Собственные векторы и собственные значения линейного оператора

Нажмите для полного просмотра!

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора, слайд №2

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора, слайд №3

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора, слайд №4

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора, слайд №5

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора, слайд №6

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора, слайд №7

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора, слайд №8

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора, слайд №9

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора, слайд №10

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора, слайд №11

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора, слайд №12

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора, слайд №13

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора, слайд №14

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора, слайд №15

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора, слайд №16

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора, слайд №17

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора, слайд №18

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора, слайд №19

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора, слайд №20

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора, слайд №21

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора, слайд №22

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора, слайд №23

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора, слайд №24

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора, слайд №25

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора, слайд №26

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора, слайд №27

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Доклад-сообщение содержит 27 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Описание слайда:

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора 1.Определение 2. Нахождение СЗ и СВ линейного оператора 3. Свойства СВ 4. Линейный оператор с простым спектром

Слайд 2

Описание слайда:

1. Определения

Слайд 3

Описание слайда:

2. Нахождение собственных значений и собственных векторов линейного оператора Пусть φ – оператор n-мерного пространства V , v – собственный вектор оператора φ , относящийся к собственному значению λ , т.е. φ(v)= λ·v. Пусть { b1,b2,…,bn }– базис V , A – матрица линейного оператора φ в базисе { b1,b2,…,bn } и v = c1b1 + c2b2 + … + cnbn  φ(v)= φ(c1b1 + c2b2 + … + cnbn v)= c1φ(b1)+ c2φ(b2 )+ … + cnφ(bn) =

Слайд 4

Описание слайда:

Нахождение собственных значений и собственных векторов линейного оператора (продолжение) Получили: v – собственный вектор оператора φ , относящийся к соб- ственному значению λ  его координаты c1,c2,…,cn являются решением (нетривиальным) системы линейных однородных уравнений (A–λI)X=O.

Слайд 5

Описание слайда:

Определения 2.1. Определения 2.1. Матрица A–λI называется характеристической матрицей оператора φ (матрицы A) . Определитель характеристической матрицы, т.е. det(A–λI) – многочлен степени n относительно переменной λ . Многочлен det(A–λI) называют характеристическим много- членом оператора φ (матрицы A). Корни многочлена det(A–λI) называют характеристи- ческими корнями оператора φ (матрицы A).

Слайд 6

Описание слайда:

Слайд 7

Описание слайда:

Таким образом, число λ является собственным значением оператора φ тогда и только тогда, когда оно является его характеристическим корнем.

Слайд 8

Описание слайда:

Слайд 9

Описание слайда:

Пример вычисления СЗ для матрицы

Слайд 10

Описание слайда:

3.Свойства собственных векторов 1. Лемма 3.1. Каждый собственный вектор v оператора φ относится к единственному собственному значению. Доказательство (от противного). Пусть вектор v относится к двум различным собственным значениям - и : Но вектор v – ненулевой, поэтому QED

Слайд 11

Описание слайда:

Лемма 3.2. Если v1 и v2 – собственные векторы оператора φ, относящиеся к одному и тому же собственному значению λ , то их линейная комбинация a·v1+b·v2 – собственный вектор оператора φ , относящийся к тому же собственному значению. Лемма 3.2. Если v1 и v2 – собственные векторы оператора φ, относящиеся к одному и тому же собственному значению λ , то их линейная комбинация a·v1+b·v2 – собственный вектор оператора φ , относящийся к тому же собственному значению. Доказательство. φ (a·v1+b·v2 ) = a φ (v1)+b φ(v2 ) = a λv1+b λ v2 = λ (a·v1+b·v2 ) QED

Слайд 12

Описание слайда:

Следствия 3.3. Следствия 3.3. а) каждому собственному значению λ соответствует беско- нечное множество собственных векторов; б) если к множеству всех собственных векторов x оператора φ, относящихся к собственному значению λ, присоединить нулевой вектор, то получится подпространство простран- ства V. Оно называется собственным подпространством оператора и обозначается Vλ.

Слайд 13

Описание слайда:

Лемма 3.4. Собственные векторы x1,x2,…,xk оператора φ, относящиеся к попарно различным собственным значениям λ1,λ2,…, λk , линейно независимы. Лемма 3.4. Собственные векторы x1,x2,…,xk оператора φ, относящиеся к попарно различным собственным значениям λ1,λ2,…, λk , линейно независимы. Доказательство (от противного). Предположим x1,x2,…,xk ЛЗ: с1x1+с2x2+…+ сk xk =0 и хотя бы один из коэффициентов – ненулевой, например, сk - ненулевое число. Проведем две операции: применим оператор φ и умножим на λ1 φ (с1x1+с2x2+…+ сk xk) = с1λ1x1+с2λ2x2 …+ сk λk xk =0 и λ1(с1x1+с2x2+…+ сk xk) = с1λ1x1+с2λ1x2 …+ сk λ1 xk =0. с1λ1x1+с2λ2x2 …+ сk λk xk =0 с1λ1x1+с2λ1x2 …+ сk λ1 xk = 0 Вычтем из первого второе соотношение: с2 (λ2-λ1)x2…+ сk ( λk -λ1)xk =0.

Слайд 14

Описание слайда:

Точно также применим оператор φ, умножим на λ2 Точно также применим оператор φ, умножим на λ2 φ(с2 (λ2-λ1)x2…+ сk ( λk -λ1)xk) =с2λ2 (λ2-λ1)x2…+сk λk ( λk -λ1)xk =0 и λ2(с2 (λ2-λ1)x2…+ сk ( λk -λ1)xk) = с2λ2 (λ2-λ1)x2…+с2 λk ( λk -λ1)xk =0 и вычтем: с3 (λ3-λ1) (λ3-λ2) x3…+ сk ( λk -λ1) ( λk –λ2) xk =0. Продолжая так, в конце концов получим сk ( λk -λ1) ( λk –λ2) … ( λk –λk-1) xk =0. Собственные значения различны, собственный вектор – ненулевой. Отсюда следует сk =0, что противоречит предположению. QED

Слайд 15

Описание слайда:

Следствия 3.5: Следствия 3.5: а) линейный оператор, действующий в n-мерном линейном пространстве V, не может иметь более n собственных значений; б) в пространстве может существовать базис, хотя бы часть которого – собственные векторы оператора.

Слайд 16

Описание слайда:

Слайд 17

Описание слайда:

Теорема 3.8 (необходимое и достаточное условие диагональ- ности матрицы оператора) . Теорема 3.8 (необходимое и достаточное условие диагональ- ности матрицы оператора) . Матрица A оператора φ в базисе {b1,b2,…,bn} имеет диагональный вид  все базисные векторы bi являются собственными векторами этого оператора. Доказательство. QED

Слайд 18

Описание слайда:

Теорема 3.9. (Условие диагонализуемости оператора) Теорема 3.9. (Условие диагонализуемости оператора)

Слайд 19

Описание слайда:

Слайд 20

Описание слайда:

Слайд 21

Описание слайда:

Критерий диагонализируемости оператора: оператор φ диагонализируем тогда и только тогда, когда в пространстве V существует базис, каждый из векторов которого является собственным вектором оператора .

Слайд 22

Описание слайда:

Пример Пример

Слайд 23

Описание слайда:

Пример (продолжение) Пример (продолжение)

Слайд 24

Описание слайда:

Слайд 25

Описание слайда:

4.Линейный оператор с простым спектром Определение 4.1 Набор всех собственных значений оператора называется спектром оператора. Определение 4.2. Линейный оператор n-мерного векторного пространства, имеющий n попарно различных собственных значений, называется оператором с простым спектром.