🗊Презентация Основные математические модели, наиболее часто используемые в расчетах надежности. Распределение Вейбулла

ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ, НАИБОЛЕЕ ЧАСТО   ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ В РАСЧЕТАХ НАДЕЖНОСТИ 1. Распределение Вейбулла Опыт эксплуатации очень многих электронных приборов и значительного количества электромеханической аппаратуры показывает, что для них характерны три вида зависимостей интенсивности отказов от времени, соответствующих трем периодам жизни этих устройств.

Указанные три вида зависимостей интенсивности отказов от времени можно получить, используя для вероятностного описания случайной наработки до отказа двухпараметрическое распределение Вейбулла. Согласно этому распределению плотность вероятности момента отказа Указанные три вида зависимостей интенсивности отказов от времени можно получить, используя для вероятностного описания случайной наработки до отказа двухпараметрическое распределение Вейбулла. Согласно этому распределению плотность вероятности момента отказа

Вероятность безотказной работы Вероятность безотказной работы

2. Экспоненциальное распределение Как было отмечено выше экспоненциальное распределение вероятности безотказной работы является частным случаем распределения Вейбулла, когда параметр формы δ = 1. Это распределение однопараметрическое, то есть для записи расчетного выражения достаточно одного параметра λ = const . Для этого закона верно и обратное утверждение: если интенсивность отказов постоянна, то вероятность безотказной работы как функция времени подчиняется экспоненциальному закону:

Заменив в выражении величину λ величиной 1 / Т1, получим  Заменив в выражении величину λ величиной 1 / Т1, получим 

Длительность периода нормальной эксплуатации до наступления старения может оказаться существенно меньше Т1, то есть интервал времени на котором допустимо пользование экспоненциальной моделью, часто бывает меньшим среднего времени безотказной работы, вычисленного для этой модели. Это легко обосновать, воспользовавшись дисперсией времени безотказной работы. Как известно, если для случайной величины t задана плотность вероятности f(t) и определено среднее значение (математическое ожидание) Т1, то дисперсия времени безотказной работы находится по выражению: Длительность периода нормальной эксплуатации до наступления старения может оказаться существенно меньше Т1, то есть интервал времени на котором допустимо пользование экспоненциальной моделью, часто бывает меньшим среднего времени безотказной работы, вычисленного для этой модели. Это легко обосновать, воспользовавшись дисперсией времени безотказной работы. Как известно, если для случайной величины t задана плотность вероятности f(t) и определено среднее значение (математическое ожидание) Т1, то дисперсия времени безотказной работы находится по выражению:

и для экспоненциального распределения соответственно равна: и для экспоненциального распределения соответственно равна:

3. Распределение Рэлея Плотность вероятности в законе Рэлея имеет следующий вид

Вероятность безотказной работы объекта в этом случае определится по выражению Вероятность безотказной работы объекта в этом случае определится по выражению

4. Нормальное распределение (распределение Гаусса) Нормальный закон распределения характеризуется плотностью вероятности вида

На рисунке изображены кривые λ(t), Р(t) и f(t) для случая σt<< mt, характерного для элементов, используемых в системах автоматического управления На рисунке изображены кривые λ(t), Р(t) и f(t) для случая σt<< mt, характерного для элементов, используемых в системах автоматического управления

5. Треугольное распределение Характеризует случайные величины, имеющие ограниченную область возможных значений (tн, tк). Положение и форму треугольного распределения характеризует 3 параметра: tн, tк – границы области возможных значений, tм – мода. Плотность распределения:

Функция надежности Функция надежности

6. Гамма-распределение Гамма-распределение является двухпараметрическим распределением. Плотность распределения имеет ограничение с одной стороны (0 ≤ х ≤ ∞). Если параметр α формы кривой распределения принимает целое значение, то это свидетельствует о вероятности появления такого же числа событий (например, отказов) при условии, что они независимы и появляются с постоянной интенсивностью λ. Гамма-распределение широко применяют при описании появления отказов стареющих элементов, времени восстановления, наработки на отказ резервированных систем. При различных параметрах гамма-распределение принимает разнообразные формы, что и объясняет его широкое применение. Плотность вероятности гамма-распределения определяется равенствами f(x) = [λα/Γ(α)]xα-1e-λx при x ≥0 где

Математическое ожидание и дисперсия соответственно равны: Математическое ожидание и дисперсия соответственно равны: Мx = α/λ; Dx = α/λ2 . При α <1 интенсивность отказов монотонно убывает (что соответствует периоду приработки изделия), при α >1 — возрастает (что характерно для периода изнашивания и старения элементов). При α =1 гамма-распределение совпадает с экспоненциальным распределением, при α >10 гамма-распределение приближается к нормальному закону. Если α принимает значения произвольных целых положительных чисел, то такое гамма-распределение называют распределением Эрланга. Если λ =1/2, а значение α кратно 1/2, то гамма-распределение совпадает с распределением χ2 (хи-квадрат).