🗊Презентация Основные теоремы о пределах. Способы вычисления пределов функций. (Семинар 5)

Семинар 5. Основные теоремы о пределах. Основные способы вычисления пределов функций Семинар 5. Основные теоремы о пределах. Основные способы вычисления пределов функций Предполагается, что функции, рассматриваемые в следующих теоремах определены на некотором общем множестве Х, для которого точка а является предельной точкой. Теорема 1 Если каждое слагаемое алгебраической суммы конечного числа функций имеет предел при , то предел этой алгебраической суммы при существует и равен такой же алгебраической сумме пределов слагаемых. Теорема 2 Если каждый из сомножителей конечного числа функций имеет предел при , то предел произведения при существует и равен произведению пределов сомножителей. Следствие 1 Постоянный множитель можно выносить за знак предела. Пусть С – постоянная, тогда Следствие 2 Если функция f(x) имеет предел при , то предел при целой положительной степени ее равен такой же степени предела этой функции, то есть Пример Теорема 3 Если функция f(x) имеет предел при , отличный от нуля, то предел обратной ей по величине функции равен обратной величине предела данной функции, то есть

Теорема 4 Если делимое f(x) и делитель g(x) имеют пределы при и предел делителя отличен от нуля, то предел их частного при равен частному пределов делимого и делителя, то есть Теорема 4 Если делимое f(x) и делитель g(x) имеют пределы при и предел делителя отличен от нуля, то предел их частного при равен частному пределов делимого и делителя, то есть Теорема 5 Если функция f(x) имеет предел при и (n – натуральное) существует в точке а и в некоторой ее окрестности , то Теорема о промежуточной функции Пусть в некоторой окрестности точки а функции f(x) заключена между двумя функциями и , имеющими одинаковый предел А при , то есть (1) и (2), тогда функция f(x) имеет тот же предел, то есть (3). Вычисление пределов основано на применении основных теорем о пределах, признаков существования пределов, а также теорем о бесконечно малых и бесконечно больших функциях. Рассмотрим вычисление пределов на различных примерах. 1. Найти Решение. Так как , то числитель стремится к числу 4*4+2=22, а знаменатель к числу 2*4+3=11. Следовательно

2. Найти 2. Найти Решение. Числитель и знаменатель неограниченно возрастают при . В таком случае говорят, что имеет неопределенность вида . Разделив на х числитель и знаменатель дроби, получим 3. Найти Решение. Числитель и знаменатель при стремятся к нулю. Принято говорить, что получается неопределенность . Имеем . Если , то . Но при дробь . Итак 4. Найти Решение. Здесь имеет место неопределенность вида . Разложим на множители числитель и знаменатель дроби.

5. Найти Решение. Имеет место неопределенность вида . Имеем , так как числитель дроби стремится к числу 300, а знаменатель стремится к нулю, то есть является бесконечно малой величиной, следовательно рассматриваемая дробь – бесконечно большая величина. 6. Найти Решение умножим числитель и знаменатель на сопряженное к числителю, то есть сумму .Получим 7. Найти

Решение. Положим , Решение. Положим , тогда 8. Найти Решение. Числитель и знаменатель неограниченно возрастают при . В таком случае говорят, что имеет неопределенность вида . Разделив числитель и знаменатель дроби на старшую степень х, то есть получим 9. Найти Решение. Разделив числитель и знаменатель дроби на старшую степень х, то есть получим 10. Найти

Решение. Имеет место неопределенность вида . Умножим и разделим данное выражение на сопряженное Решение. Имеет место неопределенность вида . Умножим и разделим данное выражение на сопряженное Примеры для самостоятельного решения.