🗊 Раздел 3 Анализ собственных колебаний

Раздел 3 Анализ собственных колебаний

Раздел 3. Анализ собственных колебаний НЕОБХОДИМОСТЬ ВЫПОЛНЕНИЯ АНАЛИЗА СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ… 3 - 3 ОБЗОР ТЕОРИИ……………………………………………………………………………… 3 - 4 ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ…..………………………. 3 - 8 ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ФОРМ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ.……… 3 - 12 МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ………….………………………………………………………. 3 - 14 ТЕОРИЯ МЕТОДА Штурма……………………………………………………………………3 - 16 МЕТОД Ланцоша………….…………………………………………………………………… 3 - 17 ИНТЕРФЕЙС ПОЛЬЗОВАТЕЛЯ ДЛЯ МЕТОДА Ланцоша.…………………………….. 3 - 18 ИНТЕРФЕЙС ПОЛЬЗОВАТЕЛЯ ДЛЯ ДРУГИХ МЕТОДОВ……………………………… 3 - 19 УПРАВЛЕНИЕ РЕШЕНИЕМ ПРИ АНАЛИЗЕ СОБСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ……… 3 - 21 ВИДЫ ВЫЧИСЛЯЕМЫХ ВЕЛИЧИН..……………………………………………………… 3 - 22 ПРИМЕР №1 – МОДАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ПЛОСКОЙ ПЛАСТИНЫ.…………………… 3 - 23 “ГЕОМЕТРИЯ” ПЛАСТИНЫ……………………….………………………………………… 3 - 26 ВХОДНОЙ ФАЙЛ ДЛЯ ПРИМЕРА №1……..……………………………………………… 3 - 29 РЕЗУЛЬТАТЫ РЕШЕНИЯ ПРИМЕРА №1..……………………………………………….. 3 - 30

Необходимость выполнения анализа собственных колебаний Исследование динамических характеристик конструкции. Например, если ротационную машину предполагается установить на некоторое основание, то для исключения чрезмерных вибраций необходимо убедиться, что частота вращения ротора достаточно “далека” от частоты собственных колебаний основания. Исследование возможного увеличения нагрузок вследствие динамических эффектов. Использование информации о характеристиках собственных колебаний для планирования последующего динамического анализа (переходного процесса, частотного отклика): что необходимо предпринять, чтобы расчетная модель соответствовала требованиям, предъявляемым к вычислениям. Использование информации о характеристиках собственных колебаний для планирования последующего динамического анализа модальным методом. Планирование экспериментального исследования конструкции: выбор мест расположения датчиков ускорений и т.п. Оценивание конструктивных изменений.

Обзор теории Рассмотрим (1) Представим решение в форме (2) (Физически это означает, что все координаты изменяются синхронно – форма деформаций системы остается постоянной, меняется только ее амплитуда.) Из уравнения (2): (3) Подставляя уравнения (2) и (3) в уравнение (1), имеем что (после деления на eit) упрощается к виду Это – формулировка задачи о собственных значениях.

Обзор теории Возможны два варианта: 1. Если det , то из уравнения (4): Что является тривиальным решением и с физической точки зрения не представляет интереса. 2. В противном случае , что приводит к нетривиальному решению в отношении . Т.о., задача о собственных значениях упрощается до задачи решения уравнения: или где

Обзор теории Если конструкция имеет N степеней свободы с “присоединенными” массами, тогда будет N которые являются решениями собственной задачи.. Эти ’s(1,2,…,n) – частоты собственных колебаний, характеристические частоты, фундаментальные частоты или резонансные частоты. Собственный вектор , ассоциирующийся с частотой , называется нормальной модой или модальной формой (формой собственных колебаний). Нормальная мода соответствует некоторой форме деформаций конструкции. При колебаниях форма конструкции в любой момент времени является линейной комбинацией её нормальных мод.

Обзор теории Пример

Основные свойства собственных колебаний Если [K] и [M] симметричные и действительные (что характерно для конечно-элементных моделей обычных конструкций), справедливы следующие условия ортогональности: и а также Собственные частоты (1,2,…) измеряются в рад/c. Для этого можно использовать также Гц (колебание/с), причем

Основные свойства собственных колебаний Пример: незакрепленная структура имеет форму колебаний жесткого тела. Если конструкция не полностью закреплена, т.е. существует мода колебаний жесткого тела (бездеформационная мода, ненапряженная мода) или механизм, то по крайней мере одна собственная частота будет равна нулю.

Основные свойства собственных колебаний Формы собственных колебаний произвольно масштабируются. Например, являются одними и теми же модами колебаний.

Основные свойства собственных колебаний На практике формы колебаний нормализуются с помощью выбранного метода. В MSC.Nastran предусмотрены три метода нормализации (исключая метод Ланцоша): Единичная обобщенная масса (по умолчанию) Единичное значение наибольшего для каждой моды компонента набора A-set Единичное значение для указанного компонента (не рекомендуется) При использовании метода Ланцоша возможна нормализация по методу единичной обобщенной массы и методу единичного наибольшего компонента.

Дополнительные свойства форм собственных колебаний Поскольку деформации элементов, внутренние силы и напряжения в них зависят от величины деформации конструкции, могут быть вычислены дополнительные полезные модальные характеристики. Учитывая Соотношение перемещение – деформация Соотношение деформация - напряжение Соотношение перемещение - сила Соотношение перемещения – энергия деформации

Дополнительные свойства форм собственных колебаний Для выбранного модального перемещения имеем Модальные деформации Модальные напряжения Модальные силы Модальную энергию деформации Дополнительные модальные характеристики могут быть получены в табличной форме путем задания соответствующих параметров в Case Control Section или в матричной форме путем использования модуля DRMS1 на языке DMAP.

Методы вычислений В MSC.Nastran предусмотрены 3 группы методов вычислений собственных значений: Последовательные (tracking) методы (см. Приложение B) Собственные значения (или собственные частоты) определяются поочередно методом итераций. Возможен выбор между двумя вариантами метода “inverse power method”: INV и SINV. Эти методы более приемлемы при необходимости определения небольшого количества собственных частот. В целом, метод SINV более надежен, чем метод INV. Методы трансформации (см. Приложение B) Собственная задача преобразуется в форму где

Методы вычислений Затем матрица A трансформируется в тридиагональную форму с использованием метода Гивенса (Givens) или метода Хаусхолдера (Householder). После этого все собственные значения определяются одновременно с помощью алгоритма QR. Предусматривается по два варианта методов Гивенса и Хаусхолдера: GIV, MGIV, HOU и MHOU. Эти методы более эффективны, если необходимо определить большое количество собственных значений. Метод Ланцоша (рекомендуемый метод) Этот метод является комбинированным (tracking-transformation) методом.

Теория метода Штурма Выбирается . Преобразуется . Количество отрицательных членов на факторной диагонали равно количеству собственных значений с величиной, меньшей .

Метод Ланцоша Метод Ланцоша с использованием блоков, смещений (shifts), инверсий Случайные исходные (начальные) векторы Автоматическая логика смещений Частичная и выборочная ортогонализация Применение метода Штурма Применение метода Гивенса и алгоритма QL Возможность использования для модального анализа и анализа устойчивости Нормализация только по массе и наибольшему компоненту В отличие от метода GDR (см. Приложение A), нет необходимости в скалярных переменных (точках) типа QSET, ASET и т.п., (если только не выполняется анализ методом модального синтеза)

Интерфейс пользователя для метода Ланцоша

Интерфейс пользователя для других методов

Интерфейс пользователя

Управление решением при анализе собственных колебаний Executive Control Section SOL 103 Case Control Section METHOD (инициализация оператора EIGRL) Bulk Data Section EIGRL (метод Ланцоша)

Виды вычисляемых величин Для узлов GRID DISPLACEMENT (или VECTOR) GPFORCE GPSTRESS SPCFORCE GPKE Для элементов ELSTRESS (или STRESS) ESE EKE ELFORCE (или FORCE) STRAIN Специальный оператор MODES – результаты для каждой моды выводятся как результаты для отдельного “случая” расчета

Пример №1 Модальный анализ плоской пластины

Пример №1. Модальный анализ плоской пластины Используя метод Ланцоша, найти первые десять собственных частот и форм колебаний плоской прямоугольной пластины. Ниже представлена конечно-элементная модель прямоугольной пластины, включающая также граничные условия. Таблица 3А содержит необходимые данные для создания входного файла. Координаты узлов Grid и топология элементов

Пример №1. Модальный анализ плоской пластины Граничные условия

“Геометрия” пластины

“Геометрия” пластины

“Геометрия” пластины

Входной файл для Примера №1

Результаты решения Примера №1

Результаты решения Примера №1