Свойства функций, имеющих предел. Асимптоты графика функции и методы их отыскания.

Нажмите для полного просмотра!

Свойства функций, имеющих предел. Асимптоты графика функции и методы их отыскания., слайд №2

Свойства функций, имеющих предел. Асимптоты графика функции и методы их отыскания., слайд №3

Свойства функций, имеющих предел. Асимптоты графика функции и методы их отыскания., слайд №4

Свойства функций, имеющих предел. Асимптоты графика функции и методы их отыскания., слайд №5

Свойства функций, имеющих предел. Асимптоты графика функции и методы их отыскания., слайд №6

Свойства функций, имеющих предел. Асимптоты графика функции и методы их отыскания., слайд №7

Свойства функций, имеющих предел. Асимптоты графика функции и методы их отыскания., слайд №8

Свойства функций, имеющих предел. Асимптоты графика функции и методы их отыскания., слайд №9

Свойства функций, имеющих предел. Асимптоты графика функции и методы их отыскания., слайд №10

Свойства функций, имеющих предел. Асимптоты графика функции и методы их отыскания., слайд №11

Свойства функций, имеющих предел. Асимптоты графика функции и методы их отыскания., слайд №12

Свойства функций, имеющих предел. Асимптоты графика функции и методы их отыскания., слайд №13

Свойства функций, имеющих предел. Асимптоты графика функции и методы их отыскания., слайд №14

Свойства функций, имеющих предел. Асимптоты графика функции и методы их отыскания., слайд №15

Свойства функций, имеющих предел. Асимптоты графика функции и методы их отыскания., слайд №16

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Свойства функций, имеющих предел. Асимптоты графика функции и методы их отыскания.. Доклад-сообщение содержит 16 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Описание слайда:

Лекция 2.2 Свойства функций, имеющих предел. Асимптоты графика функции и методы их отыскания.

Слайд 2

Описание слайда:

Свойства функций, имеющих предел. ТЕОРЕМА 1. Если функция f(x) имеет предел в точке а, то найдется такая проколотая окрестность точки а, в которой функция ограничена. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть Тогда, по определению предела, для  = 1 найдется такая проколотая -окрестность точки а , что для всех выполняется неравенство А – 1 < f(x) < А+1. Это и означает ограниченность функции на множестве

Слайд 3

Описание слайда:

ТЕОРЕМА 2. Если функция f(x) имеет в точке а предел, отличный от нуля, то найдется такая проколотая окрестность точки а, в которой функция сохраняет знак предела. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть Тогда, по определению предела, для найдется такая проколотая -окрестность точки а , что Если А > 0, то из левого неравенства  если А < 0, то из правого неравенства 

Слайд 4

Описание слайда:

ТЕОРЕМА 3. Если f (x)  0 в некоторой проколотой окрестности точки а и то А  0. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Воспользуемся определением предела по Гейне. Возьмем числовую последовательность Тогда Следовательно, по соответствующей теореме для числовых последовательностей, А  0.

Слайд 5

Описание слайда:

ТЕОРЕМА 4. (О двух милиционерах.) Если в некоторой проколотой окрестности точки а справедливы неравенства f(x)  g(x)  (x) и существуют то ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Воспользуемся определением предела по Гейне. Возьмем сходящуюся к а. Тогда и f( xn)  g( xn)   ( xn) для всех n. Следовательно по теореме о двух милиционерах для числовых последовательностей т.е. существует

Слайд 6

Описание слайда:

ТЕОРЕМА 5. Если f(x) = с – постоянная в некоторой проколотой окрестности точки а, то Если существуют тогда существуют и

Слайд 7

Описание слайда:

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Воспользуемся определением предела по Гейне. Возьмем ЧП сходящуюся к а. Тогда f(xn) = с для всех n и следовательно 2. Воспользуемся определением предела по Гейне. Возьмем ЧП сходящуюся к а. Тогда по теореме о пределе суммы для ЧП то есть

Слайд 8

Описание слайда:

СЛЕДСТВИЯ из теорем 3, 5. Если f(x)  В в некоторой проколотой окрестности точки а и то А  В. Если существует то для любого числа С

Слайд 9

Описание слайда:

Арифметика бесконечностей. Введем обозначения: С = const  0. ∞ – бесконечно большая функция произвольного знака; + ∞ – бесконечно большая положительная функция; – ∞ – бесконечно большая отрицательная функция; 0 – бесконечно малая функция; 1 – функция, предел которой равен 1. Тогда имеют место следующие соотношения: С∞ = ∞ С/0 = ∞ С/∞ = 0 + ∞ + ∞ = + ∞ –∞ – ∞ = – ∞ (+∞)С = + ∞, если С>0 (0, если C < 0) (+∞)+∞ = + ∞

Слайд 10

Описание слайда:

Неопределенные ситуации, требующие исследования. 0/0 0∞ ∞/∞ ∞ – ∞ 1∞ 00 ∞0

Слайд 11

Описание слайда:

Асимптоты графика функции. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРТИКАЛЬНОЙ АСИМПТОТЫ. Прямая х = а называется вертикальной асимптотой графика функции f(x), если выполнено хотя бы одно из условий: ПРИМЕР. Прямая х = 1 является вертикальной асимптотой графика функции так как

Слайд 12

Описание слайда:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАКЛОННОЙ АСИМПТОТЫ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ НАКЛОННОЙ АСИМПТОТЫ. Прямая у = kx + b называется наклонной асимптотой графика функции f(x) при х +  (при х – ), если СПОСОБ ОТЫСКАНИЯ НАКЛОННОЙ АСИМПТОТЫ. ТЕОРЕМА. Прямая у = kx + b является наклонной асимптотой графика функции f(x) при х +  (при х – ) тогда и только тогда, когда существуют конечные пределы

Слайд 13

Описание слайда:

Доказательство. Доказательство. Пусть Тогда f(x) – (kx + b) = (х), где (х) бесконечно малая при х + . Отсюда получим, что

Слайд 14

Описание слайда:

Пусть Пусть Тогда f(x) – (kx + b) = (f(x) –kx) – b = b+ (х) – b = (х)  0 при х +. ЗАМЕЧАНИЕ. Для случая горизонтальной асимптоты теорема формулируется так: Для того, чтобы прямая y = b была асимптотой графика функции f(x) при х + , необходимо и достаточно, чтобы