🗊Презентация Ряд Фурье. Преобразование Фурье, его свойства. Дискретное преобразование Фурье. Быстрое преобразование Фурье. Лекция 8

Категория: Математика
Нажмите для полного просмотра!
Ряд Фурье. Преобразование Фурье, его свойства. Дискретное преобразование Фурье. Быстрое преобразование Фурье. Лекция 8, слайд №1Ряд Фурье. Преобразование Фурье, его свойства. Дискретное преобразование Фурье. Быстрое преобразование Фурье. Лекция 8, слайд №2Ряд Фурье. Преобразование Фурье, его свойства. Дискретное преобразование Фурье. Быстрое преобразование Фурье. Лекция 8, слайд №3Ряд Фурье. Преобразование Фурье, его свойства. Дискретное преобразование Фурье. Быстрое преобразование Фурье. Лекция 8, слайд №4Ряд Фурье. Преобразование Фурье, его свойства. Дискретное преобразование Фурье. Быстрое преобразование Фурье. Лекция 8, слайд №5Ряд Фурье. Преобразование Фурье, его свойства. Дискретное преобразование Фурье. Быстрое преобразование Фурье. Лекция 8, слайд №6Ряд Фурье. Преобразование Фурье, его свойства. Дискретное преобразование Фурье. Быстрое преобразование Фурье. Лекция 8, слайд №7Ряд Фурье. Преобразование Фурье, его свойства. Дискретное преобразование Фурье. Быстрое преобразование Фурье. Лекция 8, слайд №8Ряд Фурье. Преобразование Фурье, его свойства. Дискретное преобразование Фурье. Быстрое преобразование Фурье. Лекция 8, слайд №9Ряд Фурье. Преобразование Фурье, его свойства. Дискретное преобразование Фурье. Быстрое преобразование Фурье. Лекция 8, слайд №10Ряд Фурье. Преобразование Фурье, его свойства. Дискретное преобразование Фурье. Быстрое преобразование Фурье. Лекция 8, слайд №11Ряд Фурье. Преобразование Фурье, его свойства. Дискретное преобразование Фурье. Быстрое преобразование Фурье. Лекция 8, слайд №12Ряд Фурье. Преобразование Фурье, его свойства. Дискретное преобразование Фурье. Быстрое преобразование Фурье. Лекция 8, слайд №13Ряд Фурье. Преобразование Фурье, его свойства. Дискретное преобразование Фурье. Быстрое преобразование Фурье. Лекция 8, слайд №14Ряд Фурье. Преобразование Фурье, его свойства. Дискретное преобразование Фурье. Быстрое преобразование Фурье. Лекция 8, слайд №15Ряд Фурье. Преобразование Фурье, его свойства. Дискретное преобразование Фурье. Быстрое преобразование Фурье. Лекция 8, слайд №16Ряд Фурье. Преобразование Фурье, его свойства. Дискретное преобразование Фурье. Быстрое преобразование Фурье. Лекция 8, слайд №17Ряд Фурье. Преобразование Фурье, его свойства. Дискретное преобразование Фурье. Быстрое преобразование Фурье. Лекция 8, слайд №18Ряд Фурье. Преобразование Фурье, его свойства. Дискретное преобразование Фурье. Быстрое преобразование Фурье. Лекция 8, слайд №19Ряд Фурье. Преобразование Фурье, его свойства. Дискретное преобразование Фурье. Быстрое преобразование Фурье. Лекция 8, слайд №20Ряд Фурье. Преобразование Фурье, его свойства. Дискретное преобразование Фурье. Быстрое преобразование Фурье. Лекция 8, слайд №21Ряд Фурье. Преобразование Фурье, его свойства. Дискретное преобразование Фурье. Быстрое преобразование Фурье. Лекция 8, слайд №22Ряд Фурье. Преобразование Фурье, его свойства. Дискретное преобразование Фурье. Быстрое преобразование Фурье. Лекция 8, слайд №23Ряд Фурье. Преобразование Фурье, его свойства. Дискретное преобразование Фурье. Быстрое преобразование Фурье. Лекция 8, слайд №24Ряд Фурье. Преобразование Фурье, его свойства. Дискретное преобразование Фурье. Быстрое преобразование Фурье. Лекция 8, слайд №25Ряд Фурье. Преобразование Фурье, его свойства. Дискретное преобразование Фурье. Быстрое преобразование Фурье. Лекция 8, слайд №26Ряд Фурье. Преобразование Фурье, его свойства. Дискретное преобразование Фурье. Быстрое преобразование Фурье. Лекция 8, слайд №27Ряд Фурье. Преобразование Фурье, его свойства. Дискретное преобразование Фурье. Быстрое преобразование Фурье. Лекция 8, слайд №28Ряд Фурье. Преобразование Фурье, его свойства. Дискретное преобразование Фурье. Быстрое преобразование Фурье. Лекция 8, слайд №29Ряд Фурье. Преобразование Фурье, его свойства. Дискретное преобразование Фурье. Быстрое преобразование Фурье. Лекция 8, слайд №30Ряд Фурье. Преобразование Фурье, его свойства. Дискретное преобразование Фурье. Быстрое преобразование Фурье. Лекция 8, слайд №31Ряд Фурье. Преобразование Фурье, его свойства. Дискретное преобразование Фурье. Быстрое преобразование Фурье. Лекция 8, слайд №32Ряд Фурье. Преобразование Фурье, его свойства. Дискретное преобразование Фурье. Быстрое преобразование Фурье. Лекция 8, слайд №33Ряд Фурье. Преобразование Фурье, его свойства. Дискретное преобразование Фурье. Быстрое преобразование Фурье. Лекция 8, слайд №34Ряд Фурье. Преобразование Фурье, его свойства. Дискретное преобразование Фурье. Быстрое преобразование Фурье. Лекция 8, слайд №35Ряд Фурье. Преобразование Фурье, его свойства. Дискретное преобразование Фурье. Быстрое преобразование Фурье. Лекция 8, слайд №36Ряд Фурье. Преобразование Фурье, его свойства. Дискретное преобразование Фурье. Быстрое преобразование Фурье. Лекция 8, слайд №37Ряд Фурье. Преобразование Фурье, его свойства. Дискретное преобразование Фурье. Быстрое преобразование Фурье. Лекция 8, слайд №38Ряд Фурье. Преобразование Фурье, его свойства. Дискретное преобразование Фурье. Быстрое преобразование Фурье. Лекция 8, слайд №39Ряд Фурье. Преобразование Фурье, его свойства. Дискретное преобразование Фурье. Быстрое преобразование Фурье. Лекция 8, слайд №40Ряд Фурье. Преобразование Фурье, его свойства. Дискретное преобразование Фурье. Быстрое преобразование Фурье. Лекция 8, слайд №41Ряд Фурье. Преобразование Фурье, его свойства. Дискретное преобразование Фурье. Быстрое преобразование Фурье. Лекция 8, слайд №42Ряд Фурье. Преобразование Фурье, его свойства. Дискретное преобразование Фурье. Быстрое преобразование Фурье. Лекция 8, слайд №43Ряд Фурье. Преобразование Фурье, его свойства. Дискретное преобразование Фурье. Быстрое преобразование Фурье. Лекция 8, слайд №44Ряд Фурье. Преобразование Фурье, его свойства. Дискретное преобразование Фурье. Быстрое преобразование Фурье. Лекция 8, слайд №45Ряд Фурье. Преобразование Фурье, его свойства. Дискретное преобразование Фурье. Быстрое преобразование Фурье. Лекция 8, слайд №46Ряд Фурье. Преобразование Фурье, его свойства. Дискретное преобразование Фурье. Быстрое преобразование Фурье. Лекция 8, слайд №47Ряд Фурье. Преобразование Фурье, его свойства. Дискретное преобразование Фурье. Быстрое преобразование Фурье. Лекция 8, слайд №48
Скачать

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Ряд Фурье. Преобразование Фурье, его свойства. Дискретное преобразование Фурье. Быстрое преобразование Фурье. Лекция 8. Доклад-сообщение содержит 48 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1


Ряд Фурье. Преобразование Фурье, его свойства. Дискретное преобразование Фурье. Быстрое преобразование Фурье МОИ Лекция 8
Описание слайда:
Ряд Фурье. Преобразование Фурье, его свойства. Дискретное преобразование Фурье. Быстрое преобразование Фурье МОИ Лекция 8

Слайд 2


Представление сигналов в системе гармонических колебаний (синусов и косинусов) и их анализ (традиционный Фурье или частотный анализ), получили большое распространение в радиотехнике и связи. Представление сигналов в системе гармонических колебаний (синусов и косинусов) и их анализ (традиционный Фурье или частотный анализ), получили большое распространение в радиотехнике и связи. Так, теория преобразования Фурье периодических и непериодических функций вышла далеко за пределы математических дисциплин, став мощной теоретической базой в ряде прикладных областей, таких как радиоэлектроника и радиотехника, теория систем, теория автоматического регулирования, теория сигналов и др.
Описание слайда:
Представление сигналов в системе гармонических колебаний (синусов и косинусов) и их анализ (традиционный Фурье или частотный анализ), получили большое распространение в радиотехнике и связи. Представление сигналов в системе гармонических колебаний (синусов и косинусов) и их анализ (традиционный Фурье или частотный анализ), получили большое распространение в радиотехнике и связи. Так, теория преобразования Фурье периодических и непериодических функций вышла далеко за пределы математических дисциплин, став мощной теоретической базой в ряде прикладных областей, таких как радиоэлектроника и радиотехника, теория систем, теория автоматического регулирования, теория сигналов и др.

Слайд 3


Сложный сигнал может быть представлен в виде некоторой комбинации компонентов – более простых колебаний (сигналов). Сложный сигнал может быть представлен в виде некоторой комбинации компонентов – более простых колебаний (сигналов). Если эти колебания имеют ясный физический смысл, то свойства сигнала могут быть объяснены в терминах самих колебаний. Анализом сигналов называется процесс определения и оценки величины компонентов, осуществляемый некоторыми техническими средствами по определенным формулам.
Описание слайда:
Сложный сигнал может быть представлен в виде некоторой комбинации компонентов – более простых колебаний (сигналов). Сложный сигнал может быть представлен в виде некоторой комбинации компонентов – более простых колебаний (сигналов). Если эти колебания имеют ясный физический смысл, то свойства сигнала могут быть объяснены в терминах самих колебаний. Анализом сигналов называется процесс определения и оценки величины компонентов, осуществляемый некоторыми техническими средствами по определенным формулам.

Слайд 4


Произвольные периодические функции представляют собой суммы простейших гармонических функций – синусов и косинусов кратных частот. Произвольные периодические функции представляют собой суммы простейших гармонических функций – синусов и косинусов кратных частот. Эти суммы получили название рядов Фурье. Разложение периодического сигнала в ряд Фурье и проведение преобразования Фурье непериодических сигналов – являются основными методов исследования их свойств и характеристик
Описание слайда:
Произвольные периодические функции представляют собой суммы простейших гармонических функций – синусов и косинусов кратных частот. Произвольные периодические функции представляют собой суммы простейших гармонических функций – синусов и косинусов кратных частот. Эти суммы получили название рядов Фурье. Разложение периодического сигнала в ряд Фурье и проведение преобразования Фурье непериодических сигналов – являются основными методов исследования их свойств и характеристик

Слайд 5


Разложению в ряд Фурье могут подвергаться периодические сигналы. При этом они представляются в виде суммы гармонических функций либо комплексных экспонент (e2πνt ) с частотами, образующими арифметическую прогрессию. Разложению в ряд Фурье могут подвергаться периодические сигналы. При этом они представляются в виде суммы гармонических функций либо комплексных экспонент (e2πνt ) с частотами, образующими арифметическую прогрессию. Чтобы такое разложение существовало, фрагмент сигнала длительностью в один период должен удовлетворять условиям Дирихле:
Описание слайда:
Разложению в ряд Фурье могут подвергаться периодические сигналы. При этом они представляются в виде суммы гармонических функций либо комплексных экспонент (e2πνt ) с частотами, образующими арифметическую прогрессию. Разложению в ряд Фурье могут подвергаться периодические сигналы. При этом они представляются в виде суммы гармонических функций либо комплексных экспонент (e2πνt ) с частотами, образующими арифметическую прогрессию. Чтобы такое разложение существовало, фрагмент сигнала длительностью в один период должен удовлетворять условиям Дирихле:

Слайд 6


Условия Дирихле: Во фрагменте сигнала длительностью в один период Не должно быть разрывов второго рода (с уходящими в бесконечность ветвями функции); Число разрывов первого рода (скачков) должно быть конечным; Число экстремумов должно быть конечным; В любой точке периода первая производная должна быть конечной (или конечной является левая или правая производная – условие Дини).
Описание слайда:
Условия Дирихле: Во фрагменте сигнала длительностью в один период Не должно быть разрывов второго рода (с уходящими в бесконечность ветвями функции); Число разрывов первого рода (скачков) должно быть конечным; Число экстремумов должно быть конечным; В любой точке периода первая производная должна быть конечной (или конечной является левая или правая производная – условие Дини).

Слайд 7


Ряд Фурье может быть применен для представления не только периодических сигналов, но и сигналов конечной длительности. Ряд Фурье может быть применен для представления не только периодических сигналов, но и сигналов конечной длительности. При этом выбирается временной интервал, для которого строится ряд Фурье, в остальные моменты времени сигнал полагается равным нулю.
Описание слайда:
Ряд Фурье может быть применен для представления не только периодических сигналов, но и сигналов конечной длительности. Ряд Фурье может быть применен для представления не только периодических сигналов, но и сигналов конечной длительности. При этом выбирается временной интервал, для которого строится ряд Фурье, в остальные моменты времени сигнал полагается равным нулю.

Слайд 8


В зависимости от конкретной формы базисных функций различают несколько форм записи ряда Фурье: В зависимости от конкретной формы базисных функций различают несколько форм записи ряда Фурье: Синусно-косинусная форма Вещественная форма Комплексная форма
Описание слайда:
В зависимости от конкретной формы базисных функций различают несколько форм записи ряда Фурье: В зависимости от конкретной формы базисных функций различают несколько форм записи ряда Фурье: Синусно-косинусная форма Вещественная форма Комплексная форма

Слайд 9


Синусно-косинусная форма Имеет следующий вид: где - круговая частота, кратные ей частоты - гармоники сигнала, коэффициенты и рассчитываются по формулам: и - среднее значение сигнала за период
Описание слайда:
Синусно-косинусная форма Имеет следующий вид: где - круговая частота, кратные ей частоты - гармоники сигнала, коэффициенты и рассчитываются по формулам: и - среднее значение сигнала за период

Слайд 10


Вещественная форма ряда Фурье Чтобы в формуле ряда Фурье остались только слагаемые одного вида, например косинусные, применяют тригонометрические преобразования и получают вещественную форму представления разложения: , При этом изменяется амплитуда и возникает начальная фаза, а частота остается прежней. Если s(t) четная функция, то фазы могут принимать только значения 0 и , если нечетная – фазы могут быть равны /2.
Описание слайда:
Вещественная форма ряда Фурье Чтобы в формуле ряда Фурье остались только слагаемые одного вида, например косинусные, применяют тригонометрические преобразования и получают вещественную форму представления разложения: , При этом изменяется амплитуда и возникает начальная фаза, а частота остается прежней. Если s(t) четная функция, то фазы могут принимать только значения 0 и , если нечетная – фазы могут быть равны /2.

Слайд 11


Комплексная форма ряда Фурье Является наиболее употребимой в технике обработки сигналов. Получается из вещественной формы применением формулы Эйлера в виде Получим:
Описание слайда:
Комплексная форма ряда Фурье Является наиболее употребимой в технике обработки сигналов. Получается из вещественной формы применением формулы Эйлера в виде Получим:

Слайд 12


Формула расчета коэффициентов ряда Фурье в комплексной форме: Формула расчета коэффициентов ряда Фурье в комплексной форме: Если s(t) является четной функцией, коэффициенты ряда будут вещественными, если нечетной – мнимыми.
Описание слайда:
Формула расчета коэффициентов ряда Фурье в комплексной форме: Формула расчета коэффициентов ряда Фурье в комплексной форме: Если s(t) является четной функцией, коэффициенты ряда будут вещественными, если нечетной – мнимыми.

Слайд 13


Совокупность амплитуд гармоник ряда Фурье называют амплитудным спектром, совокупность их фаз – фазовым спектром. Совокупность амплитуд гармоник ряда Фурье называют амплитудным спектром, совокупность их фаз – фазовым спектром. Эти спектры являются линейчатыми. Для любого сигнала x(t) можно определить спектры амплитуд и фаз следующим образом: ()= ()=arctg / Следует отличать спектры от характеристик. Последние относятся не к сигналам (как спектры), а к системам обработки сигналов.
Описание слайда:
Совокупность амплитуд гармоник ряда Фурье называют амплитудным спектром, совокупность их фаз – фазовым спектром. Совокупность амплитуд гармоник ряда Фурье называют амплитудным спектром, совокупность их фаз – фазовым спектром. Эти спектры являются линейчатыми. Для любого сигнала x(t) можно определить спектры амплитуд и фаз следующим образом: ()= ()=arctg / Следует отличать спектры от характеристик. Последние относятся не к сигналам (как спектры), а к системам обработки сигналов.

Слайд 14


Ряд Фурье. Преобразование Фурье, его свойства. Дискретное преобразование Фурье. Быстрое преобразование Фурье. Лекция 8, слайд №14
Описание слайда:

Слайд 15


Преобразование Фурье Является инструментом спектрального анализа непериодических сигналов. Прямое преобразование Фурье (Фурье-образ сигнала): Обратное преобразование Фурье:
Описание слайда:
Преобразование Фурье Является инструментом спектрального анализа непериодических сигналов. Прямое преобразование Фурье (Фурье-образ сигнала): Обратное преобразование Фурье:

Слайд 16


Если использовать не круговую частоту, а обычную , то формулы прямого и обратного преобразований Фурье будут отличаться только знаком в показателе экспоненты: Если использовать не круговую частоту, а обычную , то формулы прямого и обратного преобразований Фурье будут отличаться только знаком в показателе экспоненты:
Описание слайда:
Если использовать не круговую частоту, а обычную , то формулы прямого и обратного преобразований Фурье будут отличаться только знаком в показателе экспоненты: Если использовать не круговую частоту, а обычную , то формулы прямого и обратного преобразований Фурье будут отличаться только знаком в показателе экспоненты:

Слайд 17


Итак, Итак, прямое преобразование Фурье – это разложение сигнала на гармонические функции (в спектр). Обратное преобразование Фурье – это синтез сигнала по гармоникам.
Описание слайда:
Итак, Итак, прямое преобразование Фурье – это разложение сигнала на гармонические функции (в спектр). Обратное преобразование Фурье – это синтез сигнала по гармоникам.

Слайд 18


Чтобы преобразование Фурье было применимо, сигнал должен удовлетворять не только тем же, что и в случае разложения в ряд Фурье, условиям, но и еще одному – Чтобы преобразование Фурье было применимо, сигнал должен удовлетворять не только тем же, что и в случае разложения в ряд Фурье, условиям, но и еще одному – Сигнал должен быть абсолютно интегрируемым, т.е. интеграл его модуля должен быть конечной величиной: Модуль спектральной функции S() называют амплитудным спектром, а ее аргумент – фазовым спектром
Описание слайда:
Чтобы преобразование Фурье было применимо, сигнал должен удовлетворять не только тем же, что и в случае разложения в ряд Фурье, условиям, но и еще одному – Чтобы преобразование Фурье было применимо, сигнал должен удовлетворять не только тем же, что и в случае разложения в ряд Фурье, условиям, но и еще одному – Сигнал должен быть абсолютно интегрируемым, т.е. интеграл его модуля должен быть конечной величиной: Модуль спектральной функции S() называют амплитудным спектром, а ее аргумент – фазовым спектром

Слайд 19


Преобразование Фурье ставит в соответствие сигналу, заданному во времени, его спектральную функцию, т.е. осуществляется переход из временной области в частотную. Преобразование Фурье ставит в соответствие сигналу, заданному во времени, его спектральную функцию, т.е. осуществляется переход из временной области в частотную. Преобразование Фурье является взаимно-однозначным, поэтому представление сигнала в частотной области (т.е. спектральная функция) содержит столько же информации, сколько и исходный сигнал, заданный во временной области.
Описание слайда:
Преобразование Фурье ставит в соответствие сигналу, заданному во времени, его спектральную функцию, т.е. осуществляется переход из временной области в частотную. Преобразование Фурье ставит в соответствие сигналу, заданному во времени, его спектральную функцию, т.е. осуществляется переход из временной области в частотную. Преобразование Фурье является взаимно-однозначным, поэтому представление сигнала в частотной области (т.е. спектральная функция) содержит столько же информации, сколько и исходный сигнал, заданный во временной области.

Слайд 20


Пример: прямоугольный импульс
Описание слайда:
Пример: прямоугольный импульс

Слайд 21


При лепестковом характере спектра за его эффективную ширину принимают величину 2/ ( - длительность импульса). При лепестковом характере спектра за его эффективную ширину принимают величину 2/ ( - длительность импульса). Если амплитудный спектр не содержит явно выраженных лепестков, то эффективную ширину определяют по уровню 0,1 от максимума.
Описание слайда:
При лепестковом характере спектра за его эффективную ширину принимают величину 2/ ( - длительность импульса). При лепестковом характере спектра за его эффективную ширину принимают величину 2/ ( - длительность импульса). Если амплитудный спектр не содержит явно выраженных лепестков, то эффективную ширину определяют по уровню 0,1 от максимума.

Слайд 22


Соотношение неопределенности Длительность сигнала и ширина его спектра подчиняются соотношению неопределенности: произведение этих параметров (база спектра) не может быть меньше единицы. Ограничений максимального значения базы сигнала не существует, поэтому можно сформировать сигнал большой длительности с широким спектром, а короткий сигнал с узким спектром существовать не может.
Описание слайда:
Соотношение неопределенности Длительность сигнала и ширина его спектра подчиняются соотношению неопределенности: произведение этих параметров (база спектра) не может быть меньше единицы. Ограничений максимального значения базы сигнала не существует, поэтому можно сформировать сигнал большой длительности с широким спектром, а короткий сигнал с узким спектром существовать не может.

Слайд 23


Свойства преобразования Фурье Линейность – преобразование Фурье является линейным интегральным преобразованием, спектр суммы сигналов равен сумме их спектров: .
Описание слайда:
Свойства преобразования Фурье Линейность – преобразование Фурье является линейным интегральным преобразованием, спектр суммы сигналов равен сумме их спектров: .

Слайд 24


Свойства преобразования Фурье Задержка сигнала во времени на величину  не влияет на амплитудный спектр сигнала, добавляя в фазовый спектр слагаемое -, линейно зависящее от частоты:
Описание слайда:
Свойства преобразования Фурье Задержка сигнала во времени на величину  не влияет на амплитудный спектр сигнала, добавляя в фазовый спектр слагаемое -, линейно зависящее от частоты:

Слайд 25


Свойства преобразования Фурье Изменение масштаба оси времени (длительности сигнала) – приводит к изменению ширины спектра в обратную сторону с одновременным изменением уровня спектральных составляющих: Изменение длительности сигнала не может быть осуществлено линейной системой с постоянными параметрами.
Описание слайда:
Свойства преобразования Фурье Изменение масштаба оси времени (длительности сигнала) – приводит к изменению ширины спектра в обратную сторону с одновременным изменением уровня спектральных составляющих: Изменение длительности сигнала не может быть осуществлено линейной системой с постоянными параметрами.

Слайд 26


Свойства преобразования Фурье Дифференцирование сигнала во временной области приводит к умножению спектра исходного сигнала на j, т.о. низкие частоты ослабляются, а высокие усиливаются, фазовый спектр сдвигается на  для положительных и отрицательных частот соответственно. Множитель j называется оператором дифференцирования сигнала в частотной области.
Описание слайда:
Свойства преобразования Фурье Дифференцирование сигнала во временной области приводит к умножению спектра исходного сигнала на j, т.о. низкие частоты ослабляются, а высокие усиливаются, фазовый спектр сдвигается на  для положительных и отрицательных частот соответственно. Множитель j называется оператором дифференцирования сигнала в частотной области.

Слайд 27


Свойства преобразования Фурье Интегрирование сигнала ведет к ослаблению высоких и усилению низких частот, фазовый спектр смещается на -/+ для положительных и отрицательных частот соответственно: Дополнительное слагаемое – дельта-функция на нулевой частоте, умноженная на постоянную составляющую сигнала s(t).
Описание слайда:
Свойства преобразования Фурье Интегрирование сигнала ведет к ослаблению высоких и усилению низких частот, фазовый спектр смещается на -/+ для положительных и отрицательных частот соответственно: Дополнительное слагаемое – дельта-функция на нулевой частоте, умноженная на постоянную составляющую сигнала s(t).

Слайд 28


Свойства преобразования Фурье Спектр свертки сигналов равен произведению спектров: Свертка сигнала описывает прохождение сигнала через линейную систему с постоянными параметрами.
Описание слайда:
Свойства преобразования Фурье Спектр свертки сигналов равен произведению спектров: Свертка сигнала описывает прохождение сигнала через линейную систему с постоянными параметрами.

Слайд 29


Свойства преобразования Фурье Спектр произведения сигналов дает свертку спектров с дополнительным множителем 1/2:
Описание слайда:
Свойства преобразования Фурье Спектр произведения сигналов дает свертку спектров с дополнительным множителем 1/2:

Слайд 30


Свойства преобразования Фурье Умножение сигнала на гармоническую функцию приводит к раздвоению спектра – он распадается на два сигнала вдвое меньшего уровня каждый, смещенных вправо и влево на по оси частот:
Описание слайда:
Свойства преобразования Фурье Умножение сигнала на гармоническую функцию приводит к раздвоению спектра – он распадается на два сигнала вдвое меньшего уровня каждый, смещенных вправо и влево на по оси частот:

Слайд 31


Свойства преобразования Фурье Связь преобразования Фурье и коэффициентов ряда Фурье:
Описание слайда:
Свойства преобразования Фурье Связь преобразования Фурье и коэффициентов ряда Фурье:

Слайд 32


Спектр дискретного сигнала Преобразование Фурье применяется для вычисления спектра сигнала, являющегося функцией времени или пространственных координат. Дискретный сигнал представляет собой последовательность чисел, которую для проведения Фурье-преобразований необходимо представить в виде некоторой функции.
Описание слайда:
Спектр дискретного сигнала Преобразование Фурье применяется для вычисления спектра сигнала, являющегося функцией времени или пространственных координат. Дискретный сигнал представляет собой последовательность чисел, которую для проведения Фурье-преобразований необходимо представить в виде некоторой функции.

Слайд 33


Спектр дискретного сигнала Обычно отсчеты представляют в виде дельта-функций с определенными множителями и задержками, что для последовательности отсчетов {x(k)} можно представить в виде: Главное свойство спектра любого дискретного сигнала – его периодичность.
Описание слайда:
Спектр дискретного сигнала Обычно отсчеты представляют в виде дельта-функций с определенными множителями и задержками, что для последовательности отсчетов {x(k)} можно представить в виде: Главное свойство спектра любого дискретного сигнала – его периодичность.

Слайд 34


Спектр дискретного сигнала Характер спектра дискретизированного сигнала демонстрирует частотно-временную дуальность преобразования Фурье: Периодический сигнал имеет дискретный спектр; Дискретный сигнал имеет периодический спектр.
Описание слайда:
Спектр дискретного сигнала Характер спектра дискретизированного сигнала демонстрирует частотно-временную дуальность преобразования Фурье: Периодический сигнал имеет дискретный спектр; Дискретный сигнал имеет периодический спектр.

Слайд 35


Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) Разновидность преобразования Фурье, специально предназначенная для работы с дискретными сигналами. Лежит в основе различных технологий спектрального анализа для исследования случайных процессов.
Описание слайда:
Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) Разновидность преобразования Фурье, специально предназначенная для работы с дискретными сигналами. Лежит в основе различных технологий спектрального анализа для исследования случайных процессов.

Слайд 36


В результате вычисления ДПФ случайного процесса (сигнала) получается лишь спектр его единственной (одной из возможных) реализаций, что обычно не представляет большого интереса. В результате вычисления ДПФ случайного процесса (сигнала) получается лишь спектр его единственной (одной из возможных) реализаций, что обычно не представляет большого интереса. Для спектрального анализа случайных сигналов необходимо использовать усреднение спектра.
Описание слайда:
В результате вычисления ДПФ случайного процесса (сигнала) получается лишь спектр его единственной (одной из возможных) реализаций, что обычно не представляет большого интереса. В результате вычисления ДПФ случайного процесса (сигнала) получается лишь спектр его единственной (одной из возможных) реализаций, что обычно не представляет большого интереса. Для спектрального анализа случайных сигналов необходимо использовать усреднение спектра.

Слайд 37


Методы спектрального анализа, в которых после усреднения сигнала используется только информация, извлеченная из самого входного сигнала, называются непараметрическими. Методы спектрального анализа, в которых после усреднения сигнала используется только информация, извлеченная из самого входного сигнала, называются непараметрическими. Если при проведении усреднения случайного сигнала определена некоторая его статистическая модель, спектральный анализ будет также решать задачи определения параметров этой модели. Такие методы называются параметрическими.
Описание слайда:
Методы спектрального анализа, в которых после усреднения сигнала используется только информация, извлеченная из самого входного сигнала, называются непараметрическими. Методы спектрального анализа, в которых после усреднения сигнала используется только информация, извлеченная из самого входного сигнала, называются непараметрическими. Если при проведении усреднения случайного сигнала определена некоторая его статистическая модель, спектральный анализ будет также решать задачи определения параметров этой модели. Такие методы называются параметрическими.

Слайд 38


Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) Рассмотрим периодическую последовательность отсчетов {x(k)} с периодом N: для любого k. Поставим в соответствие этой последовательности сигнал из смещенных по времени дельта-функций: , также периодический с периодом NT. Спектр дискретного сигнала s(t) периодический с периодом 2, а поскольку и сигнал периодический, то его спектр дискретен с расстояниями между гармониками 2N.
Описание слайда:
Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) Рассмотрим периодическую последовательность отсчетов {x(k)} с периодом N: для любого k. Поставим в соответствие этой последовательности сигнал из смещенных по времени дельта-функций: , также периодический с периодом NT. Спектр дискретного сигнала s(t) периодический с периодом 2, а поскольку и сигнал периодический, то его спектр дискретен с расстояниями между гармониками 2N.

Слайд 39


Периодический дискретный сигнал, описываемый конечным набором из N чисел, имеет дискретный периодический спектр, один период спектра имеет N гармоник. Периодический дискретный сигнал, описываемый конечным набором из N чисел, имеет дискретный периодический спектр, один период спектра имеет N гармоник.
Описание слайда:
Периодический дискретный сигнал, описываемый конечным набором из N чисел, имеет дискретный периодический спектр, один период спектра имеет N гармоник. Периодический дискретный сигнал, описываемый конечным набором из N чисел, имеет дискретный периодический спектр, один период спектра имеет N гармоник.

Слайд 40


Применив к дискретному периодическому сигналу s(t) разложение в ряд Фурье, получим дискретное преобразование Фурье, т.е. разложение сигнала по гармоникам: Применив к дискретному периодическому сигналу s(t) разложение в ряд Фурье, получим дискретное преобразование Фурье, т.е. разложение сигнала по гармоникам: Обратное дискретное преобразование Фурье:
Описание слайда:
Применив к дискретному периодическому сигналу s(t) разложение в ряд Фурье, получим дискретное преобразование Фурье, т.е. разложение сигнала по гармоникам: Применив к дискретному периодическому сигналу s(t) разложение в ряд Фурье, получим дискретное преобразование Фурье, т.е. разложение сигнала по гармоникам: Обратное дискретное преобразование Фурье:

Слайд 41


Свойства дискретного преобразования Фурье В целом аналогичны свойствам непрерывного преобразования Фурье, например линейность, задержка (сдвиг) сигнала, симметрия, произведение последовательностей. Но есть и некоторые нюансы, возникающие вследствие дискретности, например: при перемножении сигналов их длины должны быть одинаковыми (N); суммирование элементов произведения должно производиться по одному периоду (полученный результат называется круговой сверткой спектров исходных сигналов).
Описание слайда:
Свойства дискретного преобразования Фурье В целом аналогичны свойствам непрерывного преобразования Фурье, например линейность, задержка (сдвиг) сигнала, симметрия, произведение последовательностей. Но есть и некоторые нюансы, возникающие вследствие дискретности, например: при перемножении сигналов их длины должны быть одинаковыми (N); суммирование элементов произведения должно производиться по одному периоду (полученный результат называется круговой сверткой спектров исходных сигналов).

Слайд 42


Дискретное преобразование Фурье является спектром дискретного периодического сигнала и позволяет восстановить непрерывный периодический сигнал, занимающий некоторую ограниченную полосу частот. Заменив дискретный параметр k (номер отсчета) в формуле обратного ДПФ на непрерывный t/T, где Т – период дискретизации, получим непрерывный сигнал: Дискретное преобразование Фурье является спектром дискретного периодического сигнала и позволяет восстановить непрерывный периодический сигнал, занимающий некоторую ограниченную полосу частот. Заменив дискретный параметр k (номер отсчета) в формуле обратного ДПФ на непрерывный t/T, где Т – период дискретизации, получим непрерывный сигнал: Такой аналоговый сигнал занимает полосу частот от 0 до .
Описание слайда:
Дискретное преобразование Фурье является спектром дискретного периодического сигнала и позволяет восстановить непрерывный периодический сигнал, занимающий некоторую ограниченную полосу частот. Заменив дискретный параметр k (номер отсчета) в формуле обратного ДПФ на непрерывный t/T, где Т – период дискретизации, получим непрерывный сигнал: Дискретное преобразование Фурье является спектром дискретного периодического сигнала и позволяет восстановить непрерывный периодический сигнал, занимающий некоторую ограниченную полосу частот. Заменив дискретный параметр k (номер отсчета) в формуле обратного ДПФ на непрерывный t/T, где Т – период дискретизации, получим непрерывный сигнал: Такой аналоговый сигнал занимает полосу частот от 0 до .

Слайд 43


Из выражений ДПФ можно видеть, что для вычисления каждой гармоники нужно N операций комплексного умножения и сложения и соответственно N2 операций на полное выполнение ДПФ. Из выражений ДПФ можно видеть, что для вычисления каждой гармоники нужно N операций комплексного умножения и сложения и соответственно N2 операций на полное выполнение ДПФ. При больших объемах массивов данных это может приводить к существенным временным затратам. Ускорение вычислений достигается при использовании быстрого преобразования Фурье (БПФ).
Описание слайда:
Из выражений ДПФ можно видеть, что для вычисления каждой гармоники нужно N операций комплексного умножения и сложения и соответственно N2 операций на полное выполнение ДПФ. Из выражений ДПФ можно видеть, что для вычисления каждой гармоники нужно N операций комплексного умножения и сложения и соответственно N2 операций на полное выполнение ДПФ. При больших объемах массивов данных это может приводить к существенным временным затратам. Ускорение вычислений достигается при использовании быстрого преобразования Фурье (БПФ).

Слайд 44


Быстрое преобразование Фурье БПФ базируется на том, что при вычислениях среди множителей в силу периодичности функций есть много периодически повторяющихся значений. Алгоритм БПФ группирует слагаемые с одинаковыми множителями в пирамидальный алгоритм, значительно сокращая число умножений за счет исключения повторных вычислений. В результате быстродействие БПФ в зависимости от N может в сотни раз превосходить быстродействие стандартного алгоритма. При этом алгоритм БПФ даже точнее стандартного, т.к. сокращая число операций, он приводит к меньшим ошибкам округления.
Описание слайда:
Быстрое преобразование Фурье БПФ базируется на том, что при вычислениях среди множителей в силу периодичности функций есть много периодически повторяющихся значений. Алгоритм БПФ группирует слагаемые с одинаковыми множителями в пирамидальный алгоритм, значительно сокращая число умножений за счет исключения повторных вычислений. В результате быстродействие БПФ в зависимости от N может в сотни раз превосходить быстродействие стандартного алгоритма. При этом алгоритм БПФ даже точнее стандартного, т.к. сокращая число операций, он приводит к меньшим ошибкам округления.

Слайд 45


Быстрое преобразование Фурье При реализации БПФ возможно несколько вариантов организации вычислений в зависимости от способа деления последовательности отсчетов на части (так наз. прореживание по времени или по частоте) и от того, на сколько фрагментов производится разбиение последовательности на каждом шаге вычислений (основание БПФ). При этом существенно, что N не должно быть простым числом, а должно быть разлагаемым на множители.
Описание слайда:
Быстрое преобразование Фурье При реализации БПФ возможно несколько вариантов организации вычислений в зависимости от способа деления последовательности отсчетов на части (так наз. прореживание по времени или по частоте) и от того, на сколько фрагментов производится разбиение последовательности на каждом шаге вычислений (основание БПФ). При этом существенно, что N не должно быть простым числом, а должно быть разлагаемым на множители.

Слайд 46


Наибольшее ускорение может быть получено при , т.к. тогда деление последовательностей на две части возможно, пока не будут получены двухэлементные последовательности, ДПФ которых можно произвести без операции умножения, вычислив только сумму и разность двух отсчетов. Наибольшее ускорение может быть получено при , т.к. тогда деление последовательностей на две части возможно, пока не будут получены двухэлементные последовательности, ДПФ которых можно произвести без операции умножения, вычислив только сумму и разность двух отсчетов. Число требуемых при этом пар операций «сложение-умножение» оценивают как а вычислительные затраты уменьшаются в раз. При больших N это отношение становится весьма существенным.
Описание слайда:
Наибольшее ускорение может быть получено при , т.к. тогда деление последовательностей на две части возможно, пока не будут получены двухэлементные последовательности, ДПФ которых можно произвести без операции умножения, вычислив только сумму и разность двух отсчетов. Наибольшее ускорение может быть получено при , т.к. тогда деление последовательностей на две части возможно, пока не будут получены двухэлементные последовательности, ДПФ которых можно произвести без операции умножения, вычислив только сумму и разность двух отсчетов. Число требуемых при этом пар операций «сложение-умножение» оценивают как а вычислительные затраты уменьшаются в раз. При больших N это отношение становится весьма существенным.

Слайд 47


Некоторые выводы Если длина анализируемого вектора (сигнала) является простым числом, вычисление спектра сигнала возможно только по прямой формуле дискретного преобразования Фурье. Алгоритм БПФ предназначен для одновременного расчета всех спектральных отсчетов X(n) сигнала x(k). Если необходимы только отсчеты для некоторых n, то применяется формула прямого ДПФ. Применение БПФ имеет смысл, если число элементов анализируемой последовательности (сигнала) является степенью числа 2, т.к. при этом достигается наибольшее ускорение расчетов.
Описание слайда:
Некоторые выводы Если длина анализируемого вектора (сигнала) является простым числом, вычисление спектра сигнала возможно только по прямой формуле дискретного преобразования Фурье. Алгоритм БПФ предназначен для одновременного расчета всех спектральных отсчетов X(n) сигнала x(k). Если необходимы только отсчеты для некоторых n, то применяется формула прямого ДПФ. Применение БПФ имеет смысл, если число элементов анализируемой последовательности (сигнала) является степенью числа 2, т.к. при этом достигается наибольшее ускорение расчетов.

Слайд 48


ДПФ и фильтрация Дискретное преобразование Фурье можно представить как обработку сигнала набором фильтров с соответствующей импульсной характеристикой, Дискретную фильтрацию сигналов можно организовать с помощью дискретного преобразования Фурье
Описание слайда:
ДПФ и фильтрация Дискретное преобразование Фурье можно представить как обработку сигнала набором фильтров с соответствующей импульсной характеристикой, Дискретную фильтрацию сигналов можно организовать с помощью дискретного преобразования Фурье

Скачать

Похожие презентации
Mypresentation.ru
Загрузить презентацию