🗊Презентация Непосредственное вычисление производных. Табличное дифференцирование. Общее определение производной. (Семинар 7)

Семинар 7. Производная. Непосредственное вычисление производных. Табличное дифференцирование. Общее определение производной Предполагаем, что функция y=f(x) определена на некотором конечном или бесконечном интервале и непрерывна на этом интервале. Пусть фиксированная точка на этом интервале. Даем х приращение такое, что Тогда функция y=f(x) получает соответствующее приращение (1). Составим отношение (2). Это отношение показывает во сколько раз на данном промежутке приращение функции y больше приращения аргумента х. Пусть .Тогда в силу непрерывности функции y. Обозначим - множество точек интервала (a,b) для которых имеет смысл предельный переход (3). Тогда формула (4). Определяет некоторую функцию y’=f’(x), носящую название производной функции f(x). Геометрический смысл производной Для данной функции y=f(x) ее производная y’=f’(x) для каждого значения х равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в соответствующей точке.

Основные формулы дифференцирования Основные формулы дифференцирования Предполагается, что все рассматриваемые функции определены и дифференцируемы, причем все используемые значения принадлежат интервалу дифференцирования. 1. Производная постоянной величины равна 0. 2.Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна такой же алгебраической сумме производных этих функций. Пусть y=u+v-w, где u,v,w – дифференцируемые функции от х. Тогда (u+v-w)’=u’+v’-w’ 3.Производная произведения двух дифференцируемых функций Вычисляется по формуле Следствие 1 Постоянный множитель можно выносить за знак производной (cu)’=cu’ Следствие 2 Если u,v,w – дифференцируемые функции, то (uvw)’=u’vw+uv’w+uvw’ 4.Производная частного двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле где Следствиу 1 Если знаменатель c=const, то или Следствие 2 Если числитель с=const, то при с=1

Примеры с решениями Примеры с решениями 1.Исходя из определения производной (не пользуясь формулами дифференцирования), найти производную Решение. Даем х приращение тогда y получит приращение Найдем приращение функции - = Находим отношение приращения функции к приращению аргумента: Найдем предел отношения при Следовательно, по определению производной 2.Исходя из определения производной, найти производную Решение. Найдем приращение функции используя формулу получим

И, следовательно И, следовательно Окончательно 3.Применяя формулы и правила дифференцирования, найти производные следующих функций. а) решение б) решение в) решение г) решение д) решение Примеры для самостоятельного решения. 1. Исходя из определения производной (не пользуясь формулами дифференцирования), найти производные:

2.Применяя формулы и правила дифференцирования, найти производные следующих функций 2.Применяя формулы и правила дифференцирования, найти производные следующих функций