🗊Презентация Случайные величины и их законы распределения

Лекция №2 СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Ряд распределения. Многоугольник распределения

Рассмотрим прерывную случайную величину X с возможными значениями x1, х2, …, хn. Каждое из этих значений возможно, но не достоверно, и величина X может принять каждое из них с некоторой вероятностью. В результате опыта величина X примет одно из этих значений, т. е. произойдет одно из полной группы несовместных событий. Рассмотрим прерывную случайную величину X с возможными значениями x1, х2, …, хn. Каждое из этих значений возможно, но не достоверно, и величина X может принять каждое из них с некоторой вероятностью. В результате опыта величина X примет одно из этих значений, т. е. произойдет одно из полной группы несовместных событий. Обозначим вероятности этих событий буквами р с соответствующими индексами: Р(Х=х1)=р1; Р(Х=х2) = р2; ...; Р(Х = хn) = рn.

Ряд распределения случайной величины X имеет следующий вид Ряд распределения случайной величины X имеет следующий вид

Многоугольник распределения, так же как и ряд распределения, полностью характеризует случайную величину; он является одной из форм закона распределения. Многоугольник распределения, так же как и ряд распределения, полностью характеризует случайную величину; он является одной из форм закона распределения.

Функция распределения Для количественной характеристики распределения вероятностей удобно воспользоваться не вероятностью события Х=х, а вероятностью события X<x, где х – некоторая текущая переменная. Вероятность этого события зависит от х, есть некоторая функция от х. Эта функция называется функцией распределения случайной величины Х и обозначется F(x): F(x)=P(X<x)

Функция распределения F(x) иногда называют также интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения. Функция распределения F(x) иногда называют также интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения. Функция распределения – самая универсальная характеристика случайной величины. Она существует для всех случайных величин: как прерывных, так и непрерывных. Функция распределения полностью характеризует случайную величину с вероятностной точки зрения, т.е. является одной из форм закона распределения.

Сформулируем некоторые общие свойства функции распределения. Сформулируем некоторые общие свойства функции распределения. Функция распределения F(x) есть неубывающая функция своего аргумента, т. е. при х2 > х1 F(х2) ≥ F(x1). На минус бесконечности функция распределения равна нулю: F (- ∞) = 0. На плюс бесконечности функция распределения равна единице: F (+ ∞) = 1.

Не давая строгого доказательства этих свойств, проиллюстрируем их с помощью наглядной геометрической интерпретации. Для этого будем рассматривать случайную величину X как случайную точку X на оси Ох, которая в результате опыта может занять то или иное положение. Не давая строгого доказательства этих свойств, проиллюстрируем их с помощью наглядной геометрической интерпретации. Для этого будем рассматривать случайную величину X как случайную точку X на оси Ох, которая в результате опыта может занять то или иное положение. Тогда функция распределения F(x) есть вероятность того, что случайная точка X в результате опыта попадет левее точки х.

Плотность распределения Функция f(x) – произвольная функция распределения характеризует как бы плотность, с которой распределяются значения случайной величины в данной точке. Эта функция называется плотностью распределения (иначе – «плотность вероятностей») непрерывной случайной величины. Иногда функцию f(x) называют также «дифференциальной функцией распределения» или «дифференциальным законом распределения» величины Х.

Плотность распределения, так же как и функция распределения, есть одна из форм закона распределения. Плотность распределения, так же как и функция распределения, есть одна из форм закона распределения. В противоположность функции распределения эта форма не является универсальной: она существует только для непрерывных случайных величин.

Рассмотрим непрерывную случайную величину X с плотностью распределения f(х) и элементарный участок dх, примыкающий к точке х. Вероятность попадания случайной величины X на этот элементарный участок (с точностью до бесконечно малых высшего порядка) равна f(х)dх. Рассмотрим непрерывную случайную величину X с плотностью распределения f(х) и элементарный участок dх, примыкающий к точке х. Вероятность попадания случайной величины X на этот элементарный участок (с точностью до бесконечно малых высшего порядка) равна f(х)dх. Величина f(х)dх называется элементом вероятности. Геометрически это есть пло­щадь элементарного прямоугольника, опирающегося на отрезок dх.

Выразим вероятность попадания величины X на отрезок от α до β через плотность распределения. Очевидно, она равна сумме элементов вероятности на всем этом участке, т. е. интегралу: Выразим вероятность попадания величины X на отрезок от α до β через плотность распределения. Очевидно, она равна сумме элементов вероятности на всем этом участке, т. е. интегралу:

Основные свойства плотности распределения. Основные свойства плотности распределения. Плотность распределения есть неотрицательная функция:

Геометрически основные свойства плотности распределения означают, что: Геометрически основные свойства плотности распределения означают, что: вся кривая распределения лежит не ниже оси абсцисс; 2) полная площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.

Математическим ожиданием случайной величины называется сумма произведений всех возможных значений случайной величины на вероятности этих значений. , где Х – прерывная случайная величина, М[X] – среднее значение случайной величины, – возможные значения величины Х, – вероятности значений.

где f(x) – плотность распределения величины Х. Из характеристик положения в теории вероятности важнейшую роль играет математическое ожидание случайной величины, которое иногда называют просто средним значением случайной величины.

Понятие момента широко применяется в механике для описания распределения масс. Совершенно теми же приемами пользуются в теории вероятностей для описания основных свойств распределения случайной величины. Чаще всего применяются на практике моменты двух видов: начальные и центральные.

Начальным моментом s-го порядка прерывной случайной величины Х называется сумма вида: Для непрерывной случайной величины Х начальным моментом s-го порядка называется интеграл:

Центральным моментом порядка s случайной величины Х называется математическое ожидание s-ой степени соответствующей центрированной случайной величине: Для любой случайной величины центральный момент первого порядка равен нулю: т. к. математическое ожидание центрированной случайной величины всегда равно нулю.

Из всех моментов в качестве характеристик случайной величины чаще всего применяются первый начальный момент (математическое ожидание) и второй центральный момент. Второй центральный момент называется дисперсией случайной величины (D[X]). Согласно определению центрального момента: т.е. дисперсией случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата соответствующей центрированной величины.

РАВНОМЕРНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛНИЯ Случайная величина имеет равномерный закон распределения если ее значения в интервале одинаково равновероятны.

Равномерный закон распределения характеризуется плотностью вероятности вида:

Равномерный закон распределения характеризуется функцией распределения вида :

НОРМАЛЬНЫЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ Нормальный закон распределения (часто называемый законом Гаусса) играет исключительно важную роль в теории вероятностей и занимает среди других законов распределения особое положение. Это — наиболее часто встречающийся на практике закон распределения. Главная особенность, выделяющая нормальный закон среди других законов, состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения при весьма часто встречающихся типичных условиях.

Кривая распределения, по нормальному закону имеет симметричный колоколообразный вид. Максимальная ордината кривой, равная Кривая распределения, по нормальному закону имеет симметричный колоколообразный вид. Максимальная ордината кривой, равная соответствует точ­ке х = т; по мере удаления от точки m плотность распределения падает, и при x → ± ∞ кривая асимптотически приближается к оси абсцисс.

Нормальный закон распределения характеризуется плотностью вероятности вида:

Нормальный закон распределения характеризуется функцией распределения вида:

РЕЛЕЕВСКИЙ ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Релеевский закон распределения определяется функцией вида