🗊Презентация Вневписанная окружность

Электронное пособие по теме : «Вневписанная окружность».

Содержание: 1. Определение вневписанной окружности. Основные теоремы и формулы. Определение вневписанной окружности. Центр вневписанной окружности. Касательная к вневписанной окружности. Радиус вневписанной окружности: Соотношение между радиусом вневписанной окружности и периметром треугольника. Соотношение между радиусом вневписанной окружности, площадью и периметром треугольника. Задачи : Задача №1. Задача №2. Задача №3.   2. Соотношения с радиусами вневписанных окружностей. Выражение суммы радиусов вневписанных окружностей через радиус вписанной окружности и радиус описанной окружности. Выражение суммы величин, обратных радиусам вневписанных окружностей, через величину обратную радиусу вписанных окружностей. Выражение суммы всех попарных произведений радиусов вневписанных окружностей через квадрат полупериметра треугольника. Выражение произведения радиусов вневписанных окружностей через произведение радиуса вписанной окружности и квадрат полупериметра треугольника. + следствие №1. следствие №2. Задачи : Задача №4. Задача №5. Задача №6. Задача №7.

1. Определение вневписанной окружности. Основные теоремы и формулы.

Вневписанная окружность. Вневписанная окружность. Окружность называется вневписанной для треугольника, если она касается одной стороны треугольника и продолжений двух других сторон. Для каждого треугольника существует три вневписанных окружности, которые расположены вне треугольника, почему они и получили название вневписанных.

Центр вневписанной окружности. Центр вневписанной окружности. Центр вневписанной окружности треугольника — точка пересечения биссектрисы внутреннего угла треугольника, противолежащего той стороне треугольника, которой окружность касается, и биссектрис двух внешних углов треугольника.

II . Радиус вневписанной окружности, касающейся сторон данного внутреннего угла треугольника, равен произведению полупериметра треугольника на тангенс половины этого угла, т. е.

Задачи на свойства касательной к вневписанной окружности и ее радиусов:

Задача№1. Задача№1. Найдите периметр треугольника АВС, если расстояние от вершины А до точки касания с вневписанной окружностью равно 17 , расстояние от вершины B до точки касания окружности со стороной BC равно 6, расстояние от вершины С до точки касания окружности со стороной АC равно 4. (авторская задача)

Решение: Дано: Окр(Оа;ОаC1);АВС;AB1=17, BL=6, CC1=4. Найти: P-?.               Решение №1:   1) Рассмотрим АВС. Т.к. BL=BB1=6 (как отрезки касательных, проведенные из одной точки), то АВ=АВ1- BB1 => АВ=17-6=11.  

Задача№2. Задача№2.

Решение 1: Дано: Окр(Оа;rа);АВС;AB=13, AC=13, BC=10. Найти: rа -?.               Решение (1 случай) : 1. Пусть стороны AB , AC и BC треугольника ABC равны 13, 13 и 10 соответственно, AH — высота треугольника, ra — радиус вневписанной окружности, касающейся сторон BC , AC и AB — в точках H , K и M соответственно. 

Решение 2: Дано: Окр(Оc;rc);АВС;AB=13, AC=13, BC=10. Найти: rc -?.               Решение (2 случай): 1. Пусть O‍c — центр вневписанной окружности, касающейся стороны AB и продолжений сторон BC и AC в точках K и L соответственно. Тогда AO‍ —биссектриса BAL, а так как AH — биссектриса смежного с ним BAC, то ∠HAO‍c = 90‍. ‍ 

Задача№3. Задача№3. Найдите радиус вневписанной окружности, если расстояние от вершины А до точки касания с окружностью равно 21, BC=15, AB=14,AC=13. (авторская задача)

1) Рассмотрим ABC : Дано: AB1=21, AB=14, AC=13, BC=15. Найти: ra-?.

2. Соотношения с радиусами вневписанных окружностей.

Выражение суммы радиусов вневписанных окружностей через радиус вписанной окружности и радиус описанной окружности.

Выражение суммы величин, обратных радиусам вневписанных окружностей, через величину обратную радиусу вписанных окружностей. Выражение суммы всех попарных произведений радиусов вневписанных окружностей через квадрат полупериметра треугольника.

Выражение произведения радиусов вневписанных окружностей через произведение радиуса вписанной окружности и квадрат полупериметра треугольника.

1 следствие: Площадь треугольника равна отношению произведения всех трех радиусов вневписанных окружностей к полупериметру треугольника.

2 следствие: Площадь треугольника равна квадратному корню из произведения всех трех радиусов вневписанных окружностей и радиуса вписанной окружности.

Задачи на соотношения с радиусов вневписанных окружностей:

Задачи: Задача№4.   Найдите радиус вневписанной окружности треугольника, если радиусы двух других вневписанных окружностей равны 2002 и 4004, а радиус вписанной окружности равен 1001.

Решение: Дано: ABC; Окр(О; rх=1001), Окр(О3,rс), Окр(О1; rа=2002), Окр(О2;rb=4004). Найти: rс-?            

Задачи: Задача №5. Найдите произведение сторон треугольника, если известно, что радиусы его вневписанных окружностей равны 9,18 и 21. (сборник «Подготовка к ЕГЭ-2010, под редакцией Ф.Ф.Лысенко)

Решение: Дано: ABC; ra=9, rb=18, rc=21;Окр(О, rс), Окр(О; rа), Окр(О; rb), Окр(О; R). Найти:            

Задачи: Задача №6. Найдите произведение радиусов всех вневписанных окружностей треугольника со сторонами 4,5,6. (сборник «Подготовка к ЕГЭ-2010, под редакцией Ф.Ф.Лысенко)

Решение: Дано: ABC; a=4, b=5, c=6;Окр(О, rс), Окр(О; rа), Окр(О; rb) Найти:            

Задачи: Задача№7. Основание АС равнобедренного треугольника равно 10. Окружность радиуса 7,5 с центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и касается основания АС в его середине. Найдите радиус окружности вписанной в треугольник АВС. (сборник «Подготовка к ГИА-2013, под редакцией Д.А. Мальцева)

Решение: 1. Так как окружность касается стороны треугольника и продолжения двух других сторон, то это - вневписанная окружность. 

Список литературы: Блинков А., Блинков Ю. Вневписанная окружность. "Квант", №3, 2009. «Геометрия. 9 класс.» Авторы: Мерзляк A. Г., Полонский B. Б., Якир М. С. «Вентана-Граф» 2014г. ЕГЭ 2015. Математика. Решение задачи 18 .Автор: Рафаил Гордин. Лысенко Ф.Ф. «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2010» Ростов-на-Дону, «Легион-М» 2009г. http://opengia.ru/ http://reshuege.ru/ http://reshuoge.ru/ https://ru.wikipedia.org/wiki/Вневписанная_окружность http://www.resolventa.ru/uslugi/uslugischoolsev.htm