🗊Презентация Пряма на площині. Площина. Пряма в просторі

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ Пряма на площині Площина Пряма в просторі

Аналітична геометрія - розділ геометрії, в якому найпростіші лінії і поверхні (прямі, площини, криві і поверхні другого порядку) досліджуються засобами алгебри. Лінією на площині називають геометричне місце точок M (x;y), координати яких задовольняють рівняння F (x, y) = 0, (1)    де F (x, y) - многочлен степені n. Поверхнею називають геометричне місце точок M (x;y;z), координати яких задовольняють рівняння F (x, y, z) = 0, (2)     де F (x, y, z) - поліном степені n. Лінією в просторі називають перетин двох поверхонь. Рівняння (1) і (2) називають загальними рівняннями лінії на площині і поверхні відповідно. Степінь многочлена F (x, y) (F (x, y, z)) називають порядком лінії (поверхні).

1. Пряма на площині 1.1 Загальне рівняння прямої на площині і його дослідження ЗАДАЧА 1. Написати рівняння прямої, що проходить через точку M0(x0;y0), перпендикулярно вектору

Висновки: Висновки: 1) Пряма на площині - лінія першого порядку. У загальному випадку вона задається рівнянням Ax+By+C = 0, де A,B,C – числа. 2) Коефіцієнти A і B не обертаються в нуль одночасно, так як з геометричної точки зору це координати вектору, перпендикулярного прямій. Вектор, перпендикулярний прямій, називають нормальним вектором цієї прямої.

Дослідження загального рівняння прямої якщо в рівнянні Ax+By+C = 0 всі коефіцієнти A,B і C відмінні від нуля, то рівняння називають повним; якщо принаймні один з коефіцієнтів дорівнює нулю –рівняння називають неповним. 1) нехай загальне рівняння прямої – повне. Тоді його можна написати у виді

2) нехай в загальному рівнянні прямої коефіцієнти A і B – ненульові, а C = 0, тобто рівняння прямої має вид 2) нехай в загальному рівнянні прямої коефіцієнти A і B – ненульові, а C = 0, тобто рівняння прямої має вид Ax+By = 0. Така пряма проходить через початок координат O(0;0).

3) нехай в загальному рівнянні прямої один з коефіцієнтів A або B – нульові, а C  0, тобто рівняння прямої має вид 3) нехай в загальному рівнянні прямої один з коефіцієнтів A або B – нульові, а C  0, тобто рівняння прямої має вид Ax+C = 0 або By+C = 0. Ці рівняння можна записати у виді x = a и y = b .

Зауваження. Нехай пряма ℓ не проходить через O(0;0). Зауваження. Нехай пряма ℓ не проходить через O(0;0).

1) Параметричне рівняння прямої ЗАДАЧА 2. Написати рівняння прямої, що проходить через точку M0(x0;y0), параллельно вектору

2) Канонічне рівняння прямої на площині 2) Канонічне рівняння прямої на площині

4) Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом Нехай пряма ℓ не паралельна осі Ox. Тоді вона перетинається з Ox, утворюючи при цьому дві пари вертикальних кутів. 4) Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом Нехай пряма ℓ не паралельна осі Ox. Тоді вона перетинається з Ox, утворюючи при цьому дві пари вертикальних кутів.

Нехай пряма ℓ не паралельна осі Ox і Oy та проходить через точки M1(x1,y1) і M2(x2,y2) (де x1 < x2). Знайдем кутовий коефіцієнт цієї прямої. Нехай пряма ℓ не паралельна осі Ox і Oy та проходить через точки M1(x1,y1) і M2(x2,y2) (де x1 < x2). Знайдем кутовий коефіцієнт цієї прямої.

Рівняння y – y1 = k·(x – x1) – це рівняння прямої, що проходить через точку M1(x1,y1) і має кутовий коефіцієнт k. Рівняння y – y1 = k·(x – x1) – це рівняння прямої, що проходить через точку M1(x1,y1) і має кутовий коефіцієнт k. Перепишемо це рівняння у виді y = kx + b (де b = y1 – kx1). Його називають рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом. З геометричної точки зору b – відрізок, що відтинається прямою на осі Oy. Зауваження. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом було отримане у припущенні, що пряма не паралельна осі Ox і Oy. Для прямої, паралельної Ox загальне рівняння можна розглядати як рівняння з кутовим коефіцієнтом. Действительно, уравнение такой прямой y = b або y = 0·x + b, де k = 0 – кутовий коефіцієнт прямої.

3. Взаємне розташування прямих на площині На площині дві прямі можуть бути: а) паралельними, б) перетинаються. Нехай рівняння прямих ℓ1 і ℓ2 мають вид: ℓ1: A1x + B1y + C1 = 0 или y = k1x + b1 ℓ2: A2x + B2y + C2 = 0 или y = k2x + b2 1) Нехай прямі паралельні:

Отримуємо, що прямі ℓ1 і ℓ2 паралельні тоді і тільки тоді, коли в їх загальних рівняннях коефіцієнти при відповідних поточних координатах пропорціональні, тобто Отримуємо, що прямі ℓ1 і ℓ2 паралельні тоді і тільки тоді, коли в їх загальних рівняннях коефіцієнти при відповідних поточних координатах пропорціональні, тобто

4. Відстань від точки до прямої ЗАДАЧА 3. Нехай пряма ℓ задана загальним рівнянням Ax + By + C = 0 , M0(x0;y0) – точка, що не належить прямій ℓ. Знайти відстань точки M0 до прямої ℓ .

2. Площина 1. Загальне рівняння площини і його дослідження ЗАДАЧА 1. Записати рівняння, площини, що проходить через точку M0(x0;y0;z0), перпендикулярно вектору

ВИСНОВКИ: ВИСНОВКИ: 1) Площина це поверхня першого порядку. В загальному випадку вона задається рівнянням Ax+By+Cz+D=0, де A,B,C,D – числа. 2) Коефіцієнти A, B, C не перетворюються в ноль одночасно, оскільки з геометричної точки зору це координати вектора, перпендикулярного площині.

ДОСЛІДЖЕННЯ ЗАГАЛЬНОГО РІВНЯННЯ ПЛОЩИНИ Якщо в рівнянні Ax+By+Cz+D = 0 всі коефіцієнти A,B,C і D відмінні від нуля, то рівняння називають повним; якщо принаймні один із коефіцієнтів дорівнює нулю – неповним. 1) Нехай загальне рівняння площини – повне. Тоді його можна записати у виді

2) Нехай в загальному рівнянні площини коефіцієнти A, B і C – ненульові, а D = 0, тобто рівняння площини має вигляд 2) Нехай в загальному рівнянні площини коефіцієнти A, B і C – ненульові, а D = 0, тобто рівняння площини має вигляд Ax+By +Cz = 0. Така площина проходить через початок координат O(0;0;0).

а) площина відсікає на осях Ox і Oy відрізки a і b відповідно і паралельна осі Oz; а) площина відсікає на осях Ox і Oy відрізки a і b відповідно і паралельна осі Oz;

4) Нехай в рівнянні площини (2) два з трьох коефіцієнтів A, B або C – нульові, а D  0, тобто рівняння площини має вид: а) Ax+D = 0 або б) By+D = 0 або в) Cz+D = 0. 4) Нехай в рівнянні площини (2) два з трьох коефіцієнтів A, B або C – нульові, а D  0, тобто рівняння площини має вид: а) Ax+D = 0 або б) By+D = 0 або в) Cz+D = 0. Ці рівняння можна записати відповідно у виді:

б) площина відсікає на Oy відрізок b і паралельна осям Ox і Oz (тобто паралельна площині Oxz); б) площина відсікає на Oy відрізок b і паралельна осям Ox і Oz (тобто паралельна площині Oxz); в) площина відсікає на Oz відрізок c і паралельна осям Ox и Oy (тобто паралельна площині Oxy).

5) Нехай в загальному рівнянні площини (2) D = 0 і один із коефіцієнтів A, B або C теж нульовий, тобто рівняння площини має вид: 5) Нехай в загальному рівнянні площини (2) D = 0 і один із коефіцієнтів A, B або C теж нульовий, тобто рівняння площини має вид: а) Ax+By = 0 або б) Ax+Cz = 0 або в) By+Cz = 0. Площина проходить через початок координат і вісь відсутньої координати

6) Нехай в загальному рівнянні площини (2) три коефіцієнта дорівнюють нулю, тобто рівняння площини має вид: 6) Нехай в загальному рівнянні площини (2) три коефіцієнта дорівнюють нулю, тобто рівняння площини має вид: а) Ax = 0 або б) By = 0 або в) Cz = 0. Ці рівняння можна записати відповідно у виді: а) x = 0 – рівняння координатної площини Oyz; б) y = 0 – рівняння координатної площини Oxz, в) z = 0 – рівняння координатної площини Oxy.

Зауваження. Нехай площина λ не проходить через O(0;0;0). Зауваження. Нехай площина λ не проходить через O(0;0;0).

2. Інші форми запису рівняння площини 1) Рівняння площини, що проходить через точку паралельно двом неколінеарним векторам ЗАДАЧА 2. Записати рівняння площини, що проходить через точку M0(x0;y0;z0), паралельно неколінеарним векторам

2) Рівняння площини, що проходить через три точки, що не лежать на одній прямій – частинний випадок рівняння (4) 2) Рівняння площини, що проходить через три точки, що не лежать на одній прямій – частинний випадок рівняння (4) Нехай площина проходить через три точки M1(x1;y1;z1), M2(x2;y2;z2) і M3(x3;y3;z3), що не лежать на одній прямій.

3. Взаємне розташування площин У просторі дві площини можуть: а) бути паралельними, б) перетинатися. Нехай рівняння площин λ1 і λ2 мають вид: λ1: A1x + B1y + C1z + D1 = 0 λ2: A2x + B2y + C2z + D2 = 0 Тоді:

1) Нехай площини паралельні: 1) Нехай площини паралельні:

де знак плюс береться у тому випадку, коли необхідно знайти величину гострого кута, а знак мінус – коли необхідно знайти величину тупого кута. де знак плюс береться у тому випадку, коли необхідно знайти величину гострого кута, а знак мінус – коли необхідно знайти величину тупого кута.

Частинний випадок – площини перпендикулярні, тобто Частинний випадок – площини перпендикулярні, тобто

4. Відстань від точки до площини ЗАДАЧА 3. Нехай площина λ задана загальним рівнянням Ax + By + Cz + D = 0 , M0(x0;y0;z0) – точка, не належить площині λ . Знайти відстань від точки M0 до площини λ .

3. Пряма в просторі 1. Рівняння прямої у просторі Нехай A1x+B1y+C1z+D1=0 і A2x+B2y+C2z+D2=0 – рівняння довільних двох різних площин, що містять пряму ℓ . Тоді координати довільної точки прямої ℓ задовольняють одночасно обом рівнянням, тобто є розв'язками системи

Інші форми запису рівнянь прямої в просторі – ПАРАМЕТРИЧНІ І КАНОНІЧНІ рівняння. Інші форми запису рівнянь прямої в просторі – ПАРАМЕТРИЧНІ І КАНОНІЧНІ рівняння. ЗАДАЧА 1. Записати рівняння прямої в просторі, що проходить через точку M0(x0;y0;z0) , паралельно вектору

називають параметричними рівняннями прямої у просторі (у векторній і координатній формі відповідно). називають параметричними рівняннями прямої у просторі (у векторній і координатній формі відповідно).

Частинним випадком канонічних рівнянь є РІВНЯННЯ ПРЯМОЇ, ЩО ПРОХОДИТЬ ЧЕРЕЗ ДВІ ЗАДАНІ ТОЧКІ. Частинним випадком канонічних рівнянь є РІВНЯННЯ ПРЯМОЇ, ЩО ПРОХОДИТЬ ЧЕРЕЗ ДВІ ЗАДАНІ ТОЧКІ. Нехай пряма проходить через точки M1(x1,y1,z1) и M2(x2,y2 ,z2) .

2. Перехід від загальних рівнянь прямої до канонічних Нехай пряма ℓ задана загальними рівняннями:

3. Взаємне розташування прямих у просторі В просторі дві прямі можуть бути: а) паралельними, б) перетинатися, в) мимобіжними. Нехай прямі ℓ1 і ℓ2 задані канонічними рівняннями:

2) Нехай прямі ℓ1 і ℓ2 перетинаються: 2) Нехай прямі ℓ1 і ℓ2 перетинаються:

4. Взаємне розташування прямих у просторі 1) паралельні прямі  відстань між прямими (тобто, відстань від точки до прямої)? 2) прямі, що перетинаються  а) кут між прямими? б) точка перетину прямих? 3) мимобіжні прямі  а) кут між прямими? б) відстань між прямими?

ЗАДАЧА 2. Знайти кут між прямими, що перетинаються (мимобіжні) в просторі. ЗАДАЧА 2. Знайти кут між прямими, що перетинаються (мимобіжні) в просторі. ОЗНАЧЕННЯ. Кутом між двома мимобіжними прямими ℓ1 і ℓ2 називається кут між прямою ℓ1 і проекцією прямої ℓ2 на довільну площину, що проходить через пряму ℓ1 .

ЗАДАЧА 3. Знайти відстань від точки до прямої у просторі. ЗАДАЧА 3. Знайти відстань від точки до прямої у просторі.

ЗАДАЧА 4. Знайти відстань між двома мимобіжними прямими. ЗАДАЧА 4. Знайти відстань між двома мимобіжними прямими. ОЗНАЧЕННЯ. Відстанню між двома мимобіжними прямими називається довжина їх спільного перпендикуляра.

ЗАДАЧА 5. Знайти точку перетину прямих. ЗАДАЧА 5. Знайти точку перетину прямих. Нехай M0(x0;y0;z0) – точка перетину прямих. Тоді (x0;y0;z0) – розв'язок системи рівнянь

5. Взаємне розташування прямої і площини у просторі Нехай у просторі задані площина λ і пряма ℓ . Вони можуть бути: 1) паралельні; 2) пряма може лежать в площині; 3) пряма і площина можуть перетинатися в одній точці.

а) якщо пряма паралельна площині або пряма належить площині, то а) якщо пряма паралельна площині або пряма належить площині, то

Частинним випадком перетину прямої і площини в одній точці є перпендикулярність прямої і площини Частинним випадком перетину прямої і площини в одній точці є перпендикулярність прямої і площини

Означення. Кутом між прямою ℓ і площиною λ називається кут φ між прямою ℓ і її проекцією на площину λ . Означення. Кутом між прямою ℓ і площиною λ називається кут φ між прямою ℓ і її проекцією на площину λ . З означення випливає, що кут між прямою і площиною завжди гострий.