Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей

Нажмите для полного просмотра!

Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей, слайд №2

Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей, слайд №3

Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей, слайд №4

Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей, слайд №5

Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей, слайд №6

Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей, слайд №7

Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей, слайд №8

Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей, слайд №9

Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей, слайд №10

Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей, слайд №11

Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей, слайд №12

Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей, слайд №13

Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей, слайд №14

Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей, слайд №15

Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей, слайд №16

Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей, слайд №17

Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей, слайд №18

Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей, слайд №19

Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей, слайд №20

Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей, слайд №21

Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей, слайд №22

Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей, слайд №23

Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей, слайд №24

Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей, слайд №25

Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей, слайд №26

Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей, слайд №27

Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей, слайд №28

Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей, слайд №29

Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей, слайд №30

Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей, слайд №31

Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей, слайд №32

Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей, слайд №33

Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей, слайд №34

Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей, слайд №35

Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей, слайд №36

Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей, слайд №37

Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей, слайд №38

Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей, слайд №39

Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей, слайд №40

Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей, слайд №41

Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей, слайд №42

Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей, слайд №43

Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей, слайд №44

Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей, слайд №45

Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей, слайд №46

Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей, слайд №47

Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей, слайд №48

Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей, слайд №49

Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей, слайд №50

Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей, слайд №51

Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей, слайд №52

Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей, слайд №53

Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей, слайд №54

Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей, слайд №55

Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей, слайд №56

Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей, слайд №57

Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей, слайд №58

Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей, слайд №59

Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей, слайд №60

Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей, слайд №61

Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей, слайд №62

Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей, слайд №63

Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей, слайд №64

Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей, слайд №65

Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей, слайд №66

Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей, слайд №67

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Доклад-сообщение содержит 67 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Описание слайда:

Дисциплина: Математика Лектор: Ахкамова Юлия Абдулловна доцент кафедры математики и методики обучения математике ЮУрГГПУ akhkamovayua@cspu.ru

Слайд 2

Описание слайда:

ЛЕКЦИЯ № 2 Основные формулы комбинаторики. Классическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей. .

Слайд 3

Описание слайда:

ВОПРОСЫ ЛЕКЦИИ: 1. Правило сложения и правило произведения комбинаторики. 2. Основные формулы комбинаторики (перестановки, размещения, сочетания) Примеры решения задач .

Слайд 4

Описание слайда:

ВОПРОСЫ ЛЕКЦИИ: 3.Теоремы сложения вероятностей. 4.Условная вероятность. Теоремы умножения вероятностей.

Слайд 5

Описание слайда:

ЛИТЕРАТУРА Шолохович Ф.А. Высшая математика в кратком изложении. Баврин И.И. Высшая математика. Данко П.Е., Попов А.Г и др. Высшая математика в упражнениях и задачах, часть II.

Слайд 6

Описание слайда:

ЛИТЕРАТУРА Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика, Высшее образование, 2009.

Слайд 7

Описание слайда:

ЛИТЕРАТУРА Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. М.: Высшее образование. 2007.

Слайд 8

Описание слайда:

Основные понятия комбинаторики Пусть задана некоторая конечная совокупность различных элементов, которую будем называть генеральной совокупностью. Любой конечный набор, даже повторяющихся, элементов генеральной совокупности будем называть выборкой. Количество элементов, составляющих выборку, назовем ее объемом.

Слайд 9

Описание слайда:

Задачами поиска количества (числа) всех выборок заданного объема, составленных из элементов данной генеральной совокупности, удовлетворяющих определенным условиям, занимается раздел дискретной математики - комбинаторика.

Слайд 10

Описание слайда:

Учебный вопрос. Правила сложения и произведения комбинаторики.

Слайд 11

Описание слайда:

Определение. Событием называется всякий факт, который может произойти или не произойти в результате опыта. При этом тот или иной результат опыта может быть получен с различной степенью возможности. То есть в некоторых случаях можно сказать, что одно событие произойдет практически наверняка, другое практически никогда.

Слайд 12

Описание слайда:

Слайд 13

Описание слайда:

Задача 1. На завтрак в буфете Вова может выбрать плюшку, бутерброд, пряник или кекс, а запить может чаем, соком, ряженкой. Из скольки вариантов завтрака может Вова выбирать?

Слайд 14

Описание слайда:

Ответ к задаче 1.

Слайд 15

Описание слайда:

В зависимости от условий, которым подчиняются элементы выборки, обычно рассматриваются два способа выбора элементов: с повторением, без повторения.

Слайд 16

Описание слайда:

Выборка элементов множества называется упорядоченной выборкой, если учитывается не только состав выборки, но и порядок следования ее элементов. В противном случае выборка считается неупорядоченной.

Слайд 17

Описание слайда:

На практике не всегда возможно и удобно выписывать все выборки, чтобы определить их число, поэтому запишем формулы, позволяющие определять число различных выборок элементов множества.

Слайд 18

Описание слайда:

УЧЕБНЫЙ ВОПРОС. Основные формулы комбинаторики (перестановки, размещения, сочетания)

Слайд 19

Описание слайда:

Введем обозначение:

Слайд 20

Описание слайда:

Пусть задано множество, состоящее из n элементов. Размещения. Всякая упорядоченная выборка без возвращений, состоящая из k элементов множества, называется размещением без повторений из n элементов по k. Число размещений вычисляется по формуле

Слайд 21

Описание слайда:

Задание

Слайд 22

Описание слайда:

Ответ к заданию Вычислим число размещений б)в)

Слайд 23

Описание слайда:

Задача 2. Собрание по важному вопросу избрало комиссию, в состав вошли 8 человек. Члены счетной комиссии должны распределить обязанности председателя, заместителя и секретаря. Сколькими способами можно распределить обязанности?

Слайд 24

Описание слайда:

Ответ к задаче 2. Собрание по важному вопросу избрало комиссию, в состав вошли 8 человек.Члены счетной комиссии должны распределить обязанности председателя, заместителя и секретаря. Сколькими способами можно распределить обязанности? По правилу произведения или по формуле

Слайд 25

Описание слайда:

Размещения с повторениями Всякая упорядоченная с возвращением выборка, состоящая из k элементов множества, причем каждый элемент множества может повториться в выборке до k раз, называется размещением с повторением из n элементов по k. Число всех размещений с повторениями

Слайд 26

Описание слайда:

Задача 3 В коридоре висят три лампочки, каждая независимо от другой может быть включена или выключена. Сколько имеется различных способов освещения (и неосвещения) коридора?

Слайд 27

Описание слайда:

Ответ к задаче 3 В коридоре висят три лампочки, каждая независимо от другой может быть включена или выключена. Сколько имеется различных способов освещения (и неосвещения) коридора? Решение ---,+++,+--,-+-,--+,++-,-++,+-+. Или по формуле

Слайд 28

Описание слайда:

Перестановки Размещения из n элементов по n называются перестановками из n элементов. Число перестановок из n элементов вычисляется по формуле

Слайд 29

Описание слайда:

Задача 4 Сколькими способами 4 человека могут разместиться на четырехместной скамейке?

Слайд 30

Описание слайда:

Ответ к задаче 4

Слайд 31

Описание слайда:

Слайд 32

Описание слайда:

Перестановки с повторениями Всякая упорядоченная с возвращением выборка, в которую 1-ый элемент множества входит k1 раз, 2-ой – k2 раз, n-ый – kn раз, называется перестановкой с повторением из n элементов. Число всех перестановок с повторениями при условии, что

Слайд 33

Описание слайда:

Задача 6 Сколько существует различных шестизначных чисел, в которых цифра «3» повторяется один раз, цифра «1»- два раза, цифра «5» – три раза?

Слайд 34

Описание слайда:

Ответ к задаче 6 Сколько существует различных шестизначных чисел, в которых цифра «3» повторяется один раз, цифра «1»- два раза, цифра «5» – три раза?

Слайд 35

Описание слайда:

Сочетания Всякая неупорядоченная без возвращения выборка, состоящая из k элементов множества, называется сочетанием из n элементов по k. Число сочетаний вычисляется по формуле

Слайд 36

Описание слайда:

Слайд 37

Описание слайда:

Слайд 38

Описание слайда:

Слайд 39

Описание слайда:

Сочетания с повторениями Всякая неупорядоченная с возвращениями выборка, состоящая из k элементов множества, называется сочетанием с повторением из n элементов по k. Число всех сочетаний с повторениями

Слайд 40

Описание слайда:

Задача 11. В кондитерской имеется 3 вида пирожных. Сколькими способами можно купить 9 пирожных?

Слайд 41

Описание слайда:

В кондитерской имеется 3 вида пирожных. Сколькими способами можно купить 9 пирожных?

Слайд 42

Описание слайда:

Вывод по формулам комбинаторики

Слайд 43

Описание слайда:

Выучить определения и формулы размещения, сочетания без повторений, с повторениями. Баврин И.И. Высшая математика,2007. С. 515-516. Шолохович Ф.А. Высшая математика в кратком изложении, 2003. С.220-221.

Слайд 44

Описание слайда:

Учебный вопрос. Теоремы сложения вероятностей.

Слайд 45

Описание слайда:

Суммой нескольких событий называется событие, состоящие в наступлении в результате испытания хотя бы одного из этих событий. Пусть А - идет дождь, а В - идет снег, то (А + В) - либо дождь, либо снег, либо дождь со снегом, т. е. осадки; Ω – пространство элементарных исходов испытания.

Слайд 46

Описание слайда:

Произведением нескольких событий называется событие, состоящие в совместном наступлении в результате испытания всех этих событий. Пусть события: А – «из колоды карт вынута дама», В – «из колоды карт вынута карта пиковой масти». Значит, А∙В означает «вынута дама пик».

Слайд 47

Описание слайда:

Противоположное событие (по отношению к рассматриваемому событию А) – это событие, которое происходит, если не происходит событие А.

Слайд 48

$Разностью событий А и В называется событие А\В, которое состоит в том, что происходит событие А, но не происходит событие В.$

Описание слайда:

Разностью событий А и В называется событие А\В, которое состоит в том, что происходит событие А, но не происходит событие В.

Слайд 49

Описание слайда:

Теорема 1 сложения вероятностей. Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий. Следствие. Если события образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице. Р(А1)+… + Р(Аn) = 1. В частности,

Слайд 50

Описание слайда:

Пример. Контрольная работа состоит из трех задач по алгебре и трех по геометрии. Вероятность правильно решить задачу по алгебре равна 0,8, а по геометрии - 0,6. Какова вероятность правильно решить все три задачи хотя бы по одному из предметов? Решение.

Слайд 51

Описание слайда:

Слайд 52

Описание слайда:

Теорема 2 сложения вероятностей. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления Расширенная теорема сложения Р(А+В+С)=Р(А)+Р(В)+Р(С)-Р(АВ)-Р(АС)-Р(ВС)-Р(АВС).

Слайд 53

Описание слайда:

Пример. Из 25 студентов группы 10 человек занимаются сноубордом, 5 – горными лыжами, 5 - сноубордом и горными лыжами, а остальные - другими видами спорта. Какова вероятность того, что наудачу выбранный спортсмен занимается только горными лыжами или только сноубордом? Решение.

Слайд 54

Описание слайда:

Обозначим через А событие – выбранный спортсмен занимается только горными лыжами; через В – выбранный спортсмен занимается только сноубордом. Тогда событие - наудачу выбранный спортсмен занимается только горными лыжами или только сноубордом можно записать как А + В. Так как события А и В совместны, то Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ). Найдем вероятности событий А, В и АВ. Итак, Р(А)=5/25=0,2; Р(В)=10/25=0,4; Р(АВ)=5/25=0,2 . Следовательно, Р(А+В)=0,2+0,4–0,2=0,4.

Слайд 55

Описание слайда:

Определение. Событие А называется независимым от события В, если вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет. Определение. Два события называются зависимыми, если появление одного из них изменяет вероятность появления другого.

Слайд 56

Описание слайда:

Учебный вопрос. Условная вероятность. Теоремы умножения вероятностей.

Слайд 57

Описание слайда:

Определение. Вероятность события В, вычисленная в предположении, что событие А произошло, называется условной вероятностью события В. Обозначается РА(В) или Р(В/А). По определению

Слайд 58

Описание слайда:

Теорема умножения вероятностей. Вероятность появления двух событий равна произведению вероятности наступления одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие произошло Р(АВ)=Р(А)∙Р(В/А) или Р(АВ)=Р(В)∙Р(А/В)

Слайд 59

Описание слайда:

В случае произведения нескольких зависимых событий вероятность равна произведению одного из них на условные вероятности всех остальных при условии, что все предыдущие события уже совершились Р(А1...Аn)=Р(А1)Р(А2/А1)Р(А3/А1А2)...Р(Аn/А1А2...Аn-1) Если события независимые, то теорема умножения вероятностей принимает вид: Р(АВ)=Р(А)∙Р(В)

Слайд 60

Описание слайда:

Пример. Из 25 билетов студент выучил 20. Какова вероятность того, что он вытянет счастливый билет, который знает, если он вытягивает билет: а) первым; б) вторым. Решение. а) Р= 20/25=4/5. б) обозначим события: А – первый студент вынул «счастливый» билет, В – второй студент вынул «счастливый» билет.

Слайд 61

Описание слайда:

Слайд 62

Описание слайда:

Вероятность появления хотя бы одного события Пусть А1,...,Аn – независимые события. Событие А – наступило хотя бы одно из Аi, А=А1+...+Аn. Если Аi несовместны, то Р(А)=Р(А1+...+Аn)=Р(А1)+...+Р(Аn). Если Аi совместны, то рассмотрим противоположное событие - ни одно из Аi не наступило, Тогда

Слайд 63

Описание слайда:

Пример. Пусть S — множество всех исходов при трехкратном бросании монеты. Обозначим через А событие «в первый раз выпал герб», через В событие «выпало не менее двух гербов». Найдите вероятности событий Р(А), Р(В) и Р(АВ), если все исходы бросаний равновероятны. Независимы ли эти события? Решение.

Слайд 64

Описание слайда:

Слайд 65

Описание слайда:

Пример. Два стрелка независимо друг от друга стреляют в цель. Вероятность попадания в цель первого стрелка 0,9, второго - 0,75. Какова вероятность того, что хотя бы один стрелок попадет в цель? Решение. Обозначим через Аi событие – i-ый стрелок попадет в цель; противоположное событие - i-ый стрелок не попадет в цель, i =1, 2. Тогда событие - хотя бы один стрелок попадет в цель