🗊Презентация Прямая и двойственная задачи и их решение симплекс-методом

Категория: Математика
Нажмите для полного просмотра!
Прямая и двойственная задачи и их решение симплекс-методом, слайд №1Прямая и двойственная задачи и их решение симплекс-методом, слайд №2Прямая и двойственная задачи и их решение симплекс-методом, слайд №3Прямая и двойственная задачи и их решение симплекс-методом, слайд №4Прямая и двойственная задачи и их решение симплекс-методом, слайд №5Прямая и двойственная задачи и их решение симплекс-методом, слайд №6Прямая и двойственная задачи и их решение симплекс-методом, слайд №7Прямая и двойственная задачи и их решение симплекс-методом, слайд №8Прямая и двойственная задачи и их решение симплекс-методом, слайд №9Прямая и двойственная задачи и их решение симплекс-методом, слайд №10Прямая и двойственная задачи и их решение симплекс-методом, слайд №11Прямая и двойственная задачи и их решение симплекс-методом, слайд №12Прямая и двойственная задачи и их решение симплекс-методом, слайд №13Прямая и двойственная задачи и их решение симплекс-методом, слайд №14Прямая и двойственная задачи и их решение симплекс-методом, слайд №15Прямая и двойственная задачи и их решение симплекс-методом, слайд №16Прямая и двойственная задачи и их решение симплекс-методом, слайд №17Прямая и двойственная задачи и их решение симплекс-методом, слайд №18Прямая и двойственная задачи и их решение симплекс-методом, слайд №19Прямая и двойственная задачи и их решение симплекс-методом, слайд №20Прямая и двойственная задачи и их решение симплекс-методом, слайд №21Прямая и двойственная задачи и их решение симплекс-методом, слайд №22Прямая и двойственная задачи и их решение симплекс-методом, слайд №23Прямая и двойственная задачи и их решение симплекс-методом, слайд №24Прямая и двойственная задачи и их решение симплекс-методом, слайд №25Прямая и двойственная задачи и их решение симплекс-методом, слайд №26Прямая и двойственная задачи и их решение симплекс-методом, слайд №27Прямая и двойственная задачи и их решение симплекс-методом, слайд №28Прямая и двойственная задачи и их решение симплекс-методом, слайд №29Прямая и двойственная задачи и их решение симплекс-методом, слайд №30Прямая и двойственная задачи и их решение симплекс-методом, слайд №31Прямая и двойственная задачи и их решение симплекс-методом, слайд №32Прямая и двойственная задачи и их решение симплекс-методом, слайд №33Прямая и двойственная задачи и их решение симплекс-методом, слайд №34Прямая и двойственная задачи и их решение симплекс-методом, слайд №35Прямая и двойственная задачи и их решение симплекс-методом, слайд №36Прямая и двойственная задачи и их решение симплекс-методом, слайд №37Прямая и двойственная задачи и их решение симплекс-методом, слайд №38Прямая и двойственная задачи и их решение симплекс-методом, слайд №39Прямая и двойственная задачи и их решение симплекс-методом, слайд №40Прямая и двойственная задачи и их решение симплекс-методом, слайд №41Прямая и двойственная задачи и их решение симплекс-методом, слайд №42Прямая и двойственная задачи и их решение симплекс-методом, слайд №43
Скачать

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Прямая и двойственная задачи и их решение симплекс-методом. Доклад-сообщение содержит 43 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1


Прямая и двойственная задачи и их решение симплекс-методом
Описание слайда:
Прямая и двойственная задачи и их решение симплекс-методом

Слайд 2


Решение симплекс-методом экономической задачи.
Описание слайда:
Решение симплекс-методом экономической задачи.

Слайд 3


Решение Составим ЦФ и ограничения. Найти максимум функции
Описание слайда:
Решение Составим ЦФ и ограничения. Найти максимум функции

Слайд 4


Запишем задачу в форме основной задачи линейного программирования. Введем дополнительные переменные по числу ограничений
Описание слайда:
Запишем задачу в форме основной задачи линейного программирования. Введем дополнительные переменные по числу ограничений

Слайд 5


Теперь запишем задачу в векторной форме.
Описание слайда:
Теперь запишем задачу в векторной форме.

Слайд 6


Так как есть три единичных вектора , то можно сразу записать опорный план Х=(0,0,0,360,192,180). Составим нулевую симплекс-таблицу
Описание слайда:
Так как есть три единичных вектора , то можно сразу записать опорный план Х=(0,0,0,360,192,180). Составим нулевую симплекс-таблицу

Слайд 7


Прямая и двойственная задачи и их решение симплекс-методом, слайд №7
Описание слайда:

Слайд 8


Полученный опорный план проверяем на оптимальность. Вычисляем значение целевой функции и симплекс-разности.
Описание слайда:
Полученный опорный план проверяем на оптимальность. Вычисляем значение целевой функции и симплекс-разности.

Слайд 9


Как видно из 0-й таблицы отличными от нуля являются переменные а равны нулю, т.к. они небазисные, а свободные. Дополнительные же переменные принимают свои значения в соответствии с ограничениями. Эти значения переменных отвечают такому «плану», при котором ничего не производится, сырье не используется и значение целевой функции равно нулю, т. е. стоимость произведенной продукции отсутствует. Такой план, конечно, не является оптимальным. Это видно и из 4-й строки таблицы, в которой имеется три отрицательных оценки -9, -16 и -10.
Описание слайда:
Как видно из 0-й таблицы отличными от нуля являются переменные а равны нулю, т.к. они небазисные, а свободные. Дополнительные же переменные принимают свои значения в соответствии с ограничениями. Эти значения переменных отвечают такому «плану», при котором ничего не производится, сырье не используется и значение целевой функции равно нулю, т. е. стоимость произведенной продукции отсутствует. Такой план, конечно, не является оптимальным. Это видно и из 4-й строки таблицы, в которой имеется три отрицательных оценки -9, -16 и -10.

Слайд 10


Отрицательные числа не только свидетельствуют о возможности увеличения общей стоимости производимой продукции (в столбцах над отрицательными оценками стоят положительные числа), но и показывают, на сколько увеличится эта сумма при введении в план единицы того или иного вида продукции. Так, число -9 означает, что при включении в план производства одного изделия А обеспечивается увеличение стоимости продукции на 9 д.е.
Описание слайда:
Отрицательные числа не только свидетельствуют о возможности увеличения общей стоимости производимой продукции (в столбцах над отрицательными оценками стоят положительные числа), но и показывают, на сколько увеличится эта сумма при введении в план единицы того или иного вида продукции. Так, число -9 означает, что при включении в план производства одного изделия А обеспечивается увеличение стоимости продукции на 9 д.е.

Слайд 11


Если включить в план производства по одному изделию В и С, то общая стоимость изготовляемой продукции возрастет соответственно на 10 и 16 д.е. Поэтому с экономической точки зрения целесообразным является включение в план изделий С. Это же необходимо сделать и с той точки зрения, что -16 является наименьшей отрицательной оценкой. Значит, в базис введем вектор .
Описание слайда:
Если включить в план производства по одному изделию В и С, то общая стоимость изготовляемой продукции возрастет соответственно на 10 и 16 д.е. Поэтому с экономической точки зрения целесообразным является включение в план изделий С. Это же необходимо сделать и с той точки зрения, что -16 является наименьшей отрицательной оценкой. Значит, в базис введем вектор .

Слайд 12


Найдем число . Введем его в последний столбец таблицы. Число 24 соответствует вектору . 192/8=24 с экономической точки зрения означает, какое количество изделий С предприятие может изготовлять с учетом норм расхода и имеющихся объемов сырья каждого вида.
Описание слайда:
Найдем число . Введем его в последний столбец таблицы. Число 24 соответствует вектору . 192/8=24 с экономической точки зрения означает, какое количество изделий С предприятие может изготовлять с учетом норм расхода и имеющихся объемов сырья каждого вида.

Слайд 13


Так как сырья каждого вида имеется соответственно 360, 192 и 180 кг, а на одно изделие С требуется затратить сырья каждого вида 12, 8 и 3 кг, то максимальное число изделий С, которое может быть изготовлено предприятием равно min{360/12,192/8,180/3}=192/8=24, т.е. ограничивающим фактором для производства изделий С является имеющийся объем сырья 2-го вида. С учетом его предприятие может производить 24 изделия С.При этом сырье 2-го вида будет полностью использовано и , значит, вектор подлежит исключению из базиса.
Описание слайда:
Так как сырья каждого вида имеется соответственно 360, 192 и 180 кг, а на одно изделие С требуется затратить сырья каждого вида 12, 8 и 3 кг, то максимальное число изделий С, которое может быть изготовлено предприятием равно min{360/12,192/8,180/3}=192/8=24, т.е. ограничивающим фактором для производства изделий С является имеющийся объем сырья 2-го вида. С учетом его предприятие может производить 24 изделия С.При этом сырье 2-го вида будет полностью использовано и , значит, вектор подлежит исключению из базиса.

Слайд 14


Составляем следующую таблицу. В ней разрешающей является вторая строка, а разрешающим столбцом –третий. На их пересечении стоит элемент 8. Разделим вторую строку на 8, а затем обнулим по методу Жордана- Гаусса или по формулам треугольника третий столбец.
Описание слайда:
Составляем следующую таблицу. В ней разрешающей является вторая строка, а разрешающим столбцом –третий. На их пересечении стоит элемент 8. Разделим вторую строку на 8, а затем обнулим по методу Жордана- Гаусса или по формулам треугольника третий столбец.

Слайд 15


Прямая и двойственная задачи и их решение симплекс-методом, слайд №15
Описание слайда:

Слайд 16


Подсчитаем симплекс-разности и заполним 4-ю строку таблицы. При данном плане производства изготовляется 24 изделия С и остается неиспользованным 72 кг сырья 1-го и 108 кг сырья 3-го вида. 2-й вид сырья использован полностью. Стоимость всей продукции при этом плане составляет 384 д.е. Указанные числа записаны в столбце План. Это опять параметры задачи, но они претерпели изменения. Изменились и данные других столбцов. Их экономическое содержание стало еще более сложным .
Описание слайда:
Подсчитаем симплекс-разности и заполним 4-ю строку таблицы. При данном плане производства изготовляется 24 изделия С и остается неиспользованным 72 кг сырья 1-го и 108 кг сырья 3-го вида. 2-й вид сырья использован полностью. Стоимость всей продукции при этом плане составляет 384 д.е. Указанные числа записаны в столбце План. Это опять параметры задачи, но они претерпели изменения. Изменились и данные других столбцов. Их экономическое содержание стало еще более сложным .

Слайд 17


Имеется одна отрицательная оценка -2. План можно улучшить. Введем в базис вектор . Вычислим Выводим из базиса .
Описание слайда:
Имеется одна отрицательная оценка -2. План можно улучшить. Введем в базис вектор . Вычислим Выводим из базиса .

Слайд 18


Разрешающими будут 1-я строка и 2-й столбец. Разрешающий элемент 9. Разделим на 9 1-ю строку , заполним 1-ю строку новой таблицы, затем обнулим 2-й столбец. Для этого умножим 1-ю строку на (-1/2) и прибавим ко 2-й, а затем умножим 1-ю строку на (-3/2) и прибавим к 3-й строке. Заполним таблицу 2.
Описание слайда:
Разрешающими будут 1-я строка и 2-й столбец. Разрешающий элемент 9. Разделим на 9 1-ю строку , заполним 1-ю строку новой таблицы, затем обнулим 2-й столбец. Для этого умножим 1-ю строку на (-1/2) и прибавим ко 2-й, а затем умножим 1-ю строку на (-3/2) и прибавим к 3-й строке. Заполним таблицу 2.

Слайд 19


Прямая и двойственная задачи и их решение симплекс-методом, слайд №19
Описание слайда:

Слайд 20


В этом мы убеждаемся , вычисляя симплекс-разности
Описание слайда:
В этом мы убеждаемся , вычисляя симплекс-разности

Слайд 21


Оптимальным планом производства не предусмотрен выпуск изделий А. Введение в план выпуска продукции вида А привело бы к уменьшению указанной общей стоимости . Это видно из 4-й строки столбца , где число 5 показывает, что при данном плане включение в него выпуска единицы изделия А приводит лишь к уменьшению общей величины стоимости на 5 д.е. Итак, план предусматривает выпуск 8 изделий В и 20 изделий С. Сырье видов 1 и 2 используется целиком, а вида 3-неиспользованным остается 96 кг.
Описание слайда:
Оптимальным планом производства не предусмотрен выпуск изделий А. Введение в план выпуска продукции вида А привело бы к уменьшению указанной общей стоимости . Это видно из 4-й строки столбца , где число 5 показывает, что при данном плане включение в него выпуска единицы изделия А приводит лишь к уменьшению общей величины стоимости на 5 д.е. Итак, план предусматривает выпуск 8 изделий В и 20 изделий С. Сырье видов 1 и 2 используется целиком, а вида 3-неиспользованным остается 96 кг.

Слайд 22


ДВОЙСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ Каждой ЗЛП можно поставить в соответствие задачу, называемую двойственной к исходной задаче. Рассмотрим задачу об использовании ресурсов. Предположим, что предприятие А производит n видов продукции, величина выпуска которых определяется переменными . В производстве используются m различных видов ресурсов, объем которых ограничен величинами .
Описание слайда:
ДВОЙСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ Каждой ЗЛП можно поставить в соответствие задачу, называемую двойственной к исходной задаче. Рассмотрим задачу об использовании ресурсов. Предположим, что предприятие А производит n видов продукции, величина выпуска которых определяется переменными . В производстве используются m различных видов ресурсов, объем которых ограничен величинами .

Слайд 23


Известны нормы затрат каждого ресурса на единицу каждого вида продукции, образующие матрицу , а также стоимость единицы продукции каждого вида Требуется организовать производство так, чтобы предприятию А была обеспечена максимальная прибыль.
Описание слайда:
Известны нормы затрат каждого ресурса на единицу каждого вида продукции, образующие матрицу , а также стоимость единицы продукции каждого вида Требуется организовать производство так, чтобы предприятию А была обеспечена максимальная прибыль.

Слайд 24


Задача сводится к нахождению неотрицательных переменных , при которых расход ресурсов не превышает заданного их количества, а стоимость всей продукции достигнет максимума.
Описание слайда:
Задача сводится к нахождению неотрицательных переменных , при которых расход ресурсов не превышает заданного их количества, а стоимость всей продукции достигнет максимума.

Слайд 25


В математической форме задача записывается следующем виде: при условиях
Описание слайда:
В математической форме задача записывается следующем виде: при условиях

Слайд 26


По этим же исходным данным может быть сформулирована другая задача. Предположим, что предприятие В решило закупить все ресурсы, которыми располагает предприятие А. В этом случае предприятию В необходимо установить оптимальные цены на эти ресурсы, исходя из следующих условий: общая стоимость ресурсов для предприятия В должна быть минимальной; за каждый вид ресурса предприятию А надо уплатить не менее той суммы, которую это предприятие может получить при переработке данного вида ресурса в готовую продукцию.
Описание слайда:
По этим же исходным данным может быть сформулирована другая задача. Предположим, что предприятие В решило закупить все ресурсы, которыми располагает предприятие А. В этом случае предприятию В необходимо установить оптимальные цены на эти ресурсы, исходя из следующих условий: общая стоимость ресурсов для предприятия В должна быть минимальной; за каждый вид ресурса предприятию А надо уплатить не менее той суммы, которую это предприятие может получить при переработке данного вида ресурса в готовую продукцию.

Слайд 27


Если обозначить через цены, по которым предприятие В покупает ресурсы у предприятия А, то задача сводится к следующему: найти такие значения переменных , при которых стоимость ресурсов, расходуемых на единицу любого вида продукции не меньше прибыли (цены) за эту единицу продукции, а общая стоимость ресурсов достигает минимума,
Описание слайда:
Если обозначить через цены, по которым предприятие В покупает ресурсы у предприятия А, то задача сводится к следующему: найти такие значения переменных , при которых стоимость ресурсов, расходуемых на единицу любого вида продукции не меньше прибыли (цены) за эту единицу продукции, а общая стоимость ресурсов достигает минимума,

Слайд 28


т.е.какова должна быть оценка единицы каждого из ресурсов , чтобы при заданных объемах имеющихся ресурсов , при заданных стоимостях единицы продукции и нормах расходов минимизировать общую оценку затрат на всю продукцию. т.е.какова должна быть оценка единицы каждого из ресурсов , чтобы при заданных объемах имеющихся ресурсов , при заданных стоимостях единицы продукции и нормах расходов минимизировать общую оценку затрат на всю продукцию.
Описание слайда:
т.е.какова должна быть оценка единицы каждого из ресурсов , чтобы при заданных объемах имеющихся ресурсов , при заданных стоимостях единицы продукции и нормах расходов минимизировать общую оценку затрат на всю продукцию. т.е.какова должна быть оценка единицы каждого из ресурсов , чтобы при заданных объемах имеющихся ресурсов , при заданных стоимостях единицы продукции и нормах расходов минимизировать общую оценку затрат на всю продукцию.

Слайд 29


Мат. модель двойственной задачи В математической форме задача записывается в виде: при ограничениях
Описание слайда:
Мат. модель двойственной задачи В математической форме задача записывается в виде: при ограничениях

Слайд 30


Экономический смысл переменных двойственной задачи Переменные двойственной задачи в литературе могут иметь различные названия :учетные, неявные, теневые, объективно обусловленные оценки, двойственные оценки или «цены» ресурсов. Эти две задачи образуют пару взаимно двойственных задач, любая из которых может рассматриваться как исходная. Решение одной задачи дает оптимальный план производства продукции, а решение другой – оптимальную систему оценок сырья, используемого для производства этой продукции.
Описание слайда:
Экономический смысл переменных двойственной задачи Переменные двойственной задачи в литературе могут иметь различные названия :учетные, неявные, теневые, объективно обусловленные оценки, двойственные оценки или «цены» ресурсов. Эти две задачи образуют пару взаимно двойственных задач, любая из которых может рассматриваться как исходная. Решение одной задачи дает оптимальный план производства продукции, а решение другой – оптимальную систему оценок сырья, используемого для производства этой продукции.

Слайд 31


Двойственные задачи линейного программирования называют симметричными, если они удовлетворяют следующим свойствам: число переменных в двойственной задаче равно числу ограничений исходной задачи, а число ограничений двойственной задачи равно числу равно числу переменных в исходной; в одной задаче ищется максимум целевой функции, в другой – минимум; коэффициенты при переменных в целевой функции одной задачи являются свободными членами системы ограничений другой задачи;
Описание слайда:
Двойственные задачи линейного программирования называют симметричными, если они удовлетворяют следующим свойствам: число переменных в двойственной задаче равно числу ограничений исходной задачи, а число ограничений двойственной задачи равно числу равно числу переменных в исходной; в одной задаче ищется максимум целевой функции, в другой – минимум; коэффициенты при переменных в целевой функции одной задачи являются свободными членами системы ограничений другой задачи;

Слайд 32


в каждой задаче система ограничений задается в виде неравенств, причем, в задаче на отыскание максимума, все неравенства вида «≤», а в задаче на отыскание минимума, все неравенства вида «≥»; матрица коэффициентов системы ограничений получается одна из другой путем транспонирования; каждому ограничению одной задачи соответствует переменная другой задачи, номер переменной совпадает с номером ограничения; условия не отрицательности переменных сохраняются в обеих задачах;
Описание слайда:
в каждой задаче система ограничений задается в виде неравенств, причем, в задаче на отыскание максимума, все неравенства вида «≤», а в задаче на отыскание минимума, все неравенства вида «≥»; матрица коэффициентов системы ограничений получается одна из другой путем транспонирования; каждому ограничению одной задачи соответствует переменная другой задачи, номер переменной совпадает с номером ограничения; условия не отрицательности переменных сохраняются в обеих задачах;

Слайд 33


Решение симметричных двойственных задач Первая теорема двойственности. Если одна из двойственных задач имеет оптимальное решение, то оптимальное решение имеет и другая задача, при этом значения целевых функций задач равны между собой. Если целевая функция одной из задач не ограничена, то другая задача вообще не имеет решения
Описание слайда:
Решение симметричных двойственных задач Первая теорема двойственности. Если одна из двойственных задач имеет оптимальное решение, то оптимальное решение имеет и другая задача, при этом значения целевых функций задач равны между собой. Если целевая функция одной из задач не ограничена, то другая задача вообще не имеет решения

Слайд 34


Экономическое содержание первой теоремы двойственности Если задача определения оптимального плана , максимизирующего выпуск продукции, разрешима, то разрешима и задача определения оценок ресурсов. Причем цена продукта, полученного в результате реализации оптимального плана , совпадает с суммарной оценкой ресурсов. Совпадения значений целевых функций для соответствующих решений пары двойственных задач достаточно для того, чтобы эти решения были оптимальными. Решая ЗЛП симплекс-методом, мы одновременно решаем и исходную и двойственную задачи.
Описание слайда:
Экономическое содержание первой теоремы двойственности Если задача определения оптимального плана , максимизирующего выпуск продукции, разрешима, то разрешима и задача определения оценок ресурсов. Причем цена продукта, полученного в результате реализации оптимального плана , совпадает с суммарной оценкой ресурсов. Совпадения значений целевых функций для соответствующих решений пары двойственных задач достаточно для того, чтобы эти решения были оптимальными. Решая ЗЛП симплекс-методом, мы одновременно решаем и исходную и двойственную задачи.

Слайд 35


Метод одновременного решения пары двойственных задач Исходная задача: Двойственная задача:
Описание слайда:
Метод одновременного решения пары двойственных задач Исходная задача: Двойственная задача:

Слайд 36


Число переменных в задачах одинаково и равно m + n. В исходной задаче базисными переменными являются вспомогательные неотрицательные переменные , а в двойственной задаче – вспомогательные неотрицательные переменные . Базисным переменным одной задачи соответствуют свободные переменные другой задачи, и наоборот.
Описание слайда:
Число переменных в задачах одинаково и равно m + n. В исходной задаче базисными переменными являются вспомогательные неотрицательные переменные , а в двойственной задаче – вспомогательные неотрицательные переменные . Базисным переменным одной задачи соответствуют свободные переменные другой задачи, и наоборот.

Слайд 37


Прямая и двойственная задачи и их решение симплекс-методом, слайд №37
Описание слайда:

Слайд 38


При решении ЗЛП табличным симплекс-методом решение двойственной задачи содержится в последней строке таблицы. Это . Причем основные переменные двойственной задачи содержатся в столбцах, соответствующих дополнительным переменным исходной задачи, а дополнительные переменные двойственной задачи содержатся в столбцах, соответствующих основным (первоначальным ) переменным исходной задачи.
Описание слайда:
При решении ЗЛП табличным симплекс-методом решение двойственной задачи содержится в последней строке таблицы. Это . Причем основные переменные двойственной задачи содержатся в столбцах, соответствующих дополнительным переменным исходной задачи, а дополнительные переменные двойственной задачи содержатся в столбцах, соответствующих основным (первоначальным ) переменным исходной задачи.

Слайд 39


Пример. Сформулируем модель задачи, двойственной к задаче из примера 2 (начало лекции): Найти максимум функции
Описание слайда:
Пример. Сформулируем модель задачи, двойственной к задаче из примера 2 (начало лекции): Найти максимум функции

Слайд 40


Прямая и двойственная задачи и их решение симплекс-методом, слайд №40
Описание слайда:

Слайд 41


Переменные исходной задачи - это количество изделий А,В и С. Введем переменные двойственной задачи Найти минимум функции при ограничениях
Описание слайда:
Переменные исходной задачи - это количество изделий А,В и С. Введем переменные двойственной задачи Найти минимум функции при ограничениях

Слайд 42


Рассмотрим последнюю таблицу исходной задачи
Описание слайда:
Рассмотрим последнюю таблицу исходной задачи

Слайд 43


Значение в последней строке столбца , т.е. ; значение в последней строке столбца , значение в последней строке столбца . Остальные значения находим в столбцах 1,2,3. При этом -это минимальные затраты на всю продукцию. 2/9 и 5/3 –это теневые цены сырья 1-го и 2-го видов соответственно.
Описание слайда:
Значение в последней строке столбца , т.е. ; значение в последней строке столбца , значение в последней строке столбца . Остальные значения находим в столбцах 1,2,3. При этом -это минимальные затраты на всю продукцию. 2/9 и 5/3 –это теневые цены сырья 1-го и 2-го видов соответственно.

Скачать

Похожие презентации
Mypresentation.ru
Загрузить презентацию