🗊Презентация Фракталы и синергетика

Фракталы и синергетика

Фракталы (под другими названиями) открыты математиками более ста лет назад, но их долго относили к причудам математиков, исследовавших функции и множества, для которых применимы классические методы вычислений. Фракталы (под другими названиями) открыты математиками более ста лет назад, но их долго относили к причудам математиков, исследовавших функции и множества, для которых применимы классические методы вычислений. Функции и множества, которые не являются гладкими или регулярными (множество Кантора, кривые Пеано, функции Вейерштрасса и другие) долго игнорировали как патологические и не заслуживающие изучения. Известный математик Шарль Эрмит назвал их «монстрами». Эти объекты вновь стал исследовать американский математик Бенуа Мандельброт в 1975 году. Он же и придумал для них термин «фрактал». В своих первых работах он рассматривал их как чисто математические объекты, а в 1982 году вышла его знаменитая книга «Фрактальная геометрия природы», в которой Мандельброт показал фрактальный характер геометрии окружающего мира. (Федер Е. Фракталы. / Пер. с англ. – М.: Мир, 1991. – 254 с.)

Фракталоподобной структурой обладают такие разные явления как: Фракталоподобной структурой обладают такие разные явления как: береговые линии островов и материков, ландшафты гор, границы облаков, ветви деревьев, русла рек, турбулентные вихри, сосудистая система человека, зерна в скалистых породах, металлах и композитных материалах, геометрическая структура кристаллов, молекул химических веществ, в частности, протеинов, и многие другие объекты. Используются в изобразительном искусстве, музыке, литературных текстах

Об определении понятия «фрактал» Об определении понятия «фрактал» Все фракталы, которые исследованы, обладают двумя основными свойствами – изломанностью и самоподобием. Изломанность понятна и визуально и математически (как отсутствие производной в каждой точке излома). Самоподобие в классическом смысле: часть есть уменьшенная копия целого, в неклассическом: часть является деформированной копией целого. Строгого и полного определения фракталов пока нет. Е. Федер в работе «Фракталы» (1991) приводит два определения фрактала: 1. Фракталом называется множество, размерность Хаусдорфа-Безиковича которого строго больше его топологической размерности. (определение Мандельброта). 2. Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому.

Наиболее полное на сегодня определение фрактала: Наиболее полное на сегодня определение фрактала: фракталом называют функциональное отображение или множество, получаемое бесконечным рекурсивным процессом и обладающее тремя следующими свойствами: дробной размерностью Хаусдорфа-Безиковича, самоподобием и недифференцируемостью. Следует различать фракталы как математические объекты и фракталоподобные объекты реального мира. Последние обладают свойством самоподобия в ограниченном масштабе (они моделируются с помощью конечного, а не бесконечного рекурсивного процесса). Фракталы используют для сжатия изображений путем нахождении в изображении подобных областей и сохранении в файле только коэффициентов преобразований подобия. Сжатие произойдет в том случае, когда коэффициенты преобразований займут меньше места, чем исходное изображение.

Поскольку многие природные объекты, которые появились в результате самоорганизации и «странные аттракторы» обладают фрактальной размерностью, то для синергетики исследование фракталов является одной из основных задач. Поскольку многие природные объекты, которые появились в результате самоорганизации и «странные аттракторы» обладают фрактальной размерностью, то для синергетики исследование фракталов является одной из основных задач.

Фрактальная размерность Фрактальная размерность Термины «размерность Хаусдорфа-Безиковича» и «фрактальная размерность» являются синонимами. Немецкий математик Ф. Хаусдорф ввел способ измерения дробной размерности пространства еще в начале ХХ века, русский математик А.С. Безикович развил идеи Хаусдорфа. Определение понятия «фрактальная» размерность дается через понятие «топологическая размерность». Под топологической размерностью (для простоты) будем понимать обычную евклидову размерность, которая для точки равна 0, для линии – 1, для плоскости – 2, для куба – 3. Фракталы будем рассматривать как некое особое множество точек в пространстве. Центральное место в определении размерности Хаусдорфа-Безиковича D занимает измерение множества  точек в пространстве.

Простой способ измерить длину кривых, площадь поверхностей или объем тела состоит в том, чтобы разделить их соответственно на очень малые отрезки длиной δ, квадраты со стороной δ, кубы с ребром δ или сферы диаметром δ. Если поместить центр малой сферы диаметром δ в какой-нибудь точке множества, то все точки, находящиеся от центра на расстоянии r<(1/2)δ, окажутся покрытыми этой сферой. Подсчитывая число сфер, необходимых для покрытия интересующего нас множества точек, получим меру величины множества. Простой способ измерить длину кривых, площадь поверхностей или объем тела состоит в том, чтобы разделить их соответственно на очень малые отрезки длиной δ, квадраты со стороной δ, кубы с ребром δ или сферы диаметром δ. Если поместить центр малой сферы диаметром δ в какой-нибудь точке множества, то все точки, находящиеся от центра на расстоянии r<(1/2)δ, окажутся покрытыми этой сферой. Подсчитывая число сфер, необходимых для покрытия интересующего нас множества точек, получим меру величины множества. Кривую можно измерить, определяя число N(δ) прямолинейных отрезков длины δ, необходимых для того, чтобы покрыть ее. Ясно, что для обычной кривой N(δ)=L0/δ. Длина кривой определяется предельным переходом: при δ→0 То есть пределе при δ→0 мера L становится асимптотически равной длине кривой и не зависит от δ.

Md называют d-мерой множества. Значение Md при d=D обычно конечно, но может быть равно нулю или бесконечности; существенно, при каком именно значении d величина Md изменяется скачком. В соответствии с определением размерность Хаусдорфа-Безиковича есть локальное свойство в том смысле, что эта размерность характеризует свойства множеств точек в пределе при исчезающе малом размере δ пробной функции, используемой для покрытия множества. Следовательно, фрактальная размерность D может также быть локальной характеристикой множества. Определение размерности Хаусдорфа-Безиковича позволяет покрывать множество «шарами» не обязательно одного и того же размера при условии, что диаметры всех шаров меньше δ. В этом случае d-мера есть нижняя грань, то есть, минимальное значение, получаемое при всех возможных покрытиях.

Триадная кривая Кох и ее размерность Триадная кривая Кох и ее размерность По способу построения фракталы делят на линейные и нелинейные. Алгоритмы построения линейных фракталов определяются линейными функциями. В них самоподобие присутствует в самом простом варианте: любая часть повторяет целое. Нелинейные фракталы задаются нелинейной функцией роста, то есть уравнениями в степени выше первой. В них самоподобие будет выглядеть более сложным: любая часть является уже не точной, а деформированной копией целого. Один из простейших примеров линейного фрактала – кривая Кох, (1904 год, немецкий математик Хельга фон Кох).

Кривая n-го поколения при любом конечном п называется предфракталом. Проследим за тем, как получается выражение для D. Кривая n-го поколения при любом конечном п называется предфракталом. Проследим за тем, как получается выражение для D. Длина предфрактала п-го поколения равна n длин 1-го поколения, то есть, определяется формулой: Длина каждого звена составляет δ=3-n. Замечая, что число поколений n представимо в виде n=–lnδ/ln3, запишем длину предфрактала в виде: Используя далее аппарат определения фрактальной размерности (см. пособие) получим что критическая размерность и, следовательно, размерность Хаусдорфа-Безиковича для триадной кривой Кох равна D=ln4/ln3≈1,2628.

Нелинейные фракталы Нелинейные фракталы Одним из первых описал нелинейные фракталы французский математик Гастон Жюлиа еще в 1918 году. Но в его работе отсутствовали изображения исследованных им множеств и термин фрактал. В наше время компьютеры позволили получить изображения множеств Жюлиа, которые вместе с множествами Мандельброта являются ныне наиболее известными квадратичными фрактальными структурами. Оба типа фракталов возникают в результате реализации на комплексной плоскости самого простого нелинейного алгоритма: (*) который разбивает комплексную плоскость на «зоны влияния».

Любая точка z0 фазового пространства в данном динамическом процессе либо притягивается аттрактором (конечным или бесконечным), либо не может принять определенного решения и остается блуждать на границе зон влияния аттракторов. Любая точка z0 фазового пространства в данном динамическом процессе либо притягивается аттрактором (конечным или бесконечным), либо не может принять определенного решения и остается блуждать на границе зон влияния аттракторов. Если в итерационном процессе (*) фиксировать c и изменять z0, TO получается набор множеств Жюлиа. Если фиксировать z0= 0 и изменять с, то множество Мандельброта. Вид множества Жюлиа зависит от выбора параметра с. В силу нелинейности (малым изменениям параметра с соответствуют большие изменения формы множества Жюлиа) зависимость эта очень сильна.

Некоторые практические приложения фракталов. Некоторые практические приложения фракталов. Ёлка-фрактал, закон ветвления речных систем и мелиоративная сеть. В природе ветвящиеся фракталоподобные структуры встречаются всюду, где необходимо наилучшим образом собрать с некоторой поверхности или тела вещество и энергию в одну точку при минимальной общей площади структуры или, наоборот, равномерно распределить их.  Примеры: русла рек, и молнии, кровеносная, нервная, дыхательная системы человека, корни и кроны деревьев и многое другое.

Инженер Л.П. Корохов в 1981 году придумал интересный фрактал для моделирования структуры речной сети. Поскольку внешне он напоминает елку, то и назван был елкой-фракталом или топологическим деревом. Ёлка-фрактал позволила ему теоретически вывести закон ветвления речных систем. Инженер Л.П. Корохов в 1981 году придумал интересный фрактал для моделирования структуры речной сети. Поскольку внешне он напоминает елку, то и назван был елкой-фракталом или топологическим деревом. Ёлка-фрактал позволила ему теоретически вывести закон ветвления речных систем.

Симплекс (от лат. simplex – простой) – простейший выпуклый многогранник данного числа измерений n. Трехмерный симплекс (n=3) представляет собой тетраэдр, двумерный симплекс – треугольник, одномерный – отрезок, нульмерный – точку). Кривая бесконечна, но вписывается в конечную площадь. Она непрерывна, но вся состоит из углов. Это недифференцируемая кривая (нет касательных ни в одной точке) и это – линейный фрактал так как у него даже самая малая часть в точности повторяет саму елку. Размерность его дробная и равна 1.77178... Симплекс (от лат. simplex – простой) – простейший выпуклый многогранник данного числа измерений n. Трехмерный симплекс (n=3) представляет собой тетраэдр, двумерный симплекс – треугольник, одномерный – отрезок, нульмерный – точку). Кривая бесконечна, но вписывается в конечную площадь. Она непрерывна, но вся состоит из углов. Это недифференцируемая кривая (нет касательных ни в одной точке) и это – линейный фрактал так как у него даже самая малая часть в точности повторяет саму елку. Размерность его дробная и равна 1.77178... Используя ёлку-фрактал Л.П. Корохов получил функциональную зависимость между площадью абстрактного водосборного бассейна и длиной его главного водотока: F=kLf, где F – площадь абстрактного водосборного бассейна; L – длина главного водотока; f – размерность структуры елки, равная 1.77178; k – коэффициент, отражающий плотность покрытия поверхности абстрактного водосбора «речной сетью».