🗊Презентация Исследование функции на монотонность и экстремумы

Тема: Исследование функции на монотонность и экстремумы. Монотонность функции Экстремумы функции Учитель математики КОР №1 Березина М.Г.

Исследование функции по графику По графику функции найдите: промежуткивозрастания и убывания функции; точки экстремума и экстремумы функции

Возрастание и убывание функции Опр. 1 Функция y=f(x), определяемая на интервале (a;b), называется возрастающей на этом интервале, если из неравенства x2>x1, где x2 и x1 – любые две точки из интервала, следует неравенство f(x2)>f(x1). Если обозначить Δx= x2-x1 и Δf= f(x2)-f(x1), то Δf ____ > 0 Δx

Опр. 2 Функция y=f(x), определяемая на интервале (a;b), называется убывающей на этом интервале, если из неравенства x2>x1, следует неравенство f(x2)<f(x1). Опр. 2 Функция y=f(x), определяемая на интервале (a;b), называется убывающей на этом интервале, если из неравенства x2>x1, следует неравенство f(x2)<f(x1). Заметим, что Δf ____ < 0 Δx

Теорема 1. (необходимое условие возрастания функции) Если дифференцируемая в интервале (a;b) функция y=f(x) возрастает, то ее производная не может быть отрицательной ни в одной точке этого интервала, т.е. f‘(x)≥0 для a<x<b. Доказательство: Пусть y=f(x) возрастает на (a;b), Тогда при Δx0, то т.к. ч.т.д.

Теорема 2. (Необходимое условие убывания функции) Если дифференцируемая в интервале (a;b) функция y=f(x) убывает, то ее производная не может быть положительной ни в одной точке этого интервала, т.е. f‘(x)≤ 0 для a <x<b.

Теорема 3. (Достаточное условие возрастания функции) Если непрерывная на [a;b] функция y=f(x) в каждой внутренней точке имеет положительную производную, то функция возрастает на [a;b] Доказательство: Пусть y=f'(x) для всех a <x<b. Рассмотрим x2>x1 из [a;b]. По теореме Лагранжа f(x2)-f(x1)=(x2-x1) f'(с), где x1≤с<x2, поэтому по условию f'(с)>0 и x2 -x1 >0 имеем f(x2)-f(x1)>0, т.е. из x2>x1 следует f(x2) >f(x1), т. е. функция возрастает, ч.т.д.

Теорема 4. (Достаточное условие убывания функции) Если непрерывная на [a;b] функция y=f(x) в каждой внутренней точке имеет отрицательную производную, то функция убывает на [a;b]. Пример 1. Найти интервал монотонности функции y=x3-3x. Решение. Находим область определения функции D(y)=R

Находим производную функции Находим производную функции y′=3x2-3 y′>0, если 3x2-3>0 при x(-;-1)  (1;+) y′<0 при x(-1;1) Ответ: функция возрастает на (-;-1] и на [1;+), функция убывает на [-1;1]

Точки экстремума и экстремумы функции Опр. 3 Точка x0 называется точкой максимума функции y=f(x), если существует такая -окрестность точки x0, что для всех x≠x0 из этой окрестности выполняется f(x)< f(x0)

Опр. 4 Точка x0 называется точкой минимума функции y=f(x), если существует число >0, что для всех х,удовлетворяющих условию 0<lx-x0l<, выполняется f(x)> f(x0) Опр. 4 Точка x0 называется точкой минимума функции y=f(x), если существует число >0, что для всех х,удовлетворяющих условию 0<lx-x0l<, выполняется f(x)> f(x0)

Точка максимума и точка минимума называются точками экстремума. Точка максимума и точка минимума называются точками экстремума. Значение функции в точках экстремума называется экстремумом функции, т.е. fmax=f(xmax) – максимум функции fmin=f(xmin) – минимум функции.

Теорема 5. (Необходимое условие экстремума) Если дифференциальная функция y=f(x) имеет экстремум в точке x0, то ее производная в этой точке равна 0, т.е. f′(x0) =0. Доказательство: Пусть x0 – точка максимума, тогда в окрестности точки x0 выполняется f(x0)>f(x), поэтому и По условию существует производная, которая равна Имеем: f’(x0)≤0 при Δx>0 и f’(x0)≥0 при Δx<0, следовательно f′(x0) =0, ч.т.д.

Теорема 6. (Достаточное условие экстремума) Если непрерывная функция y=f(x) дифференцируема в -окружности критической точки х0 и при переходе через нее (слева направо) f′(x) меняет знак, то х0 – точка экстремума, причем, если с «+» на «-», то х0 – точка максимума, с «-» на «+», то х0 – точка минимума. Доказательство: Рассмотрим -окр-сть точки х0. Пусть f′(x) >0 при любых х (х0 - ;х0) и f′(x)<0 при любых х(х0; х0 + ). Тогда функция f(x) возрастает на (х0 - ; х0) и убывает на (х0; х0 + ), следовательно f(x0) – наибольшее значение на (х0 - ; х0 + ), т.е. f(x) < f(x0) для х  (х0 - ; х0)  (х0; х0 + ), следовательно точка х0 – точка максимума функции, ч.т.д.

Пример 2. Найти экстремумы функции Решение. D(y)=R, . y′ =0 при х=8 и y′ не существует при х=0 Поставим эти точки на числовой прямой и расставим знаки производной. xmax=0, xmin=8 ymax=0, ymin=8/3-4=- 4/3 Ответ: уmin=-4/3; ymax=0