🗊Презентация Теорема Наполеона

МБОУ «Средняя общеобразовательная школа № 34 с УИОП» Выполнили: Югов Иван, обучающийся 10 «Б» Малахова Наталья, обучающаяся 9 «А» Преподаватели: Прудских Анна Георгиевна Шенцева Татьяна Александровна

Цель: изучение теоремы Наполеона и рассмотрение нескольких геометрических задач, составленных им; доказать теорему Тебо с помощью теоремы Наполеона.

Задачи: изучить имеющуюся литературу по данной теме; доказать теорему Наполеона с использованием геометрических преобразований ; решить задачу Наполеона о равных треугольниках при искомой точке; решить задачу Наполеона о квадрате, вписанном в окружность; доказать теорему Тебо, с помощью теоремы Наполеона; рассмотреть любимую головоломку Наполеона «Танграм».

Биография Французский император, гениальный полководец. Родился в семье мелкопоместного дворянина. В 1785 г. в чине поручика окончил Парижскую военную школу, служил в полку в Южной Франции. Был произведен в капитаны и направлен в войска, осаждавшие Тулон, захваченный англичанами.

Благодаря плану, разработанному Наполеоном, англичанам пришлось срочно покинуть город. Тулон пал, а сам Наполеон, которому было всего 24 года, был сразу же произведен в бригадные генералы. В 1795 г. решительно подавил монархистский мятеж в Париже, после чего был назначен главнокомандующим армией в Италии.

Теорема Наполеона: «Если на каждой стороне произвольного треугольника построить по равностороннему треугольнику, то треугольник с вершинами в центрах равносторонних треугольников — тоже равносторонний»

Доказательство Пусть М, N, К - центры равносторонних треугольников. Выполним дополнительное построение: соединим точки М, N, К с ближайшими (к каждой из них) двумя вершинами треугольника АВС и между собой (рис.1)

По свойствам равностороннего (правильного) треугольника АМ=МВ, ВN=NС, СК= КА; угол АМВ равен углу ВNС равен углу СКА равен 120°, а их сумма равна 360°. Выделим шестиугольник АМВNСК, а внешние к нему невыпуклые четырёхугольники отбросим. Получим фигуру, изображённую на рис.2 По свойствам равностороннего (правильного) треугольника АМ=МВ, ВN=NС, СК= КА; угол АМВ равен углу ВNС равен углу СКА равен 120°, а их сумма равна 360°. Выделим шестиугольник АМВNСК, а внешние к нему невыпуклые четырёхугольники отбросим. Получим фигуру, изображённую на рис.2

Отсекая теперь от этого шестиугольника треугольники МАК и NСК, перемещая их в плоскости в положение, которое указано на рис.3, получаем четырёхугольник МDNK. Отрезок МN делит его на два равных (по трем сторонам) треугольника. Углы DNK и DМК равны 120° каждый. Поэтому углы NМК и МNК равны 60° каждый. Следовательно, треугольник МNК равносторонний, что и требовалось доказать

ЗАДАЧА О РАВНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКАХ ПРИ ИСКОМОЙ ТОЧКЕ В треугольнике ABC найти точку F, такую, что сумма расстояний от F до вершин A, B и C будет минимальна. Решение данной задачи имеет единственное ограничение: наибольший угол треугольника должен быть меньше 120 .  

ЗАДАЧА О КВАДРАТЕ, ВПИСАННОМ В ОКРУЖНОСТЬ Необходимо найти вершины квадрата, вписанного в окружность с отмеченным центром  

ТЕОРЕМА ТЕБО Теорема Тебо. Центры квадратов, построенных на сторонах параллелограмма вне его, являются вершинами квадрата

Головоломка Наполеона ("Танграм") Наполеон любил задавать своим офицерам и эту головоломку: какие плоские геометрические фигуры можно построить из девяти предложенных в россыпь деталей    

Маршал Даву, сумел собрать из предложенных деталей квадрат Мюрат - квадрат, и прямоугольник. Позже нашелся полковник, построивший звезду. Но никто до сих пор не сумел построить из этих деталей треугольник, ромб или трапецию... И возникает вопрос можно ли построит треугольник вообще?

Но перед решением головоломки обратите внимание на градусы углов. 18:36:90:108:126:144- они все кратны 18-ти

Задачи, решаемые с помощью теоремы Наполеона: 1. На боковых сторонах трапеции ABCD построены треугольники ABE и CDF так, что AE || CF и BE || DF. Докажите, что если E лежит на стороне CD, то F лежит на стороне AB. 2. (З. Насыров) (задачник ”Кванта” 1992 г.) Круг поделили xордой AB на два круговых сегмента и один из ниx повернули вокруг точки A на неко- торый угол. Пусть при этом повороте точка B перешла в точку D. Докажи- те, что отрезки, соединяющие середины дуг сегментов с серединой отрезка BD, перпендикулярны друг другу. 3. (А. Заславский) (Геометрическая олимпиада им. И. Ф. Шарыгина) На описанной окружности треугольника ABC взяты точки A1, B1, C1 так, что AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке. При отражении A1, B1, C1 относительно сторон BC, CA, AB соответственно получаются точки A2, B2, C2. Докажите, что треугольники A1B1C1 и A2B2C2 подобны

Вывод Теорему приписывают Наполеону, хотя впервые она была опубликована У.Резерфордом в 1825 году. Теорема вполне могла быть сформулирована если не самим Наполеоном, то кем-то из его ученых. Известно, что сам Наполеон был отличным артиллеристом и широко привлекал ученых к решению различных прикладных задач.

Список литературы 1 Ришелье. Оливер Кромвель. Наполеон I. Князь Бисмарк: Биогр. Р 57 очерки. - М.: Республика, 1994.-320 с.: ил. 2.Энциклопедический словарь юного математика, 2-е изд., исп.и доп./Сост. Э-68 А.П. Савин. - М.: Педагогика, 1989.-352 с.: ил., стр 298. 3.Заславский А.А., Протасов В.Ю., Шарыгин Д.И. — Геометрические олимпиады им. И.Ф. Шарыгина - М.: МЦНМО, 2007 г.- 152 с. 4.Задача Наполеона. Квант, № 6, 1972, Березин В.Н. http://napaleon.ru/napoleon 5.Е. Андреева «Головоломка Наполеона» http://jtdigest.narod.ru/dig2_02/napol.htm 6.Н.Н.Никитин, Г.Г.Маслова. Сборник задач по геометрии. Задача № 31. http://oldskola1.narod.ru/NiktinZ/d05.htm 7.Теорема Тебо 1. http://ru.wikipedia.org/wiki/%D2%E5%EE%F0%E5%EC%E0_%D2%E5%E1%EE 8.Анимация теоремы Наполеона http://files.school-collection.edu.ru/dlrstore/02b7798e-607d-88ff-f603-9526ec4cf0bb/napoleon.html 9. Задача/Теорема Наполеона http://webgrossmeister.dreamwidth.org/5035.html 10. Задача о квадрате, вписанном в окружность. http://uchinfo.com.ua/zadachi/zadachi3.htm