🗊Презентация Вневписанная окружность

Вневписанная окружность Геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и дает нам возможность правильно мыслить и рассуждать. Г. Галилей

Содержание История треугольника и вневписанной окружности. Задачи , приводящие к понятию вневписанной окружности Вневписанная окружность ,ее свойства и ее связь с основными элементами треугольника Применение вневписанной окружности и ее свойств к решению задач Заключение

История треугольника Простейший из многоугольников — треугольник — играет в геометрии особую роль. За несколько тысячелетий геометры столь подробно изучили треугольник, что иногда говорят о «геометрии треугольника» как о самостоятельном разделе элементарной геометрии. Первые упоминания о треугольнике и его свойствах можно найти в египетских папирусах, которым более 4000 лет. Через 2000 лет в Древней Греции изучение свойств треугольника достигает высокого уровня — достаточно вспомнить теорему Пифагора и формулу Герона. Центральное место в геометрии треугольника занимают свойства так называемых замечательных точек и линий.

Вневписанная окружность Задача: вписать в данный треугольник окружность –имеет единственное решение. Изменим условие: построить окружность , касающуюся трех различных прямых АВ, ВС, АС- и однозначность решения пропадет.

Вневписанная окружность В итоге получаем четыре окружности с центрами О, Оа, Ob, Oc, касающиеся трех данных несовпадающих прямых. При этом одна из них будет вписанной в треугольник окружностью, а три других — вневписанными окружностями.

Вневписанная окружность Определение. Вневписанной окружностью треугольника называется окружность, касающаяся одной из его сторон и продолжений двух других. Для каждого треугольника существует три вневписанных окружности, которые расположены вне треугольника, почему они и получили название вневписанных.

Вневписанная окружность Центрами вневписанных окружностей являются точки пересечения биссектрис внешних углов треугольника. Центр вневписанной окружности лежит на пересечении биссектрисы одного внутреннего угла и биссектрис внешних углов при двух других вершинах. Шесть биссектрис треугольника — три внутренние и три внешние — пересекаются по три в четырех точках — центрах вписанной и трех вневписанных окружностей. Радиусом вневписанной окружности является отрезок перпендикуляра, проведенного из центра окружности к какой-либо стороне треугольника или ее продолжению.

Свойства вневписанной окружности и ее связь с основными элементами треугольника

Свойства вневписанной окружности и ее связь с основными элементами треугольника

Основные обозначения a, b, c — длины сторон BC,CA и AB; α, β, γ- величины углов при вершинах A, B, C; p — полупериметр; R— радиус описанной окружности; r— радиус вписанной окружности;

Соотношения между радиусами вписанной, описанной и вневписанной окружностей

Формулы , выражающие связь с основными элементами треугольника

Решение задач

Задача 2. К двум непересекающимся окружностям проведены две общие внешние касательные и общая внутренняя касательная. Докажите, что отрезок внутренней касательной, заключенный между внешними касательными, равен отрезку внешней касательной, заключенному между точками касания. Задача 2. К двум непересекающимся окружностям проведены две общие внешние касательные и общая внутренняя касательная. Докажите, что отрезок внутренней касательной, заключенный между внешними касательными, равен отрезку внешней касательной, заключенному между точками касания. Решение: Пусть даны две окружности. Точки касания окружностей с первой внешней касательной – А и В, со второй – С и D(рис. 2). Внутренняя касательная пересекает внешние в точках M и N. Продолжим прямые АВ и СD. До их пересечение в точке К. Тогда окружность с центром O2 является вписанной в треугольник MNK, а окружность с центром O1 – вневписанной. Обозначим сторону MN треугольника MNK – a и его периметр – p. Тогда (по т.2) AK=p и BK=p-a. Значит, AB=a, то есть AB=MN. Аналогично CD=MN.

Решение задач Задача 3. В равнобедренном треугольнике с основанием 12 вписана окружность, к ней проведены три касательные так, что они отсекают от данного треугольника три малых треугольника. Сумма периметра малы треугольников равна 48. Найдите боковую сторону данного треугольника. Решение: Окружность с центром О – вневписанная окружность треугольников EAL, BKF и PDC. По теореме 2: AM = , BM = , BQ = , QC= , CN = , AN = . Из этого следует, что P = . Значит, AB = Ответ: 18.

Задача из журнала «Квант»

Задача из журнала «Квант»

Решение задач Задача . Дан треугольник АВС со сторонами а, в, с. Найти длину отрезков, на которые делятся стороны треугольника точками касания вневписанных окружностей. Решение. ПустьAQ=y. Тогда AS=y,QC=CT=b-y,BS=BT, а поэтому c+y=a+(b-y), Аналогично можно вычислить и длины других отрезков.

Заключение Геометрия начинается с треугольника, а треугольник неисчерпаем. Две с половиной тысячи лет постоянно открываются его новые свойства. К сожалению, в школьной программе вневписанной окружности уделяется незначительное время и внимание, но при более подробном знакомстве можно увидеть в ней скрытую красоту и силу, можно рассматривать её как подспорье в решении геометрических задач.

Литература http://rgp.nm.ru/knigi/kulanin5.html http://www.geometr.info/geometriia/treug/radiusy.html http://schools.techno.ru/sch758/aishat/bis.htm Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы, 9 издание.- М.: Просвещение, 2000. Биссектрисы вписанной и вневписанной окружности треугольника // Квант №7, 1987. Гнеденко Б.В. Энциклопедический словарь юного математика. - М.: «Педагогика», 1989. Гохидзе М. Г. Вневписанная окружность // Математика в школе №3, 1989. Гохидзе М. Г. О вневписанной окружности и задачах по стереометрии.// Математика в школе №5, 1987. О свойствах центра вневписанной окружности // Квант №2, 2001. Шарыгин Н. Ф., Голубев В.И. Факультативный курс по математике: Решение задач. Учеб. пособие для 11 кл. сред. шк. - М.: Просвещение,1991.-С.138-140.