🗊Презентация Теорема Пифагора

Теорема Пифагора Выполнил: Панасенко Станислав, 9А Руководитель: Гордеева Светлана Николаевна

Содержание 1. Предисловие 2. Цели проекта 3. Формулировка теоремы 4. Историческая справка 5. Доказательства теоремы 6. Практические задачи с применением теоремы 7. Информационные ресурсы 8. Заключение

Предисловие И ныне теорема Пифагора верна, Как и в его далёкий век. Причина такой популярности теоремы Пифагора триедина: это простота — красота — значимость.

Цели проекта: Узнать, существует ли единственное доказательство теоремы, предложенное в школьном учебном материале. Научиться применять теорему Пифагора в решении практических задач.

Теорема Пифагора: В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

История теоремы: В древнекитайском сочинении «Чу-пей» так говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3,4 и 5: "Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4". В этой же книге предложен рисунок, который совпадает с одним из чертежей индусской геометрии Басхары.

Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство 3² + 4² = 5² уже было известно египтянам еще около 2300 г. до н. э., во времена царя Аменемхета I (согласно папирусу 6619 Берлинского музея). По мнению Кантора гарпедонапты, или "натягиватели веревок", строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5.

Несколько больше известно о теореме Пифагора у вавилонян. В одном тексте, относимом ко времени Хаммурапи, т. е. к 2000 г. до н. э., приводится приближенное вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника. Весьма вероятно, что теорема о квадрате гипотенузы была известна в Индии уже около 18 века до н. э.

Приведём несколько доказательств Приведём несколько доказательств теоремы Пифагора

Начало доказательства методом Гофмана Построим треугольник ABC с прямым углом С. Построим BF=CB, BFCB Построим BE=AB, BEAB Построим AD=AC, ADAC Точки F, C, D принадлежат одной прямой.

Как мы видим, четырёхугольники ADFB и ACBE равновелики, т.к. ABF=ЕCB. Треугольники ADF и ACE равновелики. Как мы видим, четырёхугольники ADFB и ACBE равновелики, т.к. ABF=ЕCB. Треугольники ADF и ACE равновелики. Отнимем от обоих равновеликих четырёхугольников общий для них треугольник ABC, получим: 1/2а2+1/2b 2=1/2с 2 Соответственно: а2+ b 2 =с 2

Алгебраическое доказательство (метод Мёльманна) Площадь данного прямоугольника с одной стороны равна 0.5ab, с другой pr, где p – полупериметр треугольника, r – радиус вписанной в него окружности (r=0.5(a+b-c)).

Имеем: Имеем: 0.5ab=pr= =0.5(a+b+c)* *0.5(a+b-c) Отсюда следует, что с2= а2+b2

От Индийского математика Бхаскари Построим из прямоугольных треугольников квадрат

Здесь изображено два равных квадрата. Длина сторон каждого квадрата равна a + b. Каждый из квадратов разбит на части, состоящие из квадратов и прямоугольных треугольников. Ясно, что если от площади квадрата отнять учетверенную площадь прямоугольного треугольника с катетами a, b, то останутся равные площади, т. е. c2 = a2 + b2. Впрочем, древние индусы, которым принадлежит это рассуждение, обычно не записывали его, а сопровождали чертеж лишь одним словом: «смотри!» Вполне возможно, что такое же доказательство предложил и Пифагор.

Доказательство по косинусу Построим высоту из прямого угла С. По определению косинуса:

Аналогично: cosB=BD:BC=BC:AB Аналогично: cosB=BD:BC=BC:AB

Вывод №1 Существует вовсе не одно, а множество доказательств теоремы Пифагора (около 500). Но к сожалению, невозможно привести все или даже самые красивые доказательства теоремы.

Применение теоремы Пифагора на практике Теорема Пифагора имеет огромное значение: она применяется в геометрии буквально на каждом шагу, и тот факт, что существует огромное количество доказательств этой теоремы (геометрических, алгебраических, механических и т.д.), свидетельствует о гигантском числе ее конкретных реализаций.

Примеры задач с применением теоремы Пифагора Приведём примеры задач с применением теоремы Пифагора

Задача о птицах На разных берегах реки растёт по пальме. Высота одной - 30 локтей, другой – 20 локтей, а расстояние между основаниями пальм – 50 локтей. Обе птицы заметили рыбу, всплывшую на поверхность реки между пальмами. Птицы кинулись разом и достигли её одновременно. На каком расстоянии от более высокой пальмы всплыла рыба? (Арабская задача)

Чертёж к решению задачи:

Задача о башнях Одна из башен в полтора раза выше другой. Расстояние между основаниями башен равно 120 метров, а между шпилями – 125 метров. Чему равна высота каждой башни?

Задача о наблюдателе Как далеко видит вокруг себя наблюдатель, находящийся на воздушном шаре на высоте 10 км над землёй? (R = 6400км)

Решение Пусть т.О – центр Земли, тогда ОВ²+АВ²=ОА² АВ²=ОА²-ОВ² АВ²=(6400+10)²-6400² АВ²=128100 АВ≈358 (км) – радиус обзора наблюдателя

Как найти длину желоба? Между двумя фабричными зданиями установлен покатый желоб для передачи материалов. Расстояние между зданиями равно 10м, а концы желоба расположены на высоте 8м и 4м над землёй.

Проводим высоту CZ и получаем прямоугольный треугольник ZBC. Проводим высоту CZ и получаем прямоугольный треугольник ZBC. По теореме Пифагора (Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов) BC² = ZB² + BC² BC² = 8²+10² BC = Ответ: длина желоба равна .

Вывод №2 Теорема Пифагора может быть с легкостью применена к решению практических задач. Область применения теоремы достаточно обширна и не может быть указана с достаточной полнотой.

Информационные ресурсы 1. Алексеев, И. Г. Математика. Подготовка к ЕГЭ: учебно-методическое пособие. - Саратов: Лицей, 2005. 2. Геометрия: учеб. для 7-9 кл. сред. шк. / авт.-сост. Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. - 4-е изд. - М.: Просвещение, 1994. 3. Геометрия. 10-11 кл.: учеб. для общеобразоват. учреждений / авт.- сост. Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др. - 13-е изд. - М.: Просвещение, 2003. 4. Математика. ЕГЭ - 2006, вступительные экзамены: пособие для самостоятельной подготовки. -Ростов н/Д: Легион, 2005. 5. Погорелов, А. В. Геометрия: учеб. для 7-11 кл. общеобразоват. учреждений. - 6-е шд. - М.: Просвещение, 1996. 6. Сборник задач по алгебре для 8-9 классов: учеб. пособие для учащихся шк. и кл. с углубл. изуч. математики / авт.-сост. М. Л. Галицкий, А. М. Гольдман, Л. И. Звавич.-4-е изд. - М.: Просвещение, 1997. 7. Цыпкин, А. Г. Справочник по математике для средней школы. - М., 1981. Электронные источники: Большая энциклопедия Кирилла и Мефодия. Электронная энциклопедия: Star word.

Заключение В заключении еще раз хочется сказать о важности теоремы. Хочется надеется, что приведенные примеры убедительно свидетельствуют об огромном интересе, проявляемом по отношению к ней.