🗊Презентация Иррациональные уравнения

Иррациональные уравнения. Я бы почувствовал настоящее удовлетворение лишь в том случае, если бы смог передать ученику гибкость ума, которая дала бы ему в дальнейшем возможность самостоятельно решать задачи. У.У. Сойер.

План 1) Понятие иррациональных уравнений. 2) Методы решения иррациональных уравнений. 3) Решение иррациональных уравнений.

Определение Иррациональным уравнением называют уравнение, в котором неизвестная величина содержится под знаком радикала.

Приёмы решения иррациональных уравнений. Решение иррационального уравнения основано на преобразовании его к рациональному уравнению. Это достигается возведением обеих его частей в одну и ту же степень (иногда несколько раз). При этом если обе части уравнения возвести в нечётную степень, то получим уравнение, равносильное данному. Уравнения, имеющие одни и те же корни, называют равносильными.

В процессе решения заданное уравнение заменяют более простым, при этом используя следующие правила преобразований уравнения в равносильное: - перенос слагаемых из одной части равенства в другую с противоположным знаком; - обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же, отличное от нуля число; - уравнение можно заменить В процессе решения заданное уравнение заменяют более простым, при этом используя следующие правила преобразований уравнения в равносильное: - перенос слагаемых из одной части равенства в другую с противоположным знаком; - обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же, отличное от нуля число; - уравнение можно заменить равносильной системой или решить f(x)=0, а затем отбросить те корни, которые обращают в 0 знаменатель.

Степень чётная: При возведении обеих частей иррационального уравнения в чётную степень получается уравнение, являющееся следствием исходного. Уравнению-следствию удовлетворяют все корни исходного уравнения, но могут появиться и корни, которые не являются корнями исходного уравнения, так называемые посторонние корни. Поэтому все найденные корни уравнения-следствия проверяют подстановкой в исходное уравнение и посторонние корни отбрасывают.

К появлению посторонних корней могут привести (не обязательно приводят) следующие преобразования: - возведение в квадрат (или четную степень) обеих частей уравнения; - умножение обеих частей уравнения на алгебраическое выражение, содержащее переменную. К появлению посторонних корней могут привести (не обязательно приводят) следующие преобразования: - возведение в квадрат (или четную степень) обеих частей уравнения; - умножение обеих частей уравнения на алгебраическое выражение, содержащее переменную.

Правила равносильного перехода для простейших иррациональных уравнений 1) если a>0, то (здесь проверять область допустимых значений не надо); 2) если ; 3) если квадратный корень равен нулю, то и подкоренное выражение равно нулю: Уравнение вида решаются по аналогичным правилам. 4)

Пример 1. Решить уравнение: Подставив полученные корни в исходное уравнение, видим, что они удовлетворяют ему. Ответ: -4; 4.

Пример 2.

Уравнение вида: Уравнение вида: Способ решения: . Пример 3. Решить уравнение: Решение. Ответ: 3

Рассмотрим уравнение Рассмотрим уравнение Из двух систем решают ту, которая решается проще. Пример 4. Решить уравнение: Ответ: -7.

Пример 5. Решить уравнение: . Решение. Подкоренные выражения не должны быть отрицательными: Полученная система неравенств решений не имеет, не имеет их, таким образом, и исходное уравнение. Ответ: решений нет.

Линейные комбинации двух и более радикалов. Если уравнение содержит два и более радикала, то необходимо придерживаться следующих правил: 1. указать область допустимых значений уравнения; 2. распределить радикалы по обеим частям, чтобы обе части уравнения стали неотрицательными; 3. только после этого возводить в квадрат левую и правую части уравнения.

Пример 6. Решить уравнение: Решение. Ответ: 5.

Пример 7. Решить уравнение: . Решение. Ответ:

Использование замены переменных

Уравнение вида Уравнение вида Произведение равно 0, если хотя бы один из множителей равен 0, а второй при этом имеет смысл: Пример 9.

Степень нечётная: Решим уравнение:

Графический способ решения иррационального уравнения Графически решить уравнение .Построим в одной системе координат графики функций и . Графики пересекаются в одной точке при x  0,5. Ответ: 0,5.

Тест 1) Какие из уравнений не являются иррациональными? 2) Какие иррациональные уравнения не имеют корней? 3) Какие иррациональные уравнения необходимо решить с проверкой? 4) Какие уравнения имеют один корень?

Ключ к тесту

Ответы к самостоятельной работе Вариант 1. Вариант 2.