🗊Презентация на тему Рациональные формы вычислений

Формирование вычислительных навыков. Рациональные способы вычислений. Автор: Карпенко Л.П. Учитель школы 175 г.Зеленогорск 9.01.2009г.

Что мы знаем о способах?

Одной из важнейших задач обучения математике младших школьников является формирование у них вычислительных навыков, основу которых составляет осознанное и прочное усвоение приёмов устных и письменных вычислений. Вычислительная культура является тем запасом знаний и умений, который находит повсеместное применение, являясь фундаментом изучения математики и других учебных дисциплин. Её основы закладываются в начальной школе.

Остановимся более подробно на таком качестве вычислительного навыка как рациональность, которая напрямую связана с вариативностью. Рациональность вычислений – это выбор тех вычислительных операций из возможных. «выполнение которых легче других и быстрее приводит к результату арифметического действия». Знакомство с рационализацией вычислений развивает вариативность мышления, показывает ценность знаний, которые при этом используются. Применение свойств арифметических действий позволяет учителю воспитывать интерес к математике, вызвать у детей желание научиться вычислять наиболее быстрыми и удобными способами. Такой подход позволит поддерживать стремление к использованию математических знаний в повседневной жизни. Остановлюсь на некоторых из способов вычислений, которые используются на уроках и таких, которые, посильны учащимся , но не всегда используются.

Рациональные способы вычислений

Учись считать с помощью простой линейки или полосок с числами двигая их относительно друг друга.

Мы сами составили таблицу таким образом, что включили в неё все случаи, где ответ (сумма) будет двузначным числом. Сделали заготовку для ответов (заготовили место для каждой из двух цифр).

ТАБЛИЦА УМНОЖЕНИЯ на 9 1)Определение количества цифр в произведениях от 9х2 до 9х9. «Прикидка» - во всех произведениях будет по 2 цифры. Делается заготовка: 9 х 2 = . . . . . 9 х 9 = . . 3)Дети усматривают связь между произведениями: число десятков от произведения к произведению увеличивается на единицу, в то время как число единиц уменьшается: 10 9 х 4 = 36 9 х 2 = 18 9 +1 -1 . . . . . . . 9 х 3 = 27 9 х 9 = 81 Обнаруживают, что сумма цифр произведения при этом равна 9, позже это открытие превращается в признак делимости.

На следующем этапе они начинают исследовать связь между множителем (отличным от 9) и цифрой десятков, а затем цифрой единиц. Замечают следующее: число десятков всегда на 1 меньше множителя, т.е. при умножении 9 на 7 в разряде десятков будет 6. 9 х 7 = 63 9 х 8 = 72 -1 -1 А число в разряде единиц дополняет множитель до 10 10 10 9 х 7 = 63 9 х 8 = 72 9 9 (или число десятков до девяти ).

Устные приёмы умножения. Чтобы любое число умножить на 5,достаточно разделить его на 2 и умножить на 10 (т.к. 5-половина 10) 124 х 5 = 124 : 2 х 10 = 620 Чтобы умножить на 50,достаточно число разделить на 2 и умножить на 100 (т.к 50 –половина 100). 36 х 50 = 36 : 2 х 100 = 1800 Чтобы умножить на 25, достаточно число разделить на 4 и умножить на 100 (т.к. 25- четвёртая часть от 100) или наоборот. Если в остатке получится1, то вместо двух нулей поставим 25, если в остатке 2, то – 50,если 3, то – 75. 14 х 25 = 14 : 4 = 3(ост.2), значит 300 + 50 = 350 Чтобы умножить на 125, достаточно число разделить на 8 и умножить на1000(т.к. 125 – восьмая часть от1000) 48 х 125 = 48 : 8 х 1000 = 6000

Чтобы перемножить два одинаковых числа, оканчивающихся на 5, достаточно к первой цифре одного из множителей прибавить 1. Получившееся число умножить на первую цифру второго множителя. Получим число сотен и припишем справа число 25. 75 х 75 = 5625 35 х 35 = 1225 +1 +1 ---------------- ----------- 8 4 Чтобы умножить на 11, можно умножить на10 и прибавить это же число. 23 х 11 = 23 х 10 + 23 =253 Или: записать последнюю цифру числа в конце произведения, затем сумму последней и предыдущей (и т.д., если цифр в числе несколько), а затем первую цифру числа. 23 х 11 = 2(2+3)3 = 253 243 х 11 = 2(2+4)(4+3)3 =2673 2543 х11 = 2(2+5)(5+4)(4+3)3 = 27973

Признаки делимости. : на 2 – чётные числа, круглые. : на 3 – сумма цифр которых делится на 3. : на 4 – две последние цифры составляют число, которое делится на 4 и числа, у которых два нуля на конце. : на 5 числа, у которых на конце 5 или 0. : на 6 числа, которые делятся и на 2 и на 3. : на 8 числа, в записи которых три последние цифры образуют число ,делящееся на8. : на 9 числа, сумма цифр которых делится на 9. : на 10 числа, которые оканчиваются на 0. : на 11 числа, если из суммы цифр, стоящих на нечётных местах вычесть сумму цифр на чётных местах получится 0 или число кратное 11. 87635064 8+6+5+6=25 7+3+0+4=14 25-14=11, значит всё число делится.

Для малых чисел: число справа налево делят по 2 цифры и складывают. Если сумма делится на11, то всё число делится. 528 5 + 28 =33, значит делится. : на12 числа, которые делятся и на 4, и на 3. : на14 числа, которые делятся и на 7, и на 2. : на 15 числа, которые делятся и на 3, и на 5.

Рационализация вычислений: 1) за счёт тождественного преобразования: 7584 : 6 -1584 : 6 = (7584 – 1584) : 6 1476 + 65 + 24 + 35 = ( 1476 +24) + (65 +35)= 2) за счёт возможности не выполнять некоторые арифметические действия: 104482 : 6 – 104482 : 6 = 0 (75840 : 20) х 20 = 75840 Свойства арифметических действий и конкретный смысл умножения 1) 120: ( 5 х 3) = 120 : 5 : 3 2) 630: 2 : 5 = 630 : (2 х 5) 3) 57 х 9 + 57 =57 х (9 + 1) 4) 4 х 35 х 25 х 2 = (4 х 25) х (35 х 2)

Возможность: устно вычислить 5300 : 2 : 5 = 5300 : (2 х 5) Выполнять меньшее количество действий 30452 х 3 х 2 =30452 х (3 х 2) 6532 х 3 + 3645 х 3 = (6532 + 3645) х 3 Проще вычислять 70 : 2 + 80 : 2 = (70 + 80) : 2 Связь результатов и компонентов действий (91010 – 57654) + 57654 = 91010 –увеличили и уменьшили на столько же Конкретный смысл выполнения вычитания и деления над одинаковыми компонентами а – а = 0 а : а = 0 (304 + 629) – (304 + 629) = 0 -одинаковые суммы Умножение на нуль , случаи умножения и деления 0. а х 0 = 0 0 х а = 0 0 : а = 0 283 х (4704 - 676) х 0 = 0

Представление некоторых одинаковых чисел одинаковыми выражениями (12004 – 4 х 19 ) + 4 х 19 = 12004 Представление нуля или одного из одинаковых чисел выражением: ( 12004 – 4 х 19 ) + 17= (12004 – 76 ) + 76 = 12004 ( 100 – 99 – 1) х (1723 – 23 х 13) = 0 х (1723 – 23 х 17) = 0 Возможность применения знаний не ко всему выражению, а к его части: 2380 + 2527 : 7 + 273 : 7 = 2380 + (2527 + 273) : 7 = 2380 + 2800 : 7 = =2380 + 400 = 2780 Возможность применять одновременно несколько знаний к разным частям выражения: 5 х 23 х 2 + 98 + 102 = (5 х 2) Х 23 + (98 + 102) = 230 + 200 = 430 783 х 4 + 783 х 6 – 703 х 8 х 0 = 783 х ( 4 + 6) – 0 = 7830 Возможность применения к одному выражению нескольких знаний – одного после другого. 5 х ( 300 + 65) – 5 х 65 =5 х 300 + 5 х 65 – 5 х 65 = 5 х 300 =1500 65277 : 3 : 3 – 65277 : 9 =65277 : ( 3 х 3) – 65277 : 9 = 65277 : 9 -65277 : 9 = 0

Умножение двузначных чисел. Основой умножения двузначных чисел является правило умножения суммы на число. 18 х 16 . Сначала число 18 представим в виде «суммы удобных (разрядных) слагаемых ,затем используем распределительный закон умножения относительно сложения: 18 х 16 =(10 + 8) х 16=10 х 16 + 8 х 16 = 160 + 128 = 288 Устно можно проще: к одному из чисел надо прибавить количество единиц другого, эту сумму умножить на 10 и прибавить к ней произведение единиц данных чисел: 18 х 16 = (18 + 6) х 10 + 8 х 6 = 240 + 48 =288 Таким способом можно умножать двузначные числа , меньше 20, а также числа ,в которых одинаковое количество десятков: 23 х 24 = (23 + 4) х 20 + 4 х 3 = 27 х 20 + 12 =540 + 12 = 562

Приём округления, основанный на изменении результата вычисления при изменении одного или нескольких компонентов. 1. Сложение. Для нахождения значения суммы используется приём округления одного или нескольких слагаемых. При увеличении (уменьшении) слагаемого на несколько единиц, сумму уменьшаем (увеличиваем) соответственно на столько же единиц: 324 + 48 = 324 + (48 + 2) – 2= (324 + 50) -2 = 374– 2 = 372 или 324 + 48 = (320+ 50) + 4 – 2 = 370 + 4 – 2 = 372 2. Вычитание. 1) при увеличении (уменьшении) уменьшаемого на несколько единиц разность уменьшаем (увеличиваем) на столько же единиц: 497 – 36 = (500 – 36) – 3 =464 – 3=461; 2) при увеличении (уменьшении) вычитаемого на несколько единиц разность увеличиваем (уменьшаем) на столько же единиц: 534 – 98 = (534 – 100) + 2 = 434 + 2 = 436

3)При увеличении ( уменьшении) уменьшаемого и вычитаемого на несколько единиц разность не изменяется: 231 – 96 = (231 + 4) – (96 +4) = 235 – 100 = 135 3. Умножение. При увеличении ( уменьшении) одного из множителей на несколько единиц умножаем полученное целое число и прибавленные (отнятые) единицы на другой множитель и из первого произведения вычитаем второе произведение (полученные произведения складываем). 97 х 6 = (100 – 3 ) х 6 = 100 х 6 – 3 х 6 = 600 – 18 = 582

Некоторые способы вычислений могут показаться сложными, но при правильной организации работы на уроке и внеклассных занятиях учащиеся осваивают их и с удовольствием используют в вычислительной деятельности. Привычка выполнять подобные вычисления устно формирует устойчивый навык, который не раз сыграет добрую службу при изучении более сложного материала. Вариативность вычислительных навыков учащихся формирует интерес, положительную мотивацию к вычислительной деятельности, даёт возможность знакомить школьников с известными вычислительными секретами, показать практическую значимость математики, тогда перед детьми откроется совсем другая математика – живая, полезная и понятная.

Ведь уроки математики должны учить считать, тренировать мышление ,разум, волю. И тогда наши ученики будут способными, уверенными и культурными. Ведь своя голова надёжней, чем самые современные вычислительные средства. ,