🗊Презентация Решение тригонометрических уравнений

Решение тригонометрических уравнений. Учитель математики Лукьянова Е.Ю. МБОУ «Школа №103»

Что будем изучать: 1. Что такое тригонометрические уравнения? 2. Простейшие тригонометрические уравнения. 3. Два основных метода решения тригонометрических уравнений. 4. Однородные тригонометрические уравнения. 5. Примеры.

Что такое тригонометрические уравнения? Ребята, мы с вами изучили уже арксинуса, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Теперь давайте посмотрим на тригонометрические уравнения в общем. Тригонометрические уравнения – уравнения в котором переменная содержится под знаком тригонометрической функции. Повторим вид решения простейших тригонометрических уравнений: 1)Если |а|≤ 1, то уравнение cos(x) = a имеет решение: x= ± arccos(a) + 2πk 2) Если |а|≤ 1, то уравнение sin(x) = a имеет решение: х=((-1)^n)arcsin(а)+ πn. 3) Если |а| > 1, то уравнение sin(x) = a и cos(x) = a не имеют решений 4) Уравнение tg(x)=a имеет решение: x=arctg(a)+ πk 5) Уравнение ctg(x)=a имеет решение: x=arcctg(a)+ πk Для всех формул k- целое число

Простейшие тригонометрические уравнения имеют вид: Т(kx+m)=a, T- какая либо тригонометрическая функция. Пример. Решить уравнения: а) sin(3x)= √3/2 Решение: а) Обозначим 3x=t, тогда наше уравнение перепишем в виде: sin(t)=1/2.  Решение этого уравнения будет: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn. Из таблицы значений получаем: t=((-1)^n)×π/3+ πn. Вернемся к нашей переменной: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn, тогда x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3 Ответ: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, где n-целое число. (-1)^n – минус один в степени n.

Решение тригонометрических уравнений сводится к двум задачам: 1.Решение уравнения 2.Отбор корней Задачи делятся на следующие категории: Уравнения, сводящиеся к разложению на множители. Уравнения, сводящиеся к виду соsx=a. sinx=a .tgx=a. Уравнения, решаемые заменой переменной. Уравнения, требующие дополнительного отбора корней из-за иррациональности или знаменателя.

Уравнения, сводящиеся к разложению на множители Формулы приведения Синус, косинус двойного угла sin(π2+x)=cosx sin2x=2sinxcosx

Решите уравнение sin2x=sin(π2+x) Най­ди­те все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку  [−7π/2,−5π/2]   Используем формулы приведения: sin(π2+x)=cosx Тогда уравнение примет вид: sin2x=cosx Дальше используем формулы синус двойного угла: sin2x=2sinxcosx Тогда уравнение примет следующую форму: 2sinxcosx=cosx

2sinxcosx−cosx=0 2sinxcosx−cosx=0 Разложили на множители cosx(2sinx−1)=0 Теперь решаем: cosx=0 или 2sinx=1 Первое уравнение имеет корни: x=​​​π|2 ​​+πn. А второе: x=(−1)^n π/6+πn Теперь нужно отобрать корни: Промежуток : [−7π/2,−5π/2]

Так как наш промежуток – целиком отрицательный, то нет нужды брать неотрицательные n, все равно они дадут неотрицательные корни. Вначале поработаем с первой серией: x=​​​π|2 ​​+πn. Возьмем: n=−1, тогда x=−​​​π/2​​ не принадлежит промежутку. Пусть n=−2, тогда x=−3π/2 не принадлежит промежутку.. Пусть  n=−3, тогда x=π/2−3π=−2,5π-первый корень который принадлежит промежутку . Пусть  n=−4, тогда x=π2−4π=−3,5π корень принадлежит промежутку . Пусть  n=−5,x=​2​​π​​−5π=−4,5π не принадлежит промежутку. Так что из первой серии промежутку [−3,5π;−2,5π] принадлежат 2 корня: −2,5π, −3,5π.

Работаем со второй серией -возводим (−1)в степень по правилу: (−1)нечетная степень=−1 (−1)четная степень=1 n=0, x=​6​​π​​ – не принадлежит промежутку. n=−1, x= −π6−π=−7π/6– не принадлежит промежутку. n=−2, x= π6−2π=−11π/6– не принадлежит промежутку. n=−3, x= −π6−3π=−19π/6​​ – корень принадлежит промежутку. n=−4, x=π6−4π=−23π/6​​ – не принадлежит промежутку. Таким образом, моему промежутку принадлежат вот такие корни: 2,5π, −3,5π, −19π/6

Решить уравнение:3tg x2 + 2tg x -1 = 0 Решение: Для решения нашего уравнения воспользуемся методом ввода новой переменной, обозначим: t=tg(x). В результате замены получим: 3t2 + 2t -1 = 0 Найдем корни квадратного уравнения: t=-1 и t=1/3 Тогда tg(x)=-1 и tg(x)=1/3, получили простейшее тригонометрическое уравнение, найдем его корни. x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk. Ответ: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Решить уравнение: 2sin2(x) + 3 cos(x) = 0 Воспользуемся тождеством: sin2(x) + cos2(x)=1 Наше уравнение примет вид: 2-2cos2(x) + 3 cos (x) = 0 2 cos2(x) - 3 cos(x) -2 = 0  введем замену t=cos(x): 2t2 -3t - 2 = 0 Решением нашего квадратного уравнения являются корни: t=2 и t=-1/2 Тогда cos(x)=2 и cos(x)=-1/2. Т.к. косинус не может принимать значения больше единицы, то cos(x)=2 не имеет корней. Для cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk Ответ: x= ±2π/3 + 2πk

Задачи для самостоятельного решения. Решить уравнения: sin(3x)= √3/2. И найти все корни на отрезке [π/2; π ]. Решить уравнение: ctg2(x) + 2ctg(x) + 1 =0 Решить уравнение: 3 sin 2(x) + √3sin (x) cos(x) = 0 Решить уравнение: 3sin2(3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos2(3x) =0 Решить уравнение:cos2(2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin2(2x)