Предикаты и кванторы. Действия над предикатами и их свойства

Нажмите для полного просмотра!

Предикаты и кванторы. Действия над предикатами и их свойства, слайд №2

Предикаты и кванторы. Действия над предикатами и их свойства, слайд №3

Предикаты и кванторы. Действия над предикатами и их свойства, слайд №4

Предикаты и кванторы. Действия над предикатами и их свойства, слайд №5

Предикаты и кванторы. Действия над предикатами и их свойства, слайд №6

Предикаты и кванторы. Действия над предикатами и их свойства, слайд №7

Предикаты и кванторы. Действия над предикатами и их свойства, слайд №8

Предикаты и кванторы. Действия над предикатами и их свойства, слайд №9

Предикаты и кванторы. Действия над предикатами и их свойства, слайд №10

Предикаты и кванторы. Действия над предикатами и их свойства, слайд №11

Предикаты и кванторы. Действия над предикатами и их свойства, слайд №12

Предикаты и кванторы. Действия над предикатами и их свойства, слайд №13

Предикаты и кванторы. Действия над предикатами и их свойства, слайд №14

Предикаты и кванторы. Действия над предикатами и их свойства, слайд №15

Предикаты и кванторы. Действия над предикатами и их свойства, слайд №16

Предикаты и кванторы. Действия над предикатами и их свойства, слайд №17

Предикаты и кванторы. Действия над предикатами и их свойства, слайд №18

Предикаты и кванторы. Действия над предикатами и их свойства, слайд №19

Предикаты и кванторы. Действия над предикатами и их свойства, слайд №20

Предикаты и кванторы. Действия над предикатами и их свойства, слайд №21

Предикаты и кванторы. Действия над предикатами и их свойства, слайд №22

Предикаты и кванторы. Действия над предикатами и их свойства, слайд №23

Предикаты и кванторы. Действия над предикатами и их свойства, слайд №24

Предикаты и кванторы. Действия над предикатами и их свойства, слайд №25

Предикаты и кванторы. Действия над предикатами и их свойства, слайд №26

Предикаты и кванторы. Действия над предикатами и их свойства, слайд №27

Предикаты и кванторы. Действия над предикатами и их свойства, слайд №28

Предикаты и кванторы. Действия над предикатами и их свойства, слайд №29

Предикаты и кванторы. Действия над предикатами и их свойства, слайд №30

Предикаты и кванторы. Действия над предикатами и их свойства, слайд №31

Предикаты и кванторы. Действия над предикатами и их свойства, слайд №32

Предикаты и кванторы. Действия над предикатами и их свойства, слайд №33

Предикаты и кванторы. Действия над предикатами и их свойства, слайд №34

Предикаты и кванторы. Действия над предикатами и их свойства, слайд №35

Предикаты и кванторы. Действия над предикатами и их свойства, слайд №36

Предикаты и кванторы. Действия над предикатами и их свойства, слайд №37

Предикаты и кванторы. Действия над предикатами и их свойства, слайд №38

Предикаты и кванторы. Действия над предикатами и их свойства, слайд №39

Предикаты и кванторы. Действия над предикатами и их свойства, слайд №40

Предикаты и кванторы. Действия над предикатами и их свойства, слайд №41

Предикаты и кванторы. Действия над предикатами и их свойства, слайд №42

Предикаты и кванторы. Действия над предикатами и их свойства, слайд №43

Предикаты и кванторы. Действия над предикатами и их свойства, слайд №44

Предикаты и кванторы. Действия над предикатами и их свойства, слайд №45

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Предикаты и кванторы. Действия над предикатами и их свойства. Доклад-сообщение содержит 45 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Описание слайда:

Предикаты и кванторы. Действия над предикатами и их свойства Ирина Борисовна Просвирнина Предикаты Кванторы Ограничительные кванторы Логические эквивалентности выражений, содержащих кванторы Отрицания выражений, содержащих кванторы Вложенные кванторы

Слайд 2

Описание слайда:

Предикаты Предложения, содержащие переменные, часто встречаются в математических утверждениях; компьютерных программах; спецификациях систем.

Слайд 3

Описание слайда:

Предикаты Примеры таких предложений: “”, “”, “”, “компьютер подвергается атаке хакера”, “компьютер функционирует в нормальном режиме”. Если значения переменных, входящих в эти предложения, не специфицированы, то эти предложения не являются ни истинными, ни ложными.

Слайд 4

Описание слайда:

Предикаты “” Предложение “больше трех” состоит из двух частей: первая часть: переменная , – подлежащее предложения; вторая часть: “больше трех”, – предикат – объясняет, каким свойством обладает подлежащее предложения. Обозначим предложение “ больше трех” через , где обозначает предикат, а – переменную.

Слайд 5

Описание слайда:

Предикаты Предложение еще называют значением пропозициональной функции в точке . Как только переменной будет присвоено определенное значение, утверждение станет высказыванием, принимающим логическое значение “Истина” или логическое значение “Ложь”.

Слайд 6

Описание слайда:

Предикаты Пример 1 Пусть обозначает утверждение “”. Найдем логические значения высказываний и – высказывание “”, которое является истинным. – высказывание “”, которое является ложным.

Слайд 7

Описание слайда:

Предикаты Пример 2 Пусть обозначает утверждение “Компьютер подсоединен к сети ”. Предположим, что компьютер подсоединен к сети , но не подсоединен к сети . Найдем логические значения и : ; .

Слайд 8

Описание слайда:

Предикаты Пример 3 Пусть обозначает утверждение “”. Найдем логические значения высказываний и Утверждение – это высказывание “”, которое истинно. Утверждение – это высказывание “”, которое ложно.

Слайд 9

Описание слайда:

Предикаты Предложение, содержащее переменных обозначают через Предложение еще называют значением пропозициональной функции на -наборе , а называют местным предикатом или арным предикатом.

Слайд 10

Описание слайда:

Предикаты Если переменным, входящим в состав пропозициональной функции, присвоить некоторые значения, то в результате получится высказывание, имеющее определенное истинностное значение. Имеется еще один способ образования высказываний из пропозициональных функций, известный как квантификация. Раздел логики, изучающие предикаты и кванторы, называется исчислением предикатов.

Слайд 11

Описание слайда:

Кванторы Определение 1 Пусть предикат определен на некоторой области рассуждений (называемой далее для краткости «область»). Универсальной квантификацией предиката относительно области называется высказывание для всех значений из области “. Высказывание истинно тогда и только тогда, когда принимает значение “Истина” для всех значений из области .

Слайд 12

Описание слайда:

Кванторы Символ  называется универсальным квантором. Мы читаем так: ”для всех ; ”для каждого “. Элемент , для которого высказывание ложно, называется контрпримером для высказывания .

Слайд 13

Описание слайда:

Кванторы Высказывание ложно тогда и только тогда, когда не является истинным для всех элементов из области рассуждений . Таким образом, высказывание ложно тогда и только тогда, когда имеется контрпример для высказывания из области рассуждений

Слайд 14

Описание слайда:

Кванторы Пример 4 Пусть – предикат “” , определенный на множестве . Найти логическое значение высказывания .

Слайд 15

Описание слайда:

Кванторы Пусть – предикат, определенный на множестве , тогда

Слайд 16

Описание слайда:

Кванторы Пример 5 Пусть – предикат “Компьютер подсоединен к сети”, определенный на множестве всех компьютеров кампуса. Что означает высказывание ?

Слайд 17

Описание слайда:

Кванторы Пример 6 Найдите логическое значение высказывания , если область предиката состоит из всех вещественных чисел; область предиката состоит из всех целых чисел.

Слайд 18

Описание слайда:

Кванторы Определение 2 Пусть предикат определен на некоторой области . Экзистенциальной квантификацией предиката относительно области называется высказывание ”Существует значение из области , для которого “. Высказывание истинно тогда и только тогда, когда принимает значение “Истина” для некоторого значения из области .

Слайд 19

Описание слайда:

Кванторы Символ  называется квантором существования. Мы читаем так: ”существует , такой что “; ”для некоторого “.

Слайд 20

Описание слайда:

Кванторы Высказывание ложно тогда и только тогда, когда не является истинным для некоторого элемента из области рассуждений . Таким образом, высказывание ложно тогда и только тогда, когда ложно для любого элемента x из области рассуждений .

Слайд 21

Описание слайда:

Кванторы Пример 7 Пусть обозначает утверждение “”. Найти логическое значение высказывания , если область предиката состоит из всех вещественных чисел.

Слайд 22

Описание слайда:

Кванторы Пример 8 Пусть обозначает утверждение “”. Найти логическое значение высказывания если область предиката состоит из всех вещественных чисел.

Слайд 23

Описание слайда:

Кванторы Пример 9 Пусть – предикат “” , определенный на множестве Найти логическое значение высказывания .

Слайд 24

Описание слайда:

Кванторы Пусть – предикат, определенный на множестве , тогда

Слайд 25

Описание слайда:

Ограничительные кванторы Пример 10 Выясним, что означает утверждение где областью является множество вещественных чисел. Утверждение означает: для любого вещественного числа со свойством имеет место неравенство , т.е. “Квадрат любого отрицательного числа является числом положительным”. Это утверждение эквивалентно такому утверждению:

Слайд 26

Описание слайда:

Ограничительные кванторы Пример 11 Заметим, что ограничение универсальной квантификации сводится к универсальной квантификации условного высказывания.

Слайд 27

Описание слайда:

Ограничительные кванторы Пример 12 Выяснить, что означает утверждение , где областью является множество вещественных чисел.

Слайд 28

Описание слайда:

Ограничительные кванторы Пример 13 Выясним, что означает утверждение где областью является множество вещественных чисел. Утверждение означает: существует вещественное число со свойством: , для которого имеет место равенство , т.е. “Существует арифметический квадратный корень из числа ”. Это утверждение эквивалентно такому утверждению: .

Слайд 29

Описание слайда:

Ограничительные кванторы Пример 14 Заметим, что ограничение экзистенциальной квантификации сводится к экзистенциальной квантификации конъюнкции.

Слайд 30

Описание слайда:

Логические эквивалентности Определение 3 Утверждения, содержащие предикаты и кванторы, логически эквивалентны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые логические значения для любых логических значений переменных из области рассуждений. Если два утверждения и , содержащие предикаты и кванторы, логически эквивалентны, то пишут: .

Слайд 31

Описание слайда:

Логические эквивалентности Пример 15 Показать, что и логически эквивалентны при условии что предикаты и заданы на одной области . Следует доказать два утверждения: если истинно , то истинно; если истинно, то истинно.

Слайд 32

Описание слайда:

Логические эквивалентности Пример 15 Докажем, что если истинно , то также истинно. Предположим, что . Это означает, что если элемент принадлежит области , то . Следовательно, и для любого элемента из области . Значит, и . Отсюда следует, что .

Слайд 33

Описание слайда:

Логические эквивалентности Пример 15 Докажем, что если истинно , то также истинно. Предположим, что . Отсюда следует, что и . Следовательно, если элемент a принадлежит области , то и . Значит, для всех из области имеет место равенство . Отсюда следует, что . Доказательство закончено.

Слайд 34

Описание слайда:

Отрицания квантифицированных выражений Пример 16 Рассмотрим отрицание утверждения «Каждый студент Вашей группы изучает курс математического анализа». Это утверждение запишем в виде , где – утверждение «студент Вашей группы изучает курс математического анализа», а область состоит из студентов Вашей группы. Отрицание исходного утверждения: «Неверно, что каждый студент Вашей группы изучает курс математического анализа».

Слайд 35

Описание слайда:

Отрицания квантифицированных выражений Пример 16 Отрицание исходного утверждения: «Неверно, что каждый студент Вашей группы изучает курс математического анализа». Это можно сказать по-другому: «В Вашей группе есть студент, который не изучает курс математического анализа»:

Слайд 36

Описание слайда:

Отрицания квантифицированных выражений Первый закон Де Моргана для кванторов: Доказательство тогда и только тогда, когда . тогда и только тогда, когда найдется элемент из области, для которого . тогда и только тогда, когда .

Слайд 37

Описание слайда:

Отрицания квантифицированных выражений Пример 17 Рассмотрим отрицание утверждения «В Вашей группе есть студент, который изучает курс математического анализа». Это утверждение запишем в виде где – утверждение «студент Вашей группы изучает курс математического анализа», а область состоит из студентов Вашей группы. Отрицание исходного утверждения: «Неверно, что в Вашей группе есть студент, который изучает курс математического анализа».

Слайд 38

Описание слайда:

Отрицания квантифицированных выражений Пример 17 Отрицание исходного утверждения:«Неверно, что в Вашей группе есть студент, который изучает курс математического анализа». Это можно сказать по-другому: «В Вашей группе ни один студент не изучает курс математического анализа»: .

Слайд 39

Описание слайда:

Отрицания квантифицированных выражений Второй закон Де Моргана для кванторов:

Слайд 40

Описание слайда:

Вложенные кванторы Пример 18 Записать предложение «Сумма двух положительных чисел – число положительное» в виде логического выражения. Решение , где множество целых чисел – область для обеих переменных.

Слайд 41

Описание слайда:

Вложенные кванторы Пример 19 Записать определение предела вещественной функции вещественного аргумента x в точке a из ее области определения. Решение означает, что

Слайд 42

Описание слайда:

Вложенные кванторы Пример 20 Записать на русском языке следующее логическое выражение: , где – « имеет компьютер», – « и – друзья», области для и – все студенты первого курса математического факультета. Решение Каждый студент первого курса математического факультета имеет компьютер или имеет друга, у которого есть компьютер.

Слайд 43

Описание слайда:

Вложенные кванторы Пример 21 Постройте отрицание утверждения так, чтобы отрицания не стояли перед кванторами. Решение

Слайд 44

Описание слайда:

Вложенные кванторы Пример 22 Постройте отрицание определения предела вещественной функции вещественного аргумента в точке из ее области определения, т.е. отрицание выражения Решение где множество вещественных чисел – область для всех переменных.

Слайд 45

Описание слайда:

Вложенные кванторы Пример 23 Пусть означает Определите логические значения высказываний и ), если области переменных и – все вещественные числа. Решение , Вывод: порядок кванторов в выражениях с вложенными кванторами является существенным.