🗊Презентация Арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия

Содержание Введение Понятие арифметической прогрессии Формула n-го члена арифметической прогрессии Сумма первых n членов арифметической прогрессии Характеристическое свойство арифметической прогрессии Тест

Понятие арифметической прогрессии

Определение. Определение. Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и одного и того же числа d, называют арифметической прогрессией, а число d – разностью арифметической прогрессии.

Пример 1. 1, 3, 5, 7, 9, 11, …- это арифметическая прогрессия, у которой Пример 1. 1, 3, 5, 7, 9, 11, …- это арифметическая прогрессия, у которой Пример 2. 20, 17, 14, 11, 8, 5, 2, -1, -4, … - это арифметическая прогрессия, у которой Пример 3. 8, 8, 8, 8, 8, … - это арифметическая прогрессия, у которой

Таким образом, арифметическая прогрессия – это числовая последовательность , заданная рекуррентно соотношениями ,

Арифметическая прогрессия является возрастающей последовательностью, если d>0, и убывающей, если d<0. Арифметическая прогрессия является возрастающей последовательностью, если d>0, и убывающей, если d<0. Для обозначения арифметической прогрессии используется знак .

Формула n-го члена арифметической прогрессии

Рассмотрим арифметическую прогрессию Рассмотрим арифметическую прогрессию с разностью d. и т.д.

Для любого номера справедливо равенство Для любого номера справедливо равенство Это формула n-го члена арифметической прогрессии.

Пример. Дана арифметическая прогрессия . Пример. Дана арифметическая прогрессия . Известно, что . Найти . Положим n=22, воспользуемся формулой , получим

Перепишем формулу n-го члена арифметической прогрессии Перепишем формулу n-го члена арифметической прогрессии в виде Введем обозначения: Получим Подробнее

Пример. , 3, 5, 7, 9, 11, … - арифметическая прогрессия, у которой . Пример. , 3, 5, 7, 9, 11, … - арифметическая прогрессия, у которой . Составим формулу n-го члена:

Арифметическую прогрессию рассматривают как линейную функцию y=dx+m, заданную на множестве N натуральных чисел. Арифметическую прогрессию рассматривают как линейную функцию y=dx+m, заданную на множестве N натуральных чисел. Угловой коэффициент этой линейной функции равен d – разности арифметической прогрессии.

Формула суммы членов конечной арифметической прогрессии

Пусть - Пусть - конечная арифметическая прогрессия - сумма первых n членов арифметической прогрессии - сумма членов прогрессии в порядке возрастания их номеров. - сумма членов прогрессии в порядке убывания их номеров.

Сложим эти равенства, группируя попарно слагаемые, получим Сложим эти равенства, группируя попарно слагаемые, получим В каждой из скобок записана сумма, равная сумме . Всего таких скобок n. Следовательно,

Формула суммы n членов арифметической прогрессии

Пример. Пример. Дана конечная арифметическая прогрессия Известно, что Найти , т.е. . Решение. Имеем Значит,

С формулой связан один из эпизодов биографии К.Гаусса. Однажды на уроке учитель, чтобы занять первоклассников пока он будет заниматься с учениками третьего класса, велел сложить все числа от 1 до 100, надеясь, что это займет много времени. Но маленький Гаусс сразу сообразил, что 1+100=101, 2+99=101 и т.д. и таких чисел будет 50. осталось умножить 101*50. Это мальчик сделал в уме. Едва учитель закончил чтение условия, он предъявил ответ. Изумленный учитель понял, что это самый способный ученик в его практике.

Характеристическое свойство арифметической прогрессии

Теорема Числовая последовательность является арифметической прогрессией тогда и только тогда, когда каждый ее член, кроме первого(и последнего, в случае конечной последовательности), равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов.

Доказательство Пусть дана арифметическая прогрессия Рассмотрим три ее члена, следующие друг за другом Известно, что Сложив эти равенства, получим : Это значит, что каждый член арифметической прогрессии(кроме первого и последнего) равен среднему арифметическому предшествующего и последующего членов.

Верно и обратное: если последовательность такова, что для любого n>1 выполняется равенство Верно и обратное: если последовательность такова, что для любого n>1 выполняется равенство то - арифметическая прогрессия. Перепишем последнее равенство в виде Т.е. разность между любым членом последовательности и предшествующим ему всегда одна и та же, а это означает, что задана арифметическая прогрессия.

Пример. При каком значении x числа 3x+2, 5x-4, 1x+12 образуют конечную арифметическую прогрессию? Решение. Согласно характеристическому свойству, заданные выражения должны удовлетворять соотношению Решая это уравнение, находим: При этом значении x заданные выражения 3x+2, 5x-4, 11x+12 принимают, соответственно значения -14,5, -31,5, -48,5. это – арифметическая прогрессия, ее разность равна -17. Ответ: x=-5,5.

Из предложенных последовательностей выберите ту, которая является арифметической прогрессией Из предложенных последовательностей выберите ту, которая является арифметической прогрессией а) 2; 4; 8; 16 б) -7; -7; -7; -7 в) 1; 3; 9; 27 2. Какая из данных арифметических прогрессий является возрастающей? а) 15; 12; 9; 6 б) 3; 3; 3; 3 в) 5; 8; 11; 14 3. Найдите , если . а) 5 б) 13 в) -21 4. Найдите , если . а) 54 б) 27 в)9 5.Известно, что . Найдите n. а) 41 б) -23 в) 23 6. Известно, что . Найдите d. а) -3 б) 3 в) 2

Верно!

Неверно…

Найдите сумму двенадцати первых членов арифметической прогрессии, если . Найдите сумму двенадцати первых членов арифметической прогрессии, если . а) 294 б) 41 в) 57 2. Известно, что . Найдите d. а) 5 б) 3 в) 9 3. Найдите сумму первых четырнадцати членов арифметической прогрессии, заданной формулой . а) 497 б) 511 в)1022

Верно!

Неверно…

Успехов !!!