Решение нелинейных уравнений - презентация, доклад, проект скачать

Нажмите для полного просмотра!

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Решение нелинейных уравнений. Доклад-сообщение содержит 43 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Описание слайда:

Решение нелинейных уравнений

Слайд 2

Описание слайда:

Постановка задачи Пусть требуется решить уравнение Приближенно решить уравнение или вычислить корень с точностью - это значит найти число , такое что

Слайд 3

Описание слайда:

Локализация и отделение корня Локализация корней - необходимо определить количество, характер и расположение корней на числовой прямой Отделение корня - нужно указать отрезок , внутри которого лежит один и только один корень данного уравнения

Слайд 4

Описание слайда:

Локализация и отделение корня Теорема 1. Если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разного знака, то на этом отрезке существует хотя бы одна точка, в которой функция обращается в ноль. Теорема 2. Для того чтобы дифференцируемая на интервале функция возрастала (убывала), необходимо и достаточно, чтобы во всех его точках производная была неотрицательной (неположительной)

Слайд 5

Описание слайда:

Локализация и отделение корня

Слайд 6

Описание слайда:

Локализация и отделение корня непрерывная значит корень существует на значит функция монотонная, это обеспечивает единственность корня

Слайд 7

Описание слайда:

Схема изучения метода Ограничения Алгоритм Рисунок Правило остановки Скорость сходимости Достоинства и недостатки метода

Слайд 8

Описание слайда:

Метод половинного деления Ограничения Нет Алгоритм Строим последовательность вложенных отрезков содержащих корень , где Теорема 3. Для любой последовательности вложенных отрезков существует единственная точка, принадлежащая всем отрезкам этой последовательности

Слайд 9

Описание слайда:

Метод половинного деления

Слайд 10

Описание слайда:

Метод половинного деления Правило остановки Процесс деления продолжается до тех пор, пока длина отрезка не станем меньше Скорость сходимости Метод сходится со скоростью геометрической прогрессии со знаменателем Это довольно медленно

Слайд 11

Описание слайда:

Метод половинного деления Достоинства метода Метод очень прост Не имеет ограничений Легко программируется Недостатки метода Если есть проблемы с отделением корня и в отрезке их несколько, то не понятно к какому сходимся последовательность Метод не применим к корням четной кратности Не обобщается на системы уравнений

Слайд 12

Описание слайда:

Метод половинного деления

Слайд 13

Описание слайда:

Метод хорд Ограничения. Этот метод может быть использован только в том случае, если функция на отрезке не имеет точек перегиба, т.е. постоянна по знаку вторая производная Алгоритм. , если

Слайд 14

Описание слайда:

Метод хорд

Слайд 15

Описание слайда:

Метод хорд Алгоритм. , если Теорема 4. Если функция непрерывна и выпукла на отрезке, то уравнение имеет на отрезке единственный корень, и последовательность монотонно сходится к нему.

Слайд 16

Описание слайда:

Метод хорд

Слайд 17

Описание слайда:

Метод хорд При выборе нулевого приближения следует руководствоваться рисунком или следующим правилом:

Слайд 18

Описание слайда:

Метод хорд Правило остановки Если , то вычисления можно прекратить, когда выполнено условие В силу выпуклости функции можно утверждать, что

Слайд 19

Описание слайда:

Метод хорд Скорость сходимости Можно рассчитывать на его быструю сходимости только если функция близка к линейной Если на функцию не накладывать ограничений, то метод может проигрывать даже методу половинного деления

Слайд 20

Описание слайда:

Метод хорд Достоинства метода При определенных ограничениях имеет неплохую скорость сходимости Недостатки метода Ограничения на свойства функции Сходимость к корню с одной стороны Усложненное правило остановки

Слайд 21

Описание слайда:

Метод хорд

Слайд 22

Описание слайда:

Метод хорд

Слайд 23

Описание слайда:

Метод Ньютона Ограничения. Те же что и для метода хорд Алгоритм. Выберем далее

Слайд 24

Описание слайда:

Метод Ньютона

Слайд 25

Описание слайда:

Метод Ньютона Правило остановки То же что и для метода хорд Скорость сходимости. При выборе начального приближения из достаточно малой окрестности корня метод сходится квадратично, т.е. скорость сходимости велика. Для кратного корня скорость геометрической прогрессии

Слайд 26

Описание слайда:

Метод Ньютона Достоинства метода Высокая скорость сходимости Недостатки метода Ограничения на свойства функции Сходимость к корню с одной стороны Усложненное правило остановки

Слайд 27

Описание слайда:

Метод Ньютона

Слайд 28

Описание слайда:

Метод Ньютона

Слайд 29

Описание слайда:

Комбинированный метод Поскольку методы касательных и хорд дают приближения один с избытком, а другой с недостатком их часто используют совместно - комбинированный метод. В этом случае получаем систему вложенных отрезков содержащих корень уравнения.

Слайд 30

Описание слайда:

Комбинированный метод В этом случае можно использовать правило остановки, как в методе половинного деления При этом использование метода Ньютона позволяет повысить скорость сходимости метода хорд

Слайд 31

Описание слайда:

Комбинированный метод

Слайд 32

Описание слайда:

Комбинированный метод

Слайд 33

Описание слайда:

Метод итераций Ограничения. Метод итераций применяется при решении уравнений вида: Функция определенная на отрезке называется сжимающей, если существует такая положительная постоянная , что для любых выполняется неравенство

Слайд 34

Описание слайда:

Метод итераций Теорема 5. Если дифференцируема на отрезке, причем , то она является сжимающей на этом отрезке, и можно взять Теорема 6. Пусть функция является сжимающей на отрезке и переводит этот отрезок в себя, при всех . Тогда уравнение на этом отрезке имеет, и притом, единственное решение.

Слайд 35

Описание слайда:

Метод итераций Алгоритм Любое Далее

Слайд 36

Описание слайда:

Метод итераций

Слайд 37

Описание слайда:

Метод итераций

Слайд 38

Описание слайда:

Метод итераций Правило остановки Скорость сходимости Определяется значением

Слайд 39

Описание слайда:

Метод итераций Достоинства метода Не накапливается ошибка вычислений. Ухудшение очередного приближения отразится лишь на числе итераций При небольшом значении высокая скорость сходимости Недостатки метода Подбор сжимающей функции с небольшим значением Усложненное правило остановки

Слайд 40

Описание слайда:

Метод итераций Теорема 7. Пусть дана непрерывно дифференцируема на отрезке функция, причем , тогда для любого , функция является сжимающей на отрезке, причем при коэффициент сжатия принимает минимально возможное значение