🗊Презентация Предикати та їх різновиди

ПРЕДИКАТИ ТА ЇХ РІЗНОВИДИ ПРЕДИКАТИ ТА ЇХ РІЗНОВИДИ Предикат на множині D – це часткова неоднозначна, взагалі кажучи, функція P : D  {T, F} Часткові неоднозначні предикати трактуємо як відношення між D та {T, F}, назвемо їх предикатами реляційного типу. P(d) – множина значень, які предикат P може прийняти на dD. P(d)  {T, F}  P(d) – однe із {}, {T}, {F}, {T, F}. Предикат P : D   {T, F} задається областю істинності та областю хибності T(P) = {dVA | TP(d)} F(P) = {dVA | FP(d)}. Предикат P однозначний, якщо T(P)F(P) =  Предикат P тотальний, якщо T(P)F(P) = D Предикат P : D   {T, F} назвемо: – неспростовним, або частково істинним, якщо F(P) =  – виконуваним, якщо T(P)   – всюди невизначеним, якщо T(P) = F(P) =  – тотально істинним, якщо T(P) = D – тотально хибним, якщо F(P) = D – тотожно істинним, якщо T(P) = D і F(P) =  – тотожно хибним, якщо T(P) =  і F(P) = D – тотально насиченим, якщо T(P) = F(P) = D

V-A-квазіарний предикат P: V-A-квазіарний предикат P: – неспростовний (частково істинний), якщо F(P) =  – виконуваний, якщо T(P)   – тотально істинний, якщо T(P) = VА – тотально хибний, якщо F(P) = VА – тотожно істинний, якщо T(P) = VА та F(P) =  (позначаємо T) – тотожно хибний, якщо T(P) =  та F(P) = VА (позначаємо F) – всюди невизначений, якщо T(P) =  та F(P) =  (позначаємо ) – тотально насичений, якщо T(P) = VА та F(P) = VА (позначаємо ). Часткові неоднозначні квазіарні предикати назвемо R-предикатами часткові однозначні – P-предикатами тотальні – T-предикатами тотальні однозначні – TS-предикатами.

Класи R-предикатів, P-предикатів, T-предикатів, TS-предикатів відповідно позначаємо Класи R-предикатів, P-предикатів, T-предикатів, TS-предикатів відповідно позначаємо Монотонні R-предикати назвемо RM-предикатами антитонні R-предикати назвемо RА-предикатами антитоннi T-предикати назвемо TА-предикатами еквітонні P-предикати назвемо PE-предикатами Класи RM-предикатів, RА-предикатів, TА-предикатів, PE-предикатів позначаємо . Константні предикати , T, F,  є монотонними й антитонними. В класі TS-предикатів монотонними й антитонними є лише константні предикати T та F.

Приклад 1. Розглянемо наступні предикати. Приклад 1. Розглянемо наступні предикати. Р1 та Р2 тотальні однозначні немонотонні (нееквітонні) й неантитонні, Р3 та Р5 монотонні (еквітонні) однозначні, Р4 та Р6 монотонні тотальні неоднозначні, Р7 та Р9 антитонні часткові однозначні, Р8 та Р10 антитонні тотальні неоднозначні.

Предикат дуальний до предиката P, якщо Предикат дуальний до предиката P, якщо Доповнення до V-A-квазіарного предиката P як реляції P  VА  Bool – це Приклад пари взаємно дуальних та взаємно доповнених предикатів:  та  Твердження 1. Q монотонний  антитонні; Q антитонний  монотонні. Твердження 2.

На безкванторно-функціональному рівні можна формувати нові аргументи для функцій і предикатів. Це дозволяє ввести параметризовану за іменами композицію суперпозиції. На безкванторно-функціональному рівні можна формувати нові аргументи для функцій і предикатів. Це дозволяє ввести параметризовану за іменами композицію суперпозиції. (n+1)-арна композиція суперпозиції V-квазіарним функціям f, g1, ..., gn зіставляє V-квазіарну функцію значення якої dVА обчислюється так: = f([v1g1(d),...,vngn(d)](d║(V\{v1,...,vn}))). Зрозуміло, що в інших позначеннях = f(d[v1g1(d),...,vngn(d)]). Виділення квазіарних функцій на A та квазіарних предикатів на A індукує виділення суперпозицій двох типів: – (FnA)n+1FnA функцій у функції (результатом є функція); – PrA(FnA)nPrA функцій у предикати (результатом є предикат). Суперпозицію без параметрів S трактуємо як тотожне відображення Виділимо множину функцій деномінації NfА = {'v| vV}: 'v(d) = d(v) Тоді реномінації можна промоделювати за допомогою суперпозицій:

Властивості слабкої рівності Властивості слабкої рівності Тут PPrA та h, f, f1,..., fn, g, g1,..., gn FnA. Rf) рефлексивність: кожний предикат вигляду f = f неспростовний Sm) cиметричність: T(f = g) = T(g = f) та F(f = g) = F(g = f) це означає: предикати f =g та g = f збігаються Tr) транзитивність: T(f = g)T(g = h)  T(f = h) EF) неспростовним є кожний предикат вигляду EP) неспростовним є кожний предикат вигляду SЕ) дистрибутивність суперпозиції щодо рівності: = Із Tr: кожний предикат вигляду =(f, g) & =(g, h)  =(f, h) неспростовний

Sb) Обмежена дистрибутивність суперпозиції щодо x: Sb) Обмежена дистрибутивність суперпозиції щодо x: Sb) Обмежена дистрибутивність суперпозиції щодо x: Для Sb та Sb умови: х{v1,..., vn} та х неістотне для f1, ..., fn. S) Спеціальна дистрибутивність суперпозиції щодо x ( х{v1,..., vn}): S) Спеціальна дистрибутивність суперпозиції щодо x ( х{v1,..., vn}): Rm1. Oбмежувальні умови дистрибутивності та спеціальної дистрибутивності суперпозиції щодо кванторів є істотними. Rm2. Рівність з точністю до визначеності  для Sb та Sb. Задамо еквітонні f та P: P(d) при vasn(d) та P([x0, y0, v0]) = T; f(d) при xasn(d) та f(d) = 0 при xasn(d). Тоді х неістотне для f, xSv(P, f)([y0]) = T та Sv(xP, f)([y0]). Rm3. Для аналогічних властивостей Rs та Rs рівність строга !

ЧИСТІ ПЕРШОПОРЯДКОВІ КОМПОЗИЦІЙНІ АЛГЕБРИ ЧИСТІ ПЕРШОПОРЯДКОВІ КОМПОЗИЦІЙНІ АЛГЕБРИ Композиції зберігають: 1) однозначність та тотальність квазіарних предикатів; 2) монотонність та антитонність квазіарних предикатів Твердження 1. Твердження 2. 1)   = ,    = ;  = ,    = ; 2) T = F, F = T, T  T = T, T  F = F  T = T, F  F = F; 3) T   =   T = T, F   =   F = ; T   =   T = , F   =   F = ;    =    = T. Твердження 3. Теорема. Наступні класи предикатів замкнені щодо композицій 1) класи P-предикатів, T-предикатів, TS-предикатів 2) класи монотонних, антитонних, еквітонних предикатів 3) множини {}, {}, {T, F}, {, T, F} }, {, T, F} }, {, , T, F}

Композиційну алгебру Композиційну алгебру назвемо чистою першопорядковою алгеброю квазіарних предикатів. Таким чином, можна виділити підалгебри алгебри – алгебра P-предикатів; – алгебра T-предикатів; – алгебра TS-предикатів; маємо – алгебра монотонних R-предикатів; – алгебра антитонних R-предикатів; – алгебра еквітонних P-предикатів; маємо – алгебра антитонних T-предикатів; маємо

Сингулярні алгебри Сингулярні алгебри для них маємо алгебра маємо алгебри маємо V-A, BV-A   BPV-A BLV-A ;   V-A, BV-A   BTV-A   BLV-A ; Тут    позначає:  є підалгеброю алгебри 

Задамо відображення дуалізації Задамо відображення дуалізації Відображення дуалізації інволютивне: Твердження 4. (T) = T, (F) = F, () = , () = ; Алгебри Pr1 та  Pr2 дуальні, якщо (Pr1) = Pr2 та (Pr2) = Pr1. Маємо пари дуальних алгебр V-A  та V-A , BPV-A  та BTV-A Алгебри BV-A , BLV-A автодуальні