🗊Презентация Начертательная геометрия

Начертательная геометрия

Литература В.О. Гордон, М.А. Семенцов-Огиевский «Курс начертательной геометрии»; С.А. Фролов «Начертательная геометрия»; Стандарты ЕСКД; Д.В. Сорокин, О.В. Бразговка, О.П. Микова «Аксонометрические проекции»; О.В. Бразговка, О.П. Микова «Начертательная геометрия» рабочая тетрадь с печатной основой для записи конспекта лекций; О.В. Бразговка, О.П. Микова «Начертательная геометрия» рабочая тетрадь; О.В. Бразговка, О.П. Микова «Начертательная геометрия» эпюры 1, 2, 3; О.В. Бразговка, О.П. Микова, С.И. Нюкалова «Инженерная графика» рабочая тетрадь.

Условные обозначения Точки в пространстве – прописными буквами латинского алфавита : A, B, C,… а также цифрами: 1, 2, 3, … 2. Линии в пространстве, произвольно расположенные по отношению к плос-костям проекции, – строчными буквами латинского алфавита: a, b, l, … 3. Плоскости в пространстве – строчными буквами греческого алфавита: α, β, γ 4. Линии уровня: h – горизонталь; f – фронталь; р – профильная прямая уровня. 5. Плоскости проекций: H (π1) – горизонтальная плоскость проекции; V (π2) – фронтальная плоскость проекции; W (π3) – профильная плоскость проекции. 6. Углы наклона прямой или плоскости к плоскостям проекции: α – к плоскости Н; β – к плоскости V; γ – к плоскости W.

7. Углы – строчными буквами греческого алфавита: θ, φ, ω, … 8. Проекции точек: на горизонтальную плоскость проекции Н – А', В', С', …(А1, В1, С1, …); на фронтальную плоскость проекции V – А'', В'', С'', …(А2, В2, С2, …); на профильную плоскость проекции W – А''', В''', С''', …(А3, В3, С3, …). 9. Проекции линий: на горизонтальную плоскость проекции Н – a', b', c', …(a1, b1, c1, …); на фронтальную плоскость проекции V – a'', b'', c'', …(a2, b2, c2, …); на профильную плоскость проекции W – a''', b''', c''', …(a3, b3, c3, …). 10. Оси проекций: x – ось абсцисс; y – ось ординат; z – ось аппликат. 11. Сокращенные обозначения произвольных операций: знак параллельности – ∥; знак совпадения (тождества) – ≡; знак перпендикулярности – ⊥; знак принадлежности – ∈.

Центральное проецирование Центральное проецирование является наиболее общим случаем получения проекций геометрических фигур. Сущность его заключается в следующем: Дана плоскость α и точка S. Произвольные точки А и В не принадлежат α и S. Через заданную точку S и точки А и В проведем лучи и отметим точки Аα, Вα, в которых эти лучи пересекают плоскость α. Плоскость α называют плоскостью проекции, точку S – центром проекции, полученные точки Аα, Вα – центральными проекциями точек А и В на плоскость α. При заданном аппарате проецирования – S и α, каждая точка будет иметь одну и только одну центральную проекцию. Обратное утверждение не имеет смысла.

Параллельное проецирование Рассмотрим частный случай центрального проецирования, у которого центр проекции бесконечно удален. Очевидно, при таком положении центра все проецирующие лучи будут параллельны. Аппарат параллельного проецирования определяется положением плоскости α и направлением проецирования. Каждая точка пространства, при заданном аппарате проецирования, будет иметь одну и только одну проекцию. Обратное утверждение не имеет смысла.

Основные инвариантные свойства параллельного проецирования Геометрические фигуры проецируются на плоскость проекции, в общем случае, с искажением. При этом характер искажений проекций по сравнению с оригиналом зависит от аппарата проецирования и положения проецируемой фигуры по отношению к плоскости проекций. Наряду с этим, между оригиналом и его проекцией существует определенная связь, заключающаяся в том, что некоторые свойства оригинала сохраняются и на его проекции. Такие свойства принято называть инвариантными (независимыми) для данного способа проецирования. Отметим основные инвариантные свойства параллельного проецирования:

1. проекция точки есть точка; 2. проекция прямой на плоскость есть прямая; 3. если в пространстве точка принадлежит прямой, то проекция точки принадлежит проекции этой прямой; 4. проекции взаимно параллельных прямых также взаимно параллельны, а отношение отрезков таких прямых равно отношению их параллельных проекций; а) если отрезок прямой делится точкой в каком-либо отношении, то и проекция отрезка делится проекцией этой точки в том же отношении; б) проекции конгруэнтных отрезков взаимно параллельных прямых взаимно параллельны и конгруэнтны (поэтому проекцией любого параллелограмма будет параллелограмм);

Прямоугольное (ортогональное) проецирование Частный случай параллельного проецирования, при котором направление проецирования перпендикулярно плоскости проекции. Ортогональное проецирование обладает рядом преимуществ перед центральным и параллельным проецированием: простота геометрических построений для определения ортогональных проекций точек; возможность при определенных условиях сохранить на проекциях форму и размеры проецируемой фигуры.

Пространственная модель координатных плоскостей проекций Положение точки в пространстве может быть определено, если будет задана какая-либо координатная система. Наиболее удобной является декартова система координат, состоящая из трех взаимно перпендикулярных плоскостей. Н – горизонтальная плоскость проекции; V – фронтальная плоскость проекции; W – профильная плоскость проекции. х – ось абсцисс; y – ось ординат; z – ось аппликат. О – начало координат. Координатные плоскости делят пространство на 8 октантов

Пользоваться пространственным макетом для отображения ортогональных проекций геометрических форм неудобно ввиду его громоздкости. Поэтому пользуются эпюром. Пользоваться пространственным макетом для отображения ортогональных проекций геометрических форм неудобно ввиду его громоздкости. Поэтому пользуются эпюром. Преобразование пространственного макета в эпюр осуществляется путем совмещения плоскостей H, V, W в одну плоскость. Так как плоскости не имеют границ, то на эпюре эти границы не показывают, нет необходимости оставлять надписи, указывающие названия плоскостей проекций и названия отрицательных координатных осей. В окончательном виде эпюр, заменяющий чертеж пространственного макета примет вид, показанный на рисунке.

Точка в системе трех плоскостей проекции Рассмотрим точку А в пространстве. Ее положение определяется тремя координатами (x, y, z). Из точки А проведем перпендикуляры к плоскостям проекций. Определим точки пересечения перпендикуляров с плоскостями проекций – A′, A″, A‴ [Oax]=[AA‴] – абсцисса точки А [Oay]=[AA″] – ордината точки А [Oaz]=[AA′] – аппликата точки А Прямые (AA‴), (AA″), (AA′) называют проецирующими прямыми. Горизонтальная проекция точки определяется координатами x, y; A′ (x, y) Фронтальная – x, z; A″ (x, z) Профильная – y, z; A‴ (y, z)

Из этого следует: Из этого следует: Положение точки в пространстве вполне определяется положением ее двух ортогональных проекций. Как следствие этого – по двум любым заданным ортогональным проекциям точки всегда можно построить недостающую ее третью ортогональную проекцию. Горизонтальная и фронтальная проекции любой точки принадлежат одной линии связи, перпендикулярной оси х. Фронтальная и профильная проекции любой точки принадлежат одной линии связи, перпендикулярной оси z. Составим таблицу знаков координат точки в октантах:

Построить эпюр точки А(30, 30, 40) Откладываем координату x – отрезок Оаx.

Откладываем координату y – отрезок аxA'. Откладываем координату y – отрезок аxA'.

Откладываем координату z – отрезок аxA''. Откладываем координату z – отрезок аxA''.

Строим профильную проекцию точки А, для этого проводим линию связи A''az. Строим профильную проекцию точки А, для этого проводим линию связи A''az.

Откладываем отрезок azA''', равный отрезку axA'. Откладываем отрезок azA''', равный отрезку axA'.

Построить эпюр точки А(20, -30, -10).

Дана точка А(30, 20, 40). Построить точку В, расположенную симметрично точке А относительно оси z. Дана точка А(30, 20, 40). Построить точку В, расположенную симметрично точке А относительно оси z. Точка А расположена в I-ом октанте. Точка В расположится в VI-ом октанте. Ее координаты (-30, -20, 40).

Дана точка А(40, 40, 20). Построить эпюр точки В, расположенной симметрично точке А относительно оси х. Дана точка А(40, 40, 20). Построить эпюр точки В, расположенной симметрично точке А относительно оси х. Точка А расположена в I-ом октанте. Точка В расположится в III-ем октанте. Ее координаты (40, -40, -20).