Теоремы о функциях, непрерывных на отрезке - презентация, доклад, проект скачать

Нажмите для полного просмотра!

Теоремы о функциях, непрерывных на отрезке, слайд №1

Теоремы о функциях, непрерывных на отрезке, слайд №2

Теоремы о функциях, непрерывных на отрезке, слайд №3

Теоремы о функциях, непрерывных на отрезке, слайд №4

Теоремы о функциях, непрерывных на отрезке, слайд №5

Теоремы о функциях, непрерывных на отрезке, слайд №6

Теоремы о функциях, непрерывных на отрезке, слайд №7

Теоремы о функциях, непрерывных на отрезке, слайд №8

Теоремы о функциях, непрерывных на отрезке, слайд №9

Теоремы о функциях, непрерывных на отрезке, слайд №10

Теоремы о функциях, непрерывных на отрезке, слайд №11

Теоремы о функциях, непрерывных на отрезке, слайд №12

Теоремы о функциях, непрерывных на отрезке, слайд №13

Теоремы о функциях, непрерывных на отрезке, слайд №14

Теоремы о функциях, непрерывных на отрезке, слайд №15

Теоремы о функциях, непрерывных на отрезке, слайд №16

Теоремы о функциях, непрерывных на отрезке, слайд №17

Теоремы о функциях, непрерывных на отрезке, слайд №18

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Теоремы о функциях, непрерывных на отрезке. Доклад-сообщение содержит 18 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Описание слайда:

Лекция 2.5 Теоремы о функциях, непрерывных на отрезке О нулях непрерывной на отрезке функции О промежуточных значениях непрерывной на отрезке функции О непрерывности функции, обратной к непрерывной строго монотонной функции. Непрерывность элементарных функций.

Слайд 2

Описание слайда:

О нулях непрерывной на отрезке функции О нулях непрерывной на отрезке функции ТЕОРЕМА Если f(x)C[a, b] и принимает на концах отрезка значения разных знаков, то найдется хотя бы одна точка (a, b), такая что f() = 0.

Слайд 3

Описание слайда:

Доказательство. Доказательство. Пусть, для определенности, f(a) < 0, f (b) > 0. Разобьем отрезок [a, b] пополам. Если f((a+ b)/2)= 0 , то (a+ b)/2 =  и теорема доказана. Если f((a+ b)/2) ≠ 0, то обозначим [a1 , b1] ту половину отрезка [a, b] , для которой f(a1) < 0, f(b1) > 0. Разобьем отрезок [a1 , b1] пополам. Если f((a1+ b1)/2)= 0 , то (a1+ b1)/2 =  и теорема доказана. Если f((a1+ b1)/2) ≠ 0 , то обозначим [a2 , b2] ту половину отрезка [a1 , b1], для которой f(a2) < 0, f(b2) > 0. И так далее…

Слайд 4

Описание слайда:

Продолжая этот процесс, получим: Продолжая этот процесс, получим: либо через конечное число шагов найдется точка (a, b), такая что f()= 0; тогда справедливо утверждение теоремы; либо существует система вложенных отрезков [an , bn], по длине стремящихся к нулю (так как bn - an = (b – a)/2n  0 при n  ∞), таких что f(an) 0 n  N. Согласно принципу вложенных отрезков, существует единственная точка , принадлежащая всем отрезкам системы, причем Так как f(an) < 0, f(bn) > 0 n  N, то В силу непрерывности функции Следовательно, справедливо утверждение теоремы.

Слайд 5

Описание слайда:

О промежуточных значениях непрерывной на отрезке функции О промежуточных значениях непрерывной на отрезке функции ТЕОРЕМА Если f(x)C[a,b] и f(a)=A, f(b)=B, причем А , то для любого числа К, лежащего между А и В, найдется точка [a,b], такая что f() = К. Доказательство. Пусть А  . Если К=А, то утверждение верно для  = а; если К=В, то утверждение верно для  = b. Пусть А  К  . Рассмотрим функцию  (х) = f(x) - K. Эта функция непрерывна на [a, b] и принимает на концах отрезка значения разных знаков. Тогда, по теореме о нулях непрерывной функции, найдется точка (a, b), такая что  () = 0, т.е. f() = К.

Слайд 6

Описание слайда:

СЛЕДСТВИЕ. СЛЕДСТВИЕ. Если f(x)C[a, b], то множеством значений, принимаемых функцией на [a, b] , является отрезок [m, M], где

Слайд 7

Описание слайда:

Существование и непрерывность функции, обратной к непрерывной и строго монотонной функции. Понятия обратной функции и монотонной функции были введены в лекции 1.1. теперь сформулируем теорему о существовании и непрерывности обратной функции. ТЕОРЕМА. Если функция y = f(x) непрерывна и строго возрастает (убывает) на отрезке [a, b] , то на отрезке [f(a), f(b)] определена функция x = g(y), обратная к f(x), непрерывная и строго возрастающая (убывающая).

Слайд 8

Описание слайда:

Непрерывность элементарных функций. МНОГОЧЛЕНЫ И ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ. Любой многочлен степени n Pn(x) = anxn +…+a1x+a0 , an 0 является непрерывной на R функцией. Доказательство. Функция у = С = const – непрерывна на R, так как здесь приращение функции у = С – С = 0 при х. Функция у = х – непрерывна на R, так как здесь у = х  0 при х 0. Поэтому функция у =akхk , где k  N, непрерывна на R как произведение непрерывных функций. Так как многочлен Pn(x) есть сумма непрерывных функций вида akхk , то он непрерывен на R.

Слайд 9

Описание слайда:

Дробно-рациональная функция, Дробно-рациональная функция, то есть функция вида где Pn(x) – многочлен степени n, Qm(x) – многочлен степени m, непрерывна во всех точках, в которых ее знаменатель не обращается в ноль. Доказательство. Если Qm(x)  0, то из непрерывности многочленов Pn(x) и Qm(x) следует непрерывность функции f(x) в точке х, как частного непрерывных функций.

Слайд 10

Описание слайда:

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ И ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ И ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ. Функции у = sinx и y = cosx непрерывны на R. Доказательство. Пусть х – произвольная точка числовой оси. Рассмотрим приращение функции при переходе от х к x + х : у = sin(x+х) - sinx = 2 sin(х/2)cos(x+х/2). Так как sin(х/2)  х/2 , а cos(x+х/2) 1, то у х  и у при х , т.е. у = sinx – непрерывна в точке х. Аналогично доказывается непрерывность косинуса: у = cos(x+х) - cosx = - 2 sin(x + х/2)sin(х/2); у х  и у при х , т.е. у = cosx – непрерывна в точке х.

Слайд 11

Описание слайда:

Функция у = tgx непрерывна, если х ≠ π/2+πn; Функция у = tgx непрерывна, если х ≠ π/2+πn; Функция у = ctgx непрерывна, если х ≠ πn. Доказательство. Из непрерывности синуса и косинуса следует, что функция непрерывна, если cosx ≠ 0, то есть х ≠ π/2+πn; непрерывна, если sinx ≠ 0, то есть х ≠ πn. Обратные тригонометрические функции у = arcsinx, y = arccosx, y = arctgx, y = arcctgx непрерывны в своей области определения. Доказательство. у = arcsinx , х[-1,1] – обратная к у = sinx , х[-/2,/2] y = arccosx, х[-1,1] – обратная к y = cosx, х[0,] y = arctgx, хR - обратная к y = tgx , х(-/2,/2) y = arcctgx, хR - обратная к y = ctgx , х(0,) Эти функции непрерывны в своей области определения как обратные к непрерывным функциям.

Слайд 12

Описание слайда:

ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ. ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ. Показательная функция у = ах, где 0 а  1 или а 1, непрерывна на R. Доказательство. При доказательстве сформулированного утверждения мы воспользуемся неравенством, справедливым для показательной функции : ах -1 С(а)х  при х. Пусть х – произвольная точка числовой оси. Рассмотрим приращение функции при переходе от х к x + х : у = ах+х – ах = ах (ах – 1). у ахС(а)х  при х  . Отсюда и у   при х  , т.е. у = ах – непрерывна в точке х.

Слайд 13

Описание слайда:

Логарифмическая функция y = logax, где 0  а  1 или а 1, непрерывна на полуоси х > 0. Логарифмическая функция y = logax, где 0  а  1 или а 1, непрерывна на полуоси х > 0. Доказательство. Логарифмическая функция y = logax непрерывна в своей области определения как обратная к непрерывной функции у = ах.

Слайд 14

Описание слайда:

ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ. ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.

Слайд 15

Описание слайда:

СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ. СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ. Степенная функция у = х,   R, определенная для всех х  , непрерывна при всех х  . Доказательство. Из определения логарифма имеем х = elnx, следовательно у = х= elnx, т.е. степенная функция – композиция показательной и логарифмической функции, умноженной на константу. Показательная и логарифмическая функции непрерывны при х  , следовательно, степенная функция также непрерывна, по теореме о непрерывности сложной функции.

Слайд 16

Описание слайда:

ЗАМЕЧАНИЕ. ЗАМЕЧАНИЕ. При рассмотрении степенной функции предполагалось, что х  , так как при х   выражение х имеет смысл не для всех  в области действительных чисел. Однако, если  – рационально и выражение х имеет смысл при х  , то функция у = х при    будет непрерывна на всей числовой прямой, а при    – на всей действительной оси, кроме точки х = 0. ПОКАЗАТЕЛЬНО-СТЕПЕННАЯ ФУНКЦИЯ. Пусть функции u(x) и v(x) определены на промежутке (a, b), причем u(x) > 0 на (a, b). Тогда функцию, определяемую формулой y = (u(x))v(x) = e v(x) ln u(x) , называют показательно-степенной. Если функции u(x) и v(x) непрерывны на промежутке (a, b), то функция (u(x))v(x) непрерывна на (a, b) как суперпозиция непрерывных функций et и t = v(x) ln u(x).

Слайд 17

Описание слайда:

КЛАСС ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ. КЛАСС ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ. Класс функций, состоящий из многочленов, показательных функций, логарифмических функций, тригонометрических функций и обратных тригонометрических функций, а также функций, получающихся из перечисленных выше с помощью конечного числа арифметических операций или путем суперпозиции этих функций, называется классом элементарных функций, а каждая функция этого класса – элементарной функцией. Все элементарные функции непрерывны в каждой точке своей области определения.