🗊Презентация Функции

Функции

Определение Функция из множества А в множество В представляет собой специальное отношение А  В, обладающее следующими свойствами: 1. Областью определения отношения является все множество А. Для каждого элемента а из А существует элемент b из В такой, что а и b связаны данным отношением. 2. Если а относится к b и а относится к b`, то b = b` . В терминах упорядоченных пар это утверждение означает, что если (a, b) и (a, b`) принадлежат отношению, то b = b` .

Определение Отношение f на А  В называется функцией из А в В и обозначается f: A  B, если для каждого а  А существует единственный элемент b  B такой, что (a, b)  f. Если f : A  B - функция, и (a, b)  f, то b= f(a). Множество А называется областью определения функции f, а множество В называется областью потенциальных значений. Если E  A, то множество f(E) = {b: f(a) = b для некоторого а из E} называется образом множества Е. Образ всего множества А называется областью значений функции f. Если F  B, то множество f -1 (F) = {a: f(a)  F} называется прообразом множества F. Функция f : A  B называется отображением, при этом f отображает А в В. Если f : A  B , так что b = f (a), то элемент а отображается в элемент b.

Пример Пусть А = {-2, -1, 0, 1, 2}, a B = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Отношение f  A  B определяется как f = {(-2, 5), (-1, 2), (0, 1), (1, 2), (2, 5)}. Отношение f – функция А из В, так как f  A  B и каждый из элементов А присутствует в качестве первой компоненты упорядоченный пары из f ровно один раз.

Пример Пусть А = {-2, -1, 0, 1, 2} и В = {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Функция f : A  B определена соотношением f (x) = x2 + 1. Если Е = {1, 2}, то f(E) = {b : (a, b)  f для некоторого а из Е } = = {b : b = f(a) для некоторого а из Е } = {2, 5} является образом Е при отображении f. Если F = {0, 2, 3, 4, 5}, то f -1(F) = {b : существует а  А такое, что f(a) = b} = {-1, 1, -2, 2} Является прообразом F, где -1  f -1 (F), так как f(-1) = 2, 1  f -1 (F), так как f(1) = 2, -2  f -1 (F), так как f(-2) = 5 и 2  f -1 (F), так как f(2) = 5. Элементы 0, 3 и 4 не вносят никаких элементов в f -1 (F), поскольку они не принадлежат области значений функции f. Прообраз может быть пустым.

Область значений функции f имеет вид: f(A) = {b : f(a) = b для некоторого а  А} = {1, 2, 5}. Элементами f(A) являются те и только те элементы области потенциальных значений В, которые используются функцией f. Если R – отношение на A  B, а S - отношение на B  C, то можно определить отношение S  R на А  С, называемое композицией S и R. Если R и S – функции, то S  R - тоже функция, называемая композицией S и R.

Теорема Пусть g : A  B и f: B  C. Тогда а) композиция f  g есть композиция из А и С. Обозначение f  g : A  C; б) если а  А, то (f  g )(a) = f ( g (a)).

Теорема Пусть f : A  B , g : B  C и h : C  D. Тогда h  (g  f) = (h  g)  f, то есть композиция двух функций ассоциативна. Пример. Пусть и g(x) = x + 3 - функции, заданные на множестве действительных чисел. Функция Функция

Определение Функция f : A  B называется инъективной, или инъекцией, если из f(a) = f(a' ) следует а=а' . Функция f называется отображением “на” или сюръективной функцией, или сюръекцией, если для каждого b  B существует некоторое а  А такое, что f(a) = b. Функция, которая является одновременно и инъективной, и сюръективной, называется взаимно однозначным соответствием, или биекцией. Если A = B и f : A  B является взаимно однозначным соответствием, то f называется перестановкой множества А.

Пример Пусть А и В - множества действительных чисел и f : A  B определена таким образом: f(х) = 3x + 5. Функция f инъективна, так как если f(a) = f(a' ), тогда 3а + 5 = 3а' + 5  а = а' . Функция f является также сюръективной: Для любого действительного числа b требуется найти такое а, что f(a) = b = 3a + 5.  а = (1/3)(b – 5), тогда f(a) = b. Поэтому f представляет собой взаимно однозначное соответствие, а в силу А=В, f является также перестановкой.

Пример Пусть А и В – множество действительных чисел, и функция f : A  B определена как f(x) = x2. Функция f не является инъективной, так как f(2) = f(-2), но 2  -2. Функция f не является также и сюръективной, так как не существует такого действительного числа а, для которого f(a) = -1. Если А и В - множество неотрицательных действительных чисел, тогда f является как инъективной, так и сюрьективной.

Пусть f – функция из множества А во множество В, то есть f : A  B . f  A  B, так как f является отношением на A  B. Обратное отношение f -1 B  A определяется как f -1= {(b, a): (a, b) f }. При этом отношение f -1 может не быть функцией из В в А, даже если f является функцией из А в В. Если f -1 действительно является функцией, то ее называют обращением функции f, или ее обратной функцией.

Теорема Если f : A  B является биекцией. То обратное отношение f -1 является функцией из В в А, причем биекцией. Обратно, для f : A  B, если f -1 – функция из В в А, то f является биекцией.

Теорема Если f : A  B является биекцией, то a) f (f -1(b)) = b для любого b из B; б) f -1 (f (a)) = a для любого a из A. Доказательство: Пусть b  B и а = f -1(b). Тогда f(a) = b. Поскольку a = f -1(b)), то f (f -1(b)) = f(a) = b. Аналогично доказывается f -1 (f (a)) = a для любого a из A.

Пример Требуется найти обратную функцию для y = 3x + 6. Обращая функцию, получается {(x, y): y = 3x + 6}. Это тоже самое, что {(x, y): х = 3у + 6}. Решение этого уравнения относительно у: {(x, y): у = (х - 6) / 3}.

Теорема Если f : A  A и I - тождественная функция на А, то I  f = f  I = f . Если для f существует обратная функция, то f  f -1 = f -1  f = I.

Теорема Пусть g : A  B f : B  C . Тогда а) если g и f - сюръекции А на В и В на С соответственно, то f g есть сюръекция А на С. Иначе: композиция двух сюръекций – сюръекция. б) если g и f - инъекции, то f g - также инъекция. Иначе: Композиция двух инъекций – инъекция. в) если g и f - биекции, то f g - также биекция. Иначе: Композиция двух биекций – биекция. г) (f  g) -1 = g -1  f -1.

Специальные функции Если f – перестановка на множестве {1, 2, 3, …, n }. Может быть представлена в виде Тождественная специальная функция – тождественная функция I, определенная соотношением I(a) = a для всех а  А.

Пример Если А = {1, 2, 3} и функция f : A  B определена соотношениями f(1) = 3, f(2) = 2, f(3) = 1 Тогда f может быть представлена в виде

Если g : A  A определена соотношением g(1) = 2, g(2) = 3, g(3) = 1 Тогда g можно представить в виде Композиции этих функций: f  g = g  f =

Перестановка Является тождественной функцией. I  f = f  I = f для любой перестановки f на множестве А. Чтобы построить обратную перестановку, необходимо найти число, стоящее над 1 и поместить его под 1. Затем найти число, стоящее над 2 и поместить его под 2. Затем найти число, стоящее над 3 и поместить его под 3. ,

Определение Функция f : A  B, где А – множество действительных чисел, В – множество целы чисел, называется нижним округлением и обозначается Если каждому числу а  А ставит в соответствие наибольшее целое число, меньшее или равное а. Функция f : A  B называется верхним округлением и обозначается Если каждому числу а  А ставит в соответствие наименьшее целое число, большее или равное а.

Пример

Бинарной операцией на множестве А называется функция b: A  A  A. Образ пары (r, s) при отображении b записывается b((r, s)) или rbs. Последовательность является частным видом функции. Конечной последовательностью называют функцию из {1, 2, 3, 4, …} в некоторое множество S. Любая конечная или бесконечная последовательность может быть названа просто последовательностью.

Если А – конечная последовательность, может быть представлена А(1), А(2), А(3), …, А(n) или А1, А2, А3, …Аn. Пример Пусть А(n) = n 2 – 3. Первые пять элементов последовательности: A(1) = 12 – 3, A(2) = 22 – 3, A(3) = 32 – 3, A(4) = 42 – 3, A(5) = 52 – 3. Определение Сумма A r + A r+1 + A r+2 + … + A r+s может быть записана

Сумма первых n элементов арифметической прогрессии

Пример S = 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 = 6(3 + 13)/2 = 48 Сумма геометрической прогрессии:

Последний слайд лекции