Преобразование Фурье - презентация, доклад, проект скачать

Нажмите для полного просмотра!

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Преобразование Фурье. Доклад-сообщение содержит 103 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Описание слайда:

4. Преобразование Фурье

Слайд 2

Описание слайда:

Преобразование Фурье 4.1. Ряд Фурье. 4.2.Временная и частотные области сигнала. 4.3. Комплексная форма ряда Фурье. 4.4. Интеграл Фурье. 4.5. Преобразование Фурье. 4.6. Синус- и косинус-преобразования. 4.7. Фурье-образ δ-функции. 4.8. Свойства преобразования Фурье. 4.9. Преобразование Фурье тригонометрических функций. 4.10. Оконные функции.

Слайд 3

Описание слайда:

Преобразование Фурье 4.11. Оконные функции. 4.12. Равенство Парсеваля. 4.13. Применение равенства Парсеваля. 4.14. Энергия гармонического осциллятора. 4.15. Приложения преобразования Фурье. 4.16. Таблица преобразований Фурье.

Слайд 4

Описание слайда:

4.1. Ряд Фурье Ряд Фурье и преобразование Фурье – основные инструменты гармонического анализа. Вначале рассмотрим разложение в ряд Фурье функции x(t)

Слайд 5

Описание слайда:

Ряд Фурье В основе ряда Фурье лежат тригонометрические ортогональные функции. Величина T является периодом разложения, соответственно ω = 2π/T – частота (угловая скорость). Ортогональность базисных функций разложения по определению означает, что

Слайд 6

Описание слайда:

Ряд Фурье Например,

Слайд 7

Описание слайда:

Ряд Фурье Коэффициенты Ak, Bk ряда Фурье вычисляются с применением свойства ортогональности базисных функций. Коэффициенты Ak, Bk равны:

Слайд 8

Описание слайда:

Ряд Фурье Ряд Фурье для прямоугольного импульса:

Слайд 9

Описание слайда:

Ряд Фурье Ряд Фурье для нечетной функции: Эта функция разлагается в ряд синусов, T=2, ω=π (здесь до k = 4).

Слайд 10

Описание слайда:

Ряд Фурье

Слайд 11

Описание слайда:

Ряд Фурье

Слайд 12

Описание слайда:

Ряд Фурье Ряд Фурье разложения нечетной функции не содержат базисных функций cos(·). При разложения четной функции ряд Фурье не содержат базисных функций sin(·). Разложим x(t) = t2 на отрезке [-1, 1], то есть T=2. Функция четная, поэтому ряд содержит только cos(·).

Слайд 13

Описание слайда:

Ряд Фурье Ряд Фурье для четной функции x(t) = t2 (Т=2) :

Слайд 14

Описание слайда:

Ряд Фурье Ряд Фурье для четной функции x(t) = t2 :

Слайд 15

Описание слайда:

Ряд Фурье Следует заметить, что ряд Фурье для некоторых функций расходится, в этом случае говорят, что функция не разлагается в ряд Фурье. [Аналогично, для некоторых функций не существует преобразования Лапласа - соответствующий интеграл расходится].

Слайд 16

Описание слайда:

Сигнал моделируется в виде функции x(t), зависящей от времени t. Говорят, что сигнал моделируется во временной области. При разложении в ряд Фурье с периодом T сигнал представляется в виде ряда от sin(·) и cos(·) от аргументов ω, 2ω, 3ω, . . ., где частота Сигнал моделируется в виде функции x(t), зависящей от времени t. Говорят, что сигнал моделируется во временной области. При разложении в ряд Фурье с периодом T сигнал представляется в виде ряда от sin(·) и cos(·) от аргументов ω, 2ω, 3ω, . . ., где частота ω = 2π/T. Таким образом, сигнал разлагается по функциям с аргументами, содержащими частоты kω. Коэффициенты Ак и Вк называются частотными коэффициентами. Такое представление сигнала называется представлением в частотной области. Из представления x(t) во временной области разложением в ряд Фурье можно получить представление в частотной области и наоборот (но обратное представление из ряда Фурье в функцию x(t) неоднозначно).

Слайд 17

Описание слайда:

Слайд 18

Описание слайда:

Если увеличить период T, то частота ω уменьшится и на графике коэффициентов (частотном графике) появятся точки (или отрезки в зависимости от того, как вы представляете коэффициенты на графике): Если увеличить период T, то частота ω уменьшится и на графике коэффициентов (частотном графике) появятся точки (или отрезки в зависимости от того, как вы представляете коэффициенты на графике): Здесь по сравнению с предыдущим разложением период T увеличен вдвое.

Слайд 19

Описание слайда:

Можно и дальше увеличивать период T, но существует интегральное преобразование, аналогичное преобразованию Лапласа, которое преобразует сигнал в частотную функцию: Можно и дальше увеличивать период T, но существует интегральное преобразование, аналогичное преобразованию Лапласа, которое преобразует сигнал в частотную функцию:

Слайд 20

Описание слайда:

Spectral Plot

Слайд 21

Описание слайда:

Известна формула Эйлера, связывающая экспоненту с тригонометрическими функциями. Известна формула Эйлера, связывающая экспоненту с тригонометрическими функциями.

Слайд 22

Описание слайда:

Введем новые обозначения Введем новые обозначения где Ck и C-k комплексные числа. Запишем ряд Фурье в комплексной форме:

Слайд 23

Описание слайда:

Вещественные числа Вещественные числа называются спектром амплитуд сигнала.

Слайд 24

Описание слайда:

4.4. Интеграл Фурье Разложение в ряд Фурье предполагает знание периода T = 2π/ω разложения. Ряд Фурье в комплексной экспоненциальной форме содержит амплитуды частот сигнала. Преобразование Фурье (рассмотрим позже) не зависит от периода T и вместо последовательности амплитуд частот строит функцию амплитуд (плотность спектра). Представим ряд Фурье в виде интеграла, это и будет интеграл Фурье. Ряд Фурье имеет вид :

Слайд 25

Описание слайда:

Коэффициенты подставим в ряд Коэффициенты подставим в ряд

Слайд 26

Описание слайда:

Слайд 27

Описание слайда:

Eсли и сумма стремится к интегралу по z, при этом если в первом слагаемом интеграл Eсли и сумма стремится к интегралу по z, при этом если в первом слагаемом интеграл сходится, то первое слагаемое ряда стремится к нулю. В пределе

Слайд 28

Описание слайда:

Ввиду четности cos(·) изменим предел интегрирования и в результате окончательно получаем интеграл Фурье: Ввиду четности cos(·) изменим предел интегрирования и в результате окончательно получаем интеграл Фурье:

Слайд 29

Описание слайда:

4.5. Преобразование Фурье Умножим интеграл от sin(·) на i/2π И сложим с интегралом Фурье

Слайд 30

Описание слайда:

4.5. Преобразование Фурье или

Слайд 31

Описание слайда:

4.5. Преобразование Фурье Интегральное преобразование Называется обратным преобразованием Фурье.

Слайд 32

Описание слайда:

4.5. Преобразование Фурье Из формулы вывода преобразования имеем Мы получаем, что Если переставить в формуле интегралы, то

Слайд 33

Описание слайда:

4.5. Преобразование Фурье При выводе формулы преобразования предполагалось, что переменная t – вещественная, но подынтегральное выражение преобразования – функция комплексной переменной, так как содержит мнимую единицу i

Слайд 34

Описание слайда:

4.5. Преобразование Фурье

Слайд 35

Описание слайда:

4.6. Синус- и косинус-преобразования Однако для некоторых вещественных функций x(t) их Фурье-образ X(z) – тоже вещественная функция. При выводе преобразования Фурье применялся интеграл Фурье

Слайд 36

Описание слайда:

4.6. Синус- и косинус-преобразования

Слайд 37

Описание слайда:

Аналогично из формулы Аналогично из формулы

Слайд 38

Описание слайда:

Синус-преобразования переводят вещественную функцию в вещественную. Синус-преобразования переводят вещественную функцию в вещественную. Преобразование Фурье произвольной функции x(t) можно представить как сумму ее косинус и синус-преобразований:

Слайд 39

Описание слайда:

Пример. Найти преобразование Фурье функции Пример. Найти преобразование Фурье функции Функция четная, поэтому ее преобразование Фурье сводится к косинус-преобразованию.

Слайд 40

Описание слайда:

График функции и ее косинус-преобразование График функции и ее косинус-преобразование

Слайд 41

Описание слайда:

Пример. Найти преобразование Фурье функции Пример. Найти преобразование Фурье функции Функция четная, ее преобразование Фурье сводится к косинус-преобразованию.

Слайд 42

Описание слайда:

Графики функций (а = 1) Графики функций (а = 1)

Слайд 43

Описание слайда:

Интеграл от функций Интеграл от функций

Слайд 44

Описание слайда:

Слайд 45

Описание слайда:

При исходная функция стремится к δ – функции, а ее Фурье-образ к постоянной При исходная функция стремится к δ – функции, а ее Фурье-образ к постоянной Доказывается, что преобразование Фурье δ–функции равно константе Верно и то, что обратное преобразование Фурье от постоянной функции F(z) = c равно δ–функции с некоторым коэффициентом.

Слайд 46

Описание слайда:

и найдем ее Фурье-образ. и найдем ее Фурье-образ. Функция четная, поэтому достаточно вычислить ее косинус-преобразование.

Слайд 47

Описание слайда:

Слайд 48

Описание слайда:

Слайд 49

Описание слайда:

Слайд 50

Описание слайда:

Свойства преобразование Фурье похожи на свойства преобразования Лапласа : Свойства преобразование Фурье похожи на свойства преобразования Лапласа : 1. Линейность F(a·f(t) + b·g(t)) = a·F(f(t)) + b·F(g(t)). 2. Свойство сдвига 3. Преобразование производной

Слайд 51

Описание слайда:

Свойства 1 и 2 доказываются совершенно аналогично соответствующим свойствам преобразования Лапласа : Свойства 1 и 2 доказываются совершенно аналогично соответствующим свойствам преобразования Лапласа : Свойство 3 (преобразование производной) докажем применением замечательного предела

Слайд 52

Описание слайда:

Найти преобразования Фурье функции cos(t). Найти преобразования Фурье функции cos(t).

Слайд 53

Описание слайда:

Слайд 54

Описание слайда:

Слайд 55

Описание слайда:

Окончательно получаем Окончательно получаем

Слайд 56

Описание слайда:

Найти преобразования Фурье функции sin(t). Найти преобразования Фурье функции sin(t). По формуле приведения

Слайд 57

Описание слайда:

Найдем преобразования Фурье свертки сигналов f(t) и g(t). Найдем преобразования Фурье свертки сигналов f(t) и g(t).

Слайд 58

Описание слайда:

Обратное преобразование Фурье от свертки функций Обратное преобразование Фурье от свертки функций Вывод формулы основан на свойстве сдвига Доказательство проводится заменой переменной в интеграле :

Слайд 59

Описание слайда:

Если к обеим частям равенства применить прямое преобразование Фурье, то получим формулу для преобразования произведения сигналов Если к обеим частям равенства применить прямое преобразование Фурье, то получим формулу для преобразования произведения сигналов

Слайд 60

Описание слайда:

Исследование Фурье-образа сигнала называется спектральным анализом. Время наблюдения реального сигнала ограничено. Для того, чтобы провести достоверный спектральный анализ сигнала, во многих приложениях необходим бесконечный временной интервал t ϵ (-∞, + ∞). Поскольку в реальных ситуациях это невозможно, то для преобразования сигнала используются оконные функции. Исследование Фурье-образа сигнала называется спектральным анализом. Время наблюдения реального сигнала ограничено. Для того, чтобы провести достоверный спектральный анализ сигнала, во многих приложениях необходим бесконечный временной интервал t ϵ (-∞, + ∞). Поскольку в реальных ситуациях это невозможно, то для преобразования сигнала используются оконные функции. В простейшем случае это просто ограничение сигнала на некотором интервале, это симметричный интервал с серединой в точке t, то есть используется прямоугольная функция

Слайд 61

Описание слайда:

Произведение сигнала g(t) на эту функцию Произведение сигнала g(t) на эту функцию

Слайд 62

Описание слайда:

Наблюдаемый сигнал математически равен произведению Наблюдаемый сигнал математически равен произведению

Слайд 63

Описание слайда:

Слайд 64

Описание слайда:

Слайд 65

Описание слайда:

Слайд 66

Описание слайда:

Слайд 67

Описание слайда:

Слайд 68

Описание слайда:

Example 2.3.14 (2/2) Пример слайда по этой теме из другого университета

Слайд 69

Описание слайда:

4.12. Равенство Парсеваля Равенство Парсеваля (теорема Планшереля) – один из основных инструментов, составляющих методы анализ сигнала. Позволяет оценить энергию сигнала во временном и частотном представлении. Энергия сигнала (мощность, работа, которую сигнал может совершить). Пусть сигнал во временном представлении выражает зависимость напряжения от времени x(t). Если ток, генерирующий сигнал, проходит по проводнику с сопротивлением R, то сила тока i(t) = x(t)/R, и тогда мощность электрического тока w(t) = x(t)· i(t) = x(t)2/R.

Слайд 70

Описание слайда:

Следовательно, мощность сигнала Следовательно, мощность сигнала пропорциональна величине x(t)2 , а если R=1, то равна этой величине. Тогда, по определению, работа, которую совершает электрический ток, или которую он может совершить (энергия), пропорциональна (в исключительных случаях равна)

Слайд 71

Описание слайда:

В общем случае, когда x(t) – комплексное выражение, В общем случае, когда x(t) – комплексное выражение, где - комплексное сопряженное к Преобразование Фурье позволяет установить соответствие между энергией сигнала во временной и частотной областях.

Слайд 72

Описание слайда:

Будем предполагать, что x(t) - вещественная функция от вещественной переменной t, а ее Фурье–образ X(z) – комплексная функция от вещественной переменной z. Будем предполагать, что x(t) - вещественная функция от вещественной переменной t, а ее Фурье–образ X(z) – комплексная функция от вещественной переменной z. При существовании интегралов для правой части верно соотношение

Слайд 73

Описание слайда:

Представим квадрат модуля в удобном виде Представим квадрат модуля в удобном виде

Слайд 74

Описание слайда:

для комплексной функции X(z) от вещественного аргумента z для комплексной функции X(z) от вещественного аргумента z

Слайд 75

Описание слайда:

Найдем Фурье-прообраз этой функции Найдем Фурье-прообраз этой функции

Слайд 76

Описание слайда:

То есть То есть

Слайд 77

Описание слайда:

вернемся к прямоугольному импульсу вернемся к прямоугольному импульсу

Слайд 78

Описание слайда:

Теперь внутренний интеграл (по переменной μ) является сверткой Теперь внутренний интеграл (по переменной μ) является сверткой

Слайд 79

Описание слайда:

После этого во внутреннем интеграле получаем свертку: После этого во внутреннем интеграле получаем свертку:

Слайд 80

Описание слайда:

4.13. Применение равенства Парсеваля Пример. Найти энергию сигнала где параметр a>0. Энергия, вычисленная во временной области, в частотной области

Слайд 81

Описание слайда:

Тогда энергия, вычисленная в частотной области Тогда энергия, вычисленная в частотной области

Слайд 82

Описание слайда:

Пример. Найти диапазон частот W=[-w, +w] такой, что 95% энергии сигнала излучается частотами этого диапазона. Пример. Найти диапазон частот W=[-w, +w] такой, что 95% энергии сигнала излучается частотами этого диапазона. Энергия в частотной области излучаемая частотами диапазона [-w, +w] равна

Слайд 83

Описание слайда:

По предыдущему примеру По предыдущему примеру

Слайд 84

Описание слайда:

Найти 90% диапазон частот затухающего гармонического осциллятора Найти 90% диапазон частот затухающего гармонического осциллятора График для T=2, ω0=π

Слайд 85

Описание слайда:

Найдем Фурье-образ осциллятора и оценим его энергию. Интеграл находим по частям, после нескольких интегральных и алгебраических преобразований получаем : Найдем Фурье-образ осциллятора и оценим его энергию. Интеграл находим по частям, после нескольких интегральных и алгебраических преобразований получаем :

Слайд 86

Описание слайда:

90% диапазон частот гармон. осциллятора. 90% диапазон частот гармон. осциллятора. Квадрат модуля этой величины для T=2, ω0=π имеет график

Слайд 87

Описание слайда:

Передающие частоты сосредоточены около точек максимумов z = ± ω0 . 90% энергии для T=2, ω0=π сосредоточено в интервале [-3.93, 3.93] Передающие частоты сосредоточены около точек максимумов z = ± ω0 . 90% энергии для T=2, ω0=π сосредоточено в интервале [-3.93, 3.93]

Слайд 88

Описание слайда:

Правильнее, как это общепринято, было бы найти такое пороговое значение E0 функции Правильнее, как это общепринято, было бы найти такое пороговое значение E0 функции чтобы интеграл по всем значениям z для которых E(z) > E0 составлял бы 90% общей энергии. С применением численных методов для нашего примера находим E0 =0.168

Слайд 89

Описание слайда:

и получаем два интервала [-4.34, -0.72] и [0.72, 4.34] (в радианах). В герцах это низкочастотный диапазон 0.110.69 Hz. и получаем два интервала [-4.34, -0.72] и [0.72, 4.34] (в радианах). В герцах это низкочастотный диапазон 0.110.69 Hz.

Слайд 90

Описание слайда:

Преобразование Фурье вычисляется всякий раз, когда мы слышим звук. Ухо автоматически выполняет вычисление, которое мы можем выполнить лишь после нескольких лет обучения математике. Наш орган слуха представляет звук — колебательное движение частиц упругой среды, распространяющееся в виде волн в газообразной, жидкой или твёрдых средах — в виде спектра частот (низкие – высокие), каждому небольшому интервалу частот соответствует громкость – энергия на этом интервале. Мозг интерпретирует эту информацию как воспринимаемый звук. Преобразование Фурье вычисляется всякий раз, когда мы слышим звук. Ухо автоматически выполняет вычисление, которое мы можем выполнить лишь после нескольких лет обучения математике. Наш орган слуха представляет звук — колебательное движение частиц упругой среды, распространяющееся в виде волн в газообразной, жидкой или твёрдых средах — в виде спектра частот (низкие – высокие), каждому небольшому интервалу частот соответствует громкость – энергия на этом интервале. Мозг интерпретирует эту информацию как воспринимаемый звук.

Слайд 91

Описание слайда:

Вопрос о сходимости рядов Фурье для тех или иных классов функций привёл к появлению новых областей в математике. Одним из примеров в этом смысле является теория обобщённых функций, в рамках этой теории была подведена теоретическая основа под такие функции, как ступенька Хевисайда и дельта-функция Дирака (последняя описывает область единичной площади, сконцентрированную в бесконечно малой окрестности точки). Благодаря этой теории преобразование Фурье стало применимым для решения уравнений, в которых фигурируют такие интуитивные понятия, как точечная масса, точечный заряд, магнитные диполи, сосредоточенная нагрузка на балке. Вопрос о сходимости рядов Фурье для тех или иных классов функций привёл к появлению новых областей в математике. Одним из примеров в этом смысле является теория обобщённых функций, в рамках этой теории была подведена теоретическая основа под такие функции, как ступенька Хевисайда и дельта-функция Дирака (последняя описывает область единичной площади, сконцентрированную в бесконечно малой окрестности точки). Благодаря этой теории преобразование Фурье стало применимым для решения уравнений, в которых фигурируют такие интуитивные понятия, как точечная масса, точечный заряд, магнитные диполи, сосредоточенная нагрузка на балке.

Слайд 92

Описание слайда:

Ряды Фурье и преобразование Фурье были созданы для изучения распространения тепла в твердых и жидких средах. Фурье всю жизнь исследовал тепловые процессы. Один из опытов был посвящен распространению тепла по якорному кольцу (железному кольцу, к которому крепится якорь), погружаемому на некоторое время наполовину в раскаленные угли. Когда часть кольца раскаляется докрасна, его вынимают из огня. Чтобы тепло не успело уйти в воздух, кольцо сразу закапывают в мелкий песок, а затем измеряют температуру на той его части, которая огнём не нагревалась. Ряды Фурье и преобразование Фурье были созданы для изучения распространения тепла в твердых и жидких средах. Фурье всю жизнь исследовал тепловые процессы. Один из опытов был посвящен распространению тепла по якорному кольцу (железному кольцу, к которому крепится якорь), погружаемому на некоторое время наполовину в раскаленные угли. Когда часть кольца раскаляется докрасна, его вынимают из огня. Чтобы тепло не успело уйти в воздух, кольцо сразу закапывают в мелкий песок, а затем измеряют температуру на той его части, которая огнём не нагревалась.

Слайд 93

Описание слайда:

График изменения температуры плавно нарастает (в холодной части) и убывает (в раскаленной части) в виде функции синуса (или косинуса). Синусоида постепенно выравнивается и в конце концов температура по всему кольцу становится одинаковой. Фурье нашел, что первоначальное нерегулярное распределение можно разложить на множество простых синусоид, каждая из которых имеет свой максимум температуры и свою фазу, т.е. начальное положение на кольце. При этом каждая синусоидальная компонента должна изменяться от максимума к минимуму и обратно целое число раз на одном полном обороте по кольцу. График изменения температуры плавно нарастает (в холодной части) и убывает (в раскаленной части) в виде функции синуса (или косинуса). Синусоида постепенно выравнивается и в конце концов температура по всему кольцу становится одинаковой. Фурье нашел, что первоначальное нерегулярное распределение можно разложить на множество простых синусоид, каждая из которых имеет свой максимум температуры и свою фазу, т.е. начальное положение на кольце. При этом каждая синусоидальная компонента должна изменяться от максимума к минимуму и обратно целое число раз на одном полном обороте по кольцу.

Слайд 94

Описание слайда:

Составляющая, которая имеет ровно один период на кольце (время, за которое тепло проходит полный круг, неизвестно, оно бралось достаточно произвольно), была названа главной гармоникой, а составляющие с двумя, тремя и более периодами — соответственно второй, третьей и т.д. гармоникой. Так был построен ряд Фурье. Составляющая, которая имеет ровно один период на кольце (время, за которое тепло проходит полный круг, неизвестно, оно бралось достаточно произвольно), была названа главной гармоникой, а составляющие с двумя, тремя и более периодами — соответственно второй, третьей и т.д. гармоникой. Так был построен ряд Фурье. Фурье свёл функцию распределения тепла, трудно поддающуюся математическому описанию, к удобным для анализа суммам синусов и косинусов, эти суммы очень точно описывали распределение тепла.

Слайд 95

Описание слайда:

Слайд 96

Описание слайда:

В конце XIX века лорд Кельвин применил ряды Фурье как основу аналогового вычислительного устройства, которое позволяло морякам оценивать высоту приливов и отливов. Аналоговый вычислитель механически определял наборы амплитуд и фаз по наблюдениям приливных высот в зависимости от времени. Высоты замерялись на протяжении года в данной гавани. В конце XIX века лорд Кельвин применил ряды Фурье как основу аналогового вычислительного устройства, которое позволяло морякам оценивать высоту приливов и отливов. Аналоговый вычислитель механически определял наборы амплитуд и фаз по наблюдениям приливных высот в зависимости от времени. Высоты замерялись на протяжении года в данной гавани. Каждая амплитуда и фаза представляли синусоидальную компоненту функции высоты прилива и были одной из периодических составляющих. Результаты вводились в вычислительное устройство лорда Кельвина, которое синтезировало кривую, предсказывающую высоту прилива как функцию времени на следующий год. Метод оказался настолько успешным, что такие кривые приливов были составлены для всех портов мира.

Слайд 97

Описание слайда:

Преобразованием Фурье можно фильтровать фотографии, спутниковые снимки, рентгеновские, магнитно-ядерные, ультразвуковые сканирования органов тела. Преобразованием Фурье можно фильтровать фотографии, спутниковые снимки, рентгеновские, магнитно-ядерные, ультразвуковые сканирования органов тела. Можно изучать вибрацию машин и механизмов, явление флаттера технических сооружений.