Линейная алгебра - презентация, доклад, проект скачать

Нажмите для полного просмотра!

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Линейная алгебра. Доклад-сообщение содержит 77 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Описание слайда:

Линейная алгебра

Слайд 2

Описание слайда:

Литература В.Л. Клюшин «Высшая математика для экономистов» (учебное пособие) В.Л. Клюшин «Высшая математика для экономистов: задачи, тесты, упражнения»

Слайд 3

Описание слайда:

Понятие матрицы Определение. Числовая таблица с m строками и n столбцами называется mxn матрицей. 3x4 - матрица - элемент матрицы, стоящий на пересечении i-ой строки и j-го столбца

Слайд 4

Описание слайда:

Общий вид матрицы

Слайд 5

Описание слайда:

Слайд 6

Описание слайда:

Экономический пример

Слайд 7

Описание слайда:

Операции над матрицами (алгебра матриц)

Слайд 8

Описание слайда:

Сложение и вычитание матриц … производится поэлементно

Слайд 9

Описание слайда:

Умножение матрицы на число .

Слайд 10

Описание слайда:

Умножение строки на столбец .

Слайд 11

Описание слайда:

Экономический пример

Слайд 12

Описание слайда:

Умножение строки на столбец Пример. Умножить каждую строку матрицы A на каждый столбец матрицы B, где

Слайд 13

Описание слайда:

Умножение матрицы на матрицу При умножении матрицы на матрицу , каждая строка матрицы умножается на каждый столбец матрицы .

Слайд 14

Описание слайда:

Пример .

Слайд 15

Описание слайда:

Связь алгебраических операций

Слайд 16

Описание слайда:

Транспонирование матриц При транспонировании меняются местами строки и столбцы исходной матрицы. (Первая строка становится первым столбцом, вторая строка становится вторым столбцом и т.д.) Матрица, транспонированная к A обозначается A’ или At. Пример.

Слайд 17

Описание слайда:

Свойства операций над матрицами

Слайд 18

Описание слайда:

Специальные виды матриц Строка Столбец Квадратная Диагональная Нулевая Верхнетреугольная Нижнетреугольная

Слайд 19

Описание слайда:

Пример

Слайд 20

Описание слайда:

Определители квадратных матриц Определитель матрицы – это число, обозначаемое и вычисляемое по конкретным правилам.

Слайд 21

Описание слайда:

Числовой пример

Слайд 22

Описание слайда:

Геометрический смысл определителя 2-го порядка

Слайд 23

Описание слайда:

Решить систему уравнений: Для решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными и можно умножить первое уравнение на коэффициент при во втором уравнении и умножить второе уравнение на коэффициент при в первом уравнении. Затем вычесть из первого уравнения второе:

Слайд 24

Описание слайда:

Решить систему уравнений: .

Слайд 25

Описание слайда:

Решить систему уравнений:

Слайд 26

Описание слайда:

Решить систему уравнений

Слайд 27

Описание слайда:

Теорема Крамера Пусть дана система уравнений Если , где обозначает матрицу коэффициентов при неизвестных, то и , где матрицы и получаются из матрицы заменой первого и второго столбца на столбец свободных членов соответственно

Слайд 28

Описание слайда:

Пример Решить систему по правилу Крамера.

Слайд 29

Описание слайда:

Разложение определителя по элементам строки или столбца Минором определителя матрицы называется такой новый определитель, который получается из данного вычеркиванием -ой строки и -го столбца.

Слайд 30

Описание слайда:

Разложение определителя по элементам строки или столбца

Слайд 31

Описание слайда:

Пример Для матрицы

Слайд 32

Описание слайда:

Пример

Слайд 33

Описание слайда:

Пример .

Слайд 34

Описание слайда:

Разложение определителя по элементам строки или столбца Алгебраическим дополнением элемента определителя матрицы называется минор этого элемента, взятый со знаком

Слайд 35

Описание слайда:

Разложение определителя по элементам строки или столбца Для матрицы

Слайд 36

Описание слайда:

Разложение определителя по элементам строки или столбца Теорема Лапласа. Определитель матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Слайд 37

Описание слайда:

Разложение определителя по элементам строки или столбца Пример. Найти определитель матрицы при помощи разложения по элементам третьего столбца.

Слайд 38

Описание слайда:

Свойства определителей Определитель не меняется при транспонировании: Пример:

Слайд 39

Описание слайда:

Свойства определителей Определитель меняет знак при перестановки любых двух строк или любых двух столбцов. Пример:

Слайд 40

Описание слайда:

Свойства определителей 3. Общий множитель элементов какой-либо строки или столбца можно вынести за знак определителя. Пример:

Слайд 41

Описание слайда:

Свойства определителей 4. Определитель матрицы, содержащий строку или столбец, целиком состоящий из нулей, равен нулю. Пример:

Слайд 42

Описание слайда:

Свойства определителей 5. Определитель матрицы, содержащий равные или пропорциональные строку и столбец, равен нулю. Пример:

Слайд 43

Описание слайда:

Свойства определителей 6. Если каждый элемент некоторой строки матрицы представим в виде суммы двух слагаемых, то определитель есть сумма определителей , где все строки матриц и , кроме указанной строки, совпадают с соответствующими строками матрицы , а все элементы указанной строки матриц и являются, соответственно, первыми и вторыми слагаемыми указанной строки матрицы .

Слайд 44

Описание слайда:

Свойства определителей Пример.

Слайд 45

Описание слайда:

Свойства определителей Определитель не изменится, если к элементам некоторой строки (столбца) прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), предварительно умножив их на один и тот же множитель.

Слайд 46

Описание слайда:

Пример

Слайд 47

Описание слайда:

Свойства определителей Определитель верхнетреугольной матрицы равен произведению диагональных элементов. Пример:

Слайд 48

Описание слайда:

Свойства определителей (Теорема Лапласа.) Определитель равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения. Пример:

Слайд 49

Описание слайда:

Свойства определителей Если является единственным ненуле-вым элементом в своей строке или столбце, то Пример:

Слайд 50

Описание слайда:

Свойства определителей Определитель произведения матриц равен произведению определителей:

Слайд 51

Описание слайда:

Обратная матрица Число 1 обладает свойством: Для любого числа . Например, Для любого ненулевого числа определено Число, обратное к (обозначается или ) такое, что

Слайд 52

Описание слайда:

Обратная матрица Вопрос: существует ли аналог числа 1 и аналог обратного числа среди матриц?

Слайд 53

Описание слайда:

Обратная матрица Квадратная матрица называется диагональной, если все её элементы вне главной диагонали равны нулю. Пример: Диагональная матрица называется единичной, если все её диагональные элементы – единицы. Пример:

Слайд 54

Описание слайда:

Обратная матрица Единичная матрица обозначается или . Единичная матрица размера обозначается так же или :

Слайд 55

Описание слайда:

Обратная матрица Если для матрицы определено произведение , то Аналогично, Пример:

Слайд 56

Описание слайда:

Обратная матрица Матрица называется обратной к матрице и обозначается , если Если существует, то матрица A называется обратимой.

Слайд 57

Описание слайда:

Обратная матрица Пример: так как и

Слайд 58

Описание слайда:

Обратная матрица Теорема. Обратная матрица существует только для невырожденной квадратной матрицы. Пример: существует, так как

Слайд 59

Описание слайда:

Обратная матрица второго порядка Теорема.

Слайд 60

Описание слайда:

Нахождение обратной матрицы методом присоединённой матрицы Пусть – квадратная матрица. Найти . Если , то не существует. Для каждого элемента матрицы вычислить его алгебраическое дополнение. Записать все алгебраические дополнения в виде матрицы и транспонировать её. Получится присоединённая матрица, обозначаемая или или .

Слайд 61

Описание слайда:

Нахождение обратной матрицы методом присоединённой матрицы Итак,

Слайд 62

Описание слайда:

Нахождение обратной матрицы методом присоединённой матрицы Обратная матрица вычисляется по формуле

Слайд 63

Описание слайда:

Нахождение обратной матрицы методом присоединённой матрицы Пример. Найти методом присоединённой матрицы, где Решение. 1. , следовательно существует.

Слайд 64

Описание слайда:

Нахождение обратной матрицы методом присоединённой матрицы 2.

Слайд 65

Описание слайда:

Нахождение обратной матрицы методом присоединённой матрицы 2. (продолжение)

Слайд 66

Описание слайда:

Нахождение обратной матрицы методом присоединённой матрицы (продолжение)

Слайд 67

Описание слайда:

Нахождение обратной матрицы методом присоединённой матрицы 3.

Слайд 68

Описание слайда:

Нахождение обратной матрицы методом присоединённой матрицы Проверка: Ответ:

Слайд 69

Описание слайда:

Системы линейных уравнений В общем случае система с уравнениями и неизвестными имеет вид (1)

Слайд 70

Описание слайда:

Системы линейных уравнений Структурные составляющие:

Слайд 71

Описание слайда:

Системы линейных уравнений Пример: Здесь m=3, n=3,

Слайд 72

Описание слайда:

Системы линейных уравнений Решением системы называется такой набор чисел (с1, с2,…, сn), что при его подстановке в систему вместо соответствующих неизвестных (с1 вместо х1, …, сn вместо хn) каждое из уравнений системы обращается в тождество. Если система (1) имеет хотя бы одно решение, то она называется совместной; система, не имеющая ни одного решения, называется несовместной.

Слайд 73

Описание слайда:

Системы линейных уравнений Система называется определенной, если она имеет единственное решение; и неопределенной, если она имеет более одного решения.