ожидание

Слайд 43

Описание слайда:

Вспомним предыдущий пример. Найдем условное матожидание Y/X=0: M(Y/X=0)= (–1)∙1/5 + 0∙1/5 + 3∙3/5 = 8/5

Слайд 44

Описание слайда:

Аналогично, условные матожидания M(Y/X=1) = 0∙1 =0, M(Y/X=2) = (–1)∙2/3 + 0∙1/3 = –2/3.

Слайд 45

Описание слайда:

Регрессия Определение. Регрессией η на ξ называется случайная величина r(ξ), равная при каждом x условному математическому ожиданию случайной величины η при условии, что ξ = x. Определение. Линией регрессии называется линия y = r(x), где r(x) = M(η/ξ = x).

Слайд 46

Описание слайда:

Пример В условиях предыдущего примера регрессия Y на X равна:

Слайд 47

Описание слайда:

Другой способ записи регрессии

Слайд 48

Описание слайда:

Слайд 49

Описание слайда:

Корреляционное отношение Определение. Корреляционным отношением η на ξ называется числовая характеристика, равная

Слайд 50

Описание слайда:

Свойства корреляционного отношения 1. 0 ≤ θ2η,ξ ≤ 1. 2. θ2η,ξ ≥ ρ2. 3. θ2η,ξ = ρ2 ↔ r(ξ) = aξ+b (т.е., линейная зав–ть). 4. θ2η,ξ = 0 ↔ r(ξ) = Mη (r(ξ)=const, нет связи). 5. θ2η,ξ = 1 ↔ η = r(ξ) (т.е., функц–я зав–ть).

Слайд 51

Описание слайда:

Смысл: корреляционное отношение измеряет силу зависимости η от ξ

Слайд 52

Описание слайда:

Пример. Чтобы найти θ2YX, надо сначала найти MY и DY. Мы их недавно находили с помощью одномерного закона.

Слайд 53

Описание слайда:

MY = ( –1)∙0,3 + 0∙0,4 + 3∙0,3 = 0,6. MY = ( –1)∙0,3 + 0∙0,4 + 3∙0,3 = 0,6. DY = ( –1)2∙0,3 + 02∙0,4 + 32∙0,3 – 0,62 = 2,64.

Слайд 54

Описание слайда:

Смысл полученного числа: корреляционное отношение измеряет силу зависимости Y от X. Чем ближе к 1, тем связь сильнее, чем ближе к 0, тем слабее. Напоминание: корреляционное отношение принимает значения от 0 до 1. Если надо найти θ2XY, а не θ2YX , то в формуле надо поменять местами X и Y.

Слайд 55

Описание слайда:

Условные распределения Определение. Условной функцией распределения случайной величины η при условии, что ξ = x, называется Fη/ξ = x = P(η < y/ξ = x).

Слайд 56

Описание слайда:

Условная плотность Определение. Если условная функция распределения случайной величины η при условии, что ξ = x, непрерывна, то производная от нее называется условной плотностью распределения случайной величины η при условии, что ξ = x.

Слайд 57

Описание слайда:

Обозначается условная плотность fη/ξ = x(y) (плотность распределения η в точке y при условии, что ξ = x).

Слайд 58

Описание слайда:

Нахождение условной функции распределения Условная функция распределения случайной величины η при условии, что ξ = x

Слайд 59

Описание слайда:

Нахождение условной плотности распределения Условная плотность распределения сл. в. η при условии, что ξ = x

Слайд 60

Описание слайда:

Поскольку

Слайд 61

Описание слайда:

Числовые характеристики многомерных случайных величин Определение. Ковариационной матрицей случайных величин ξ1, ξ2 , …, ξn называется матрица K размерности n x n с элементами aij, равными ковариациям cov(ξi, ξj) = kij. K= (kij)n x n = (cov(ξi, ξj)) n x n

Слайд 62

Описание слайда:

Ковариационная матрица К

Слайд 63

Описание слайда:

Корреляционная матрица R Наряду с ковариационной матрицей рассматривают и матрицу R, составленную из коэффициентов корреляции ρij = ρ(ξi, ξj).

Слайд 64

Описание слайда:

Уравнение множественной линейной регрессии Рассмотрим случайные величины ξ0 ξ1, ξ2 , …, ξn с математическими ожиданиями Mξi = ai, с дисперсиями Dξi = σ2i, i = 0,1,…, n, и c корреляционной матрицей R размерности (n+1) х (n+1).

Слайд 65

Описание слайда:

Определение. Уравнением линейной регрессии ξ0 на ξ1, ξ2 , …, ξn называется уравнение

Слайд 66

Описание слайда:

Здесь bi (i =1,…, n) – параметры, минимизирующие остаточную дисперсию

Слайд 67

Описание слайда:

Минимизируя остаточную дисперсию, получаем, что

Слайд 68

Описание слайда:

Остаточная дисперсия Здесь и далее через Rij обозначено алгебраическое дополнение элемента aij матрицы R, а через |R| – определитель матрицы R. Остаточная дисперсия равна

Слайд 69

Описание слайда:

Частный коэффициент корреляции Частный коэффициент корреляции используется как мера линейной зависимости между двумя какими –либо случайными величинами за вычетом влияния остальных случайных величин.