Алгебраические фракталы - презентация, доклад, проект скачать

Нажмите для полного просмотра!

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Алгебраические фракталы. Доклад-сообщение содержит 37 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Описание слайда:

Алгебраические фракталы Домашних И.А.

Слайд 2

Описание слайда:

Динамическая система Динамическая система - математическая абстракция, предназначенная для описания и изучения систем, эволюционирующих с течением времени При этом время может быть как вещественным, так и дискретным

Слайд 3

Описание слайда:

Фазовое пространство Фазовое пространство - пространство, на котором представлено множество всех состояний системы для некоторого фиксированного момента времени Т.е. каждому возможному состоянию системы соответствует точка фазового пространства

Слайд 4

Описание слайда:

Неподвижные точки, циклы Если , то - неподвижная точка Типы неподвижных точек Притягивающие (стартовав рядом будем приближаться) Отталкивающие (стартовав рядом будем отдаляться) Нейтральные (стартовав в малой окрестности в ней и останемся) Определение типа точек , тогда притягивающая точка , тогда отталкивающая точка , тогда нейтральная точка

Слайд 5

Описание слайда:

Неподвижные точки, циклы Пусть Если , то - периодичекая точка Все периодические точки, которые получаются из данной применением отображения образуют цикл

Слайд 6

Описание слайда:

Аттракторы Аттрактор (англ. attract - привлекать, притягивать) — множество состояний (точек фазового пространства) динамической системы, к которому она стремится с течением времени Примеры притягивающая неподвижная точка периодическая траектория

Слайд 7

Описание слайда:

Аттракторы Репеллер (англ. repel - отталкивать) - множество неустойчивого равновесия динамической системы В сложных случаях в динамических системах могут возникать странные аттракторы, т.е. аттракторы с дробной размерностью и хаотической структурой Множество начальных состояний из которых динамическая система обязательно попадет в аттрактор называется бассейном притяжения аттрактора

Слайд 8

Описание слайда:

Недетерминированный хаос Хаос - неупорядоченное, случайное, непрогнозируемое поведение элементов системы Недетерминированный хаос - это отражение сложного поведения большого количества частиц Пример: броуновское движение мелких частиц в воде Невозможно спрогнозировать траекторию любой частицы, потому что для этого потребуется определить параметры движения всех молекул воды, которых слишком много Подчиняется статистическим законам

Слайд 9

Описание слайда:

Детерминированный хаос Поведение большинства физических систем описывается нелинейными законами Отклик таких систем непропорционален силе возмущающего воздействия Существуют физические системы, отклик которых остается сильным на протяжении длительного времени Такие системы тоже оказываются хаотическими, а их поведение называют детерминированным хаосом

Слайд 10

Описание слайда:

Детерминированный хаос Невозможность предсказания поведения системы обусловлена не количеством частиц, а большим влиянием небольших погрешностей в определении состояния Погрешности нельзя исключить, в частности, в соответствии с принципом неопределенности Гейзенберга Поведение таких детерминированных систем тоже лучше описывается статистическими законами

Слайд 11

Описание слайда:

Примеры хаоса

Слайд 12

Описание слайда:

Метод Ньютона Рассмотрим метод Ньютона для нахождения нуля функции комплексного переменного В зависимости от начального значения могут быть найдены разные корни функции Какие области обеспечат сходимость к тому или иному корню? Как выглядят бассейны притяжения аттракторов-корней?

Слайд 13

Описание слайда:

Метод Ньютона для кубического полинома Рассмотрим метод для Тогда получим У полинома 3 нуля, следовательно, у динамической системы есть 3 аттрактора Границы областей притяжения этих аттракторов имеют фрактальную структуру

Слайд 14

Описание слайда:

Построение Для начала перейдем к координатам на вещественной плоскости Области притяжения каждого аттрактора выделим своим цветом

Слайд 15

Описание слайда:

Бассейны Ньютона

Слайд 16

Описание слайда:

Замечания Бассейны Ньютона демонстрируют «борьбу за границу» с центром в точке Граница – точки бифуркации, зона резкой смены поведения системы Граница – множество Жюлиа

Слайд 17

Описание слайда:

Динамическая система квадратичного отображения Рассмотрим следующее квадратичное отображение , где - комплексная константа

Слайд 18

Описание слайда:

Простейший случай Пусть . Тогда У такого отображение есть две неподвижные точки и , значит является притягивающей , значит является отталкивающей В зависимости от начальной точки есть 3 возможности , тогда , т.е. 0 - аттрактор , тогда , т.е. бесконечность - аттрактор , тогда , т.е. точки остаются на единичной окружности В итоге, имеется две области притяжения, границей между которыми является окружность единичного радиуса В простейшем случае граница – не фрактал

Слайд 19

Описание слайда:

Множества Жюлиа и Фату При фазовое пространство также делится на бассейны двух аттракторов и границу между ними, но конечный аттрактор не будет нулем граница будет иметь фрактальную структуру Такие границы областей притяжения называют множествами Жюлиа Дополнение до множества Жюлиа называется множеством Фату Часто рассматривают заполненное множество Жюлиа – множество точек, не стремящихся к бесконечности. При этом обычное множество Жюлиа является его границей

Слайд 20

Описание слайда:

Пример множества Жюлиа Здесь множество Жюлиа - связное множество, состоящее из бесконечного числа деформированных окружностей В основе лежит притягивающий цикл периода 3

Слайд 21

Описание слайда:

Пример пыли Фату Здесь множество Жюлиа - вполне несвязное множество Такие множества Жюлиа называются пылью Фату

Слайд 22

Описание слайда:

Замечания Для каждого значения комплексного параметра имеется свое множество Жюлиа Это множество ограничивает те области комплексных чисел, которые в процессе итераций не уходят в бесконечность С изменением , меняется и геометрия границ областей притяжения, в частности, границы могут стать несвязными

Слайд 23

Описание слайда:

Определение множества Мандельброта Множество Мандельброта служит индикатором для двух типов множеств Жюлиа функции Каждая точка множества Мандельброта представляет значение , для которого множество Жюлиа связно Каждая точка из дополнения к множеству Мандельброта представляет значение , для которого множество Жюлиа вполне несвязно

Слайд 24

Описание слайда:

Множество Мандельброта

Слайд 25

Описание слайда:

Альтернативное определение Множество Мандельброта - множество точек комплексной плоскости, для которых итеративная последовательность не уходит в бесконечность

Слайд 26

Описание слайда:

Связь определений Точка 0 – единственная критическая точка, т.е. точка, в которой производная обращается в нуль Согласно мощным результатам Жюлиа и Фату любой притягивающий или рационально нейтральный цикл содержит в своей области притяжения по крайней мере одну критическую точку Тогда в случае, когда последовательность с началом в нуле устремляется в бесконечность циклы существовать не могут, а само множество Жюлиа превращается в пыль Фату

Слайд 27

Описание слайда:

Периоды для различных областей множества Мандельброта

Слайд 28

Описание слайда:

Деформированная окружность Главная кардиоида

Слайд 29

Описание слайда:

Двойной цикл Главная почка

Слайд 30

Описание слайда:

Тройной цикл Верхняя почка

Слайд 31

Описание слайда:

Параболический случай динамики Маргинально устойчивый аттрактор

Слайд 32

Описание слайда:

Граница между циклами 2 и 4

Слайд 33

Описание слайда:

Множества с дисками Зигеля Точки вращаются по инвариантным окружностям вокруг неподвижной точки

Слайд 34

Описание слайда:

Иглоподобные множества

Слайд 35

Описание слайда:

Пыль Фату

Слайд 36

Описание слайда:

Построение Для построения фракталов для квадратичного отображения перейдем к координатам на вещественной плоскости Правило bail-out Если модуль окажется больше 2, то последовательность стремится к бесконечности Область притяжения бесконечности сделаем белой, оставшиеся точки нарисуем черным цветом