🗊Презентация Задачи с параметрами

Выполнена учителем математики МБОУ СОШ№14 г.Красногорска Беляевской С. В.

Оглавление: Введение 3 Особенности заданий с параметрами 4-5 Занятие №1 5-22 Занятие №2 23-31 Занятие №3 32-44 Заключение 45 Источники 47

Введение: Известно, что в программах по математике в неспециализированных классах задачам с параметрами отводится незначительное место. С параметрами учащиеся встречаются при введении линейной функции y = kx + b, уравнения первой степени ax + b =0 и квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0. Понятие параметра позволяет решать поставленные задачи не в частном, а в общем виде. Позволяет посмотреть на проблему более широко. Владение приемами решения задач с параметрами можно считать критерием знаний основных разделов школьной математики, уровня математического и логического мышления. Задачи с параметрами дают прекрасный материал для настоящей учебно-исследовательской работы.

Особенности заданий с параметрами В самом начале знакомства с параметрами у учеников возникает психологический барьер, который обусловлен противоречивыми характеристиками параметра. С одной стороны, параметр  следует считать величиной известной, а с другой — конкретное значение параметра не дано. С одной стороны, параметр является величиной постоянной, а с другой — может принимать различные значения. Получается, что параметр в условии — это «неизвестная величина», «переменная постоянная». Этот «каламбур» довольно точно отражает суть тех сложностей, которые нужно преодолеть ученикам. К задачам с параметрами, рассматриваемым в школьном курсе, можно отнести, например, поиск решений линейных и квадратных уравнений в общем виде, исследование количества их корней в зависимости от значений параметров.

Занятие №1 (2 часа) Главное, что должен усвоить школьник это то, что параметр – это число, хоть и неизвестное, но фиксированное, имеющее двойственную природу. После этих вступительных слов можно спросить у школьников встречались ли они с параметрами. Это линейная функция y=kx+b, где x и y – переменные, k и b – параметры; квадратное уравнение ax2+bx+c=0, где x - переменная a, b, c, - параметры. Задачи надо начинать решать с очень простых, постепенно усложняя их.

Пример №1. Сравнить –а и 5а Решение: 1) если а <0, то –а>0, 5a<0, значит –а>5a 2) если а=0, то –а=0, 5а=0, значит –а=5а 3) если а>0, то –а<0, 5a>0, значит –а<5a. Ответ: если a<0, то –а>5a если а=0, то–а=5а если а>0, то–а<5a.

Пример №2. Решить уравнение ах=2 Решение: 1) если а=0, то 0х=2, решений нет 2) если а≠0, то х= Ответ: если а=0, то решений нет ,если а≠0, то х=

Пример №3 Решить уравнение (а2-9)х=а+3 Решение: 1) если а=3, то 0х=6, решений нет 2) если а=-3, то 0х=0, х 3) если а≠±3, то а2-9≠0, Ответ: если а=3, то решений нет если а=-3, то x если а≠±3, то

Пример №4 Решить неравенство: ах<7 Решение: 1) если a>0, то 2) если а<0, то 3) если а=0, то Ответ: если а>0, то х< если а<0, то если а=0, то

Пример №5 Решить уравнение Решение: Ответ: если а=-3, то решений нет если а≠-3, то х=а.

Пример №6 Решить уравнение Решение: 1) если а=-1, то -2х+1+1=0; х=1 2) если а≠-1,то х=1 или Ответ: если а=-1, то х=1 если а≠-1,то х=1 или

Пример №7 Решить уравнение Решение: Ответ: если b<-4, то x=-4 или x=b если b=-4, то x=-4 если b>-4, то x=b.

Пример №8 Решить уравнение Решение: 1) если а≠0, то х=1 2) если а=0, то x значит х=1 или х=-1 Ответ: если а≠0, то х=1 если а=0, то х=±1

Пример №9 Решить неравенство Решение: 1) a) если b=1, то б) если b=-1, то 2) если b≠±1, то неравенство квадратное

a) a)

б) б) учитывая, что при то Ответ: если b=1, то если b=-1, то если то

если то если то если то Рассмотренные выше задачи требовалось просто решить. В следующих задачах будет поставлено какое-то более «узкое», конкретное условие.

Пример №10 При каких а уравнение имеет единственное решение? Решение: 1) если а=0, то х=3 2) если а≠0, то уравнение квадратное и оно имеет единственное решение при D=0 D=1-12a Ответ: при а=0 или а =

Пример №11 При каких а уравнение имеет единственное решение? Решение: 1) если а=2, то решений нет 2) если а≠2, то уравнение имеет единственное решение при D=0 Ответ: при а=5

Задачи для самостоятельного домашнего решения задаются с ответами для самоконтроля При каких а уравнение имеет решения, найти их при 2) Решить уравнение: a) (при а=1 или а=3 решений нет; при а≠1 и а≠3 х=а)

б) б) (при а =-2 решений нет; при а≠-2 х=2) 3) При каких а уравнение имеет ровно три корня (при )

Занятие №2 (2 часа) Урок начинается с разбора домашнего задания. Затем учитель предлагает решить более общую задачу.

Пример №12 Выяснить, при каких значениях параметра а уравнение имеет: 1) два различных корня; 2) не более одного корня; 3) два корня различных знаков; 4) два положительных корня.

Решение: Решение: 1) уравнение имеет два различных корня тогда и только тогда, когда оно квадратное и D>0. 2) а) если а=4, то б)

3) уравнение имеет два корня различных 3) уравнение имеет два корня различных знаков тогда и только тогда, когда значит 4) уравнение имеет два положительных корня тогда и только тогда, когда

Самостоятельная работа. Вариант I 1. Для всякого а решить уравнение Решение: Т.к. сумма коэффициентов равна 0, то х=1 или х=2а Ответ: 1; 2а. 2. При каких b уравнение имеет единственный корень? Для каждого b найти этот корень. Решение: Квадратное уравнение имеет единственный корень тогда и только тогда, когда D=0

1) если b=12, то 2) если b=-12, то Ответ: при b=12 x=-2 при b=-12 x=2.

3. Для каждого значения параметра решить неравенство: 3. Для каждого значения параметра решить неравенство: Решение: Решим неравенство методом интервалов, рассмотрев функцию f(x)= , непрерывную на R, имеющую нули 2, -2, b Рассмотрим три случая: 1)

2) -2<b<2 2) -2<b<2 3) Ответ: если то если -2<b<2, то если то

Вариант II Задания аналогичны заданиям варианта I. 1. Ответ: -1; 3а. 2. Ответ: при b=20 x=-2 при b=-20 x=2. 3. Ответ: если то если -1<a<1, то если то

Занятие №3 (2 часа) Теперь можно приступать к решению задач ЕГЭ с параметрами.

Пример№1.Найти все значения параметра p, при которых уравнение имеет хотя бы один корень. Решение: Рассмотрим функцию f(a)= определённую на [-1;0)U(0;1] и найдём её область значений. f(-1)=11; f(1)=3; при f ’(a)=

f ’(a)=0 f ’(a)=0 Т.к. то экстремумов у функции нет, следовательно E(f)=(0;11]. Чтобы уравнение а значит и данное уравнение имело хотя бы один корень, необходимо и достаточно, чтобы Ответ:

Пример №2. Найти все значения а, при которых область определения функции содержит ровно одно двузначное натуральное число. Решение: D(y): Решим первое неравенство системы:

1) если 0<a<1, то Решение не удовлетворяет условию задачи.

2) если а>1, то 2) если а>1, то Чтобы решение удовлетворяло условию задачи, необходимо и достаточно, чтобы Ответ:

Пример №3. Найти все значения параметра а, при каждом из которых множество решений неравенства содержит какой-нибудь отрезок длиной 2,но не содержит никакого отрезка длиной 3 Решение:

Решим неравенство методом интервалов, рассмотрев функцию непрерывную на R\{0}, Решим неравенство методом интервалов, рассмотрев функцию непрерывную на R\{0}, имеющую нули 4, а: 1) если - решение содержит отрезок длиной 3, что не удовлетворяет условию задачи. 2) если 0<a<4 Чтобы решение удовлетворяло условию задачи, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия:

т.е. 3) если - аналогично случаю 1) Ответ:

Пример №4. Найти все значения параметра p, при которых уравнение имеет хотя бы один корень, и число различных корней этого уравнения равно числу различных корней уравнения Решение: 1) Пусть =t, тогда

Рассмотрим функцию D(f)=[0; ), f(t)=0 t =0. E(f)=(- ;0] f’(t)= f’(t)<0 Значит графики функций и y=p могут иметь только одну общую точку, т.е. уравнение а значит и уравнение может иметь ровно один корень при

2) Узнаем при каких p уравнение 2) Узнаем при каких p уравнение имеет ровно один корень: а) если 2p+3=0 ( ), то -удовлетворяет условию. б) если то уравнение имеет единственный корень при D=0. D=0 Итак, уравнение имеет ровно один корень при

Но уравнению удовлетворяют только Но уравнению удовлетворяют только т.е. при и p=-1 уравнения и имеют равное число корней, а именно, по одному. Ответ: ; -1

Заключение Все рассмотренные упражнения имеют дидактическую цель — помочь учащимся составить представление о параметре, о том, что значит решить уравнение (неравенство) с параметром. Предложенные упражнения помогают им осмыслить всего несколько строк определения: «Пусть дано уравнение (неравенство)   f(x; a)=(>) 0 с переменными x, a. Если ставится задача для каждого значения a решить это уравнение( неравенство) относительно x, то уравнение (неравенство) f(x;a)=(>)0  называется уравнением(неравенством) с переменной x и параметром a. Решить уравнение (неравенство) с параметром a — это значит для каждого значения a найти значение x, удовлетворяющее этому уравнению(неравенству)».

Используемые источники: 1. Гронштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. - Задачи с параметрами – «Илекса», «Гимназия» - Москва-Харьков,1999год. 2. Шахмейстер А.Х. – Задачи с параметрами, 1-е издание СПб: «ЧеРо-на-Неве»,2004год. 3. Ященко И.В., Семенова А.Л. – Материалы ЕГЭ, издательство «Экзамен» Москва,2011год. 4. Интернет сайты: www.dvoek-net.ru www.ege-trener.ru