Теория множеств - презентация, доклад, проект скачать

Нажмите для полного просмотра!

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Теория множеств. Доклад-сообщение содержит 31 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Описание слайда:

Теория множеств

Слайд 2

Описание слайда:

Понятие множества Под множеством понимается некоторая, вполне определенная совокупность объектов или элементов. Георг Кант: объединение в одно целое объектов, хорошо различимых нашей интуицией или мыслью.

Слайд 3

Описание слайда:

Определение Если a есть один из объектов множества А, то a есть элемент А, или принадлежит А. a  A Не принадлежность: a  A Определение. Множество А есть подмножество множества В (А  В), если каждый элемент А есть элемент В; то есть, если х  A, то х  В. В частности, каждое множество есть подмножество самого себя. А  В, если существует элемент А, не принадлежащий В.

Слайд 4

Описание слайда:

Определение Пусть А и В – некоторые множества. А равно В (А = В), если для любого х : х  A тогда и только тогда, когда х  В. А = В тогда и только тогда, когда А  В и В  А. Если А  В и А  В , то элемент записывают А  В, А есть собственное подмножество В. Определение. Пустое множество  или {}, есть множество, которое не содержит элементов. Универсальное множество U есть множество, обладающее свойством, что все рассматриваемые множества являются его подмножествами.

Слайд 5

Описание слайда:

Операции над множествами Определение. Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат и А, и В. Обозначается A  B. A  B = {х : х  A и х  В }. Определение. Пересечение множеств в общем случае: Если I = { 1, 2, 3, …, k }, то

Слайд 6

Описание слайда:

Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В. Обозначается А  В. A  B = {х : х  A и х  В }. Определение. Объединение множеств в общем случае: Пусть I = { 1, 2, 3, …, k }, то

Слайд 7

Описание слайда:

Определение Пусть А и В множества. Разностью множеств А – В называется множество всех тех и только тех элементов А, которые не содержатся в В. A - B = {х : х  A и х  В }. Симметрическая разность множеств А и В обозначается А  В есть множество (А – В)  (В – А) Определение. Дополнение множества А, обозначается А' - это множество элементов универсума, которые не принадлежат А. U - A = {х : х  U и х  A }.

Слайд 8

Описание слайда:

Теорема Для произвольных множеств А и В справедливо равенство А – В = А  В' Доказательство:

Слайд 9

Описание слайда:

Теорема Для произвольных множеств А и В имеет место а) (А  В)' = А'  В' б) (А  В)' = А'  В' Доказательство (а):

Слайд 10

Описание слайда:

Теорема Для произвольных множеств А, В и С справедливы равенства а) А  (В  С) = (А  В)  (А  С); б) А  (В  С) = (А  В)  (А  С); Доказательство (а):

Слайд 11

Описание слайда:

Определение Множество всех подмножеств множества А, или булеан множества А, обозначается P (A), есть множество, состоящее из всех подмножеств множества А. Следовательно, булеан множества А = {1, 2, 3} есть множество P (A) = {, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {2, 3}, {1, 3}, {1, 2, 3}}. Определение. Декартово произведение множеств А и В, обозначается А  В, есть множество {(a, b) : a  A и b  В }. Объект (a, b) называется упорядоченной парой с первой компонентой а второй компонентой b.

Слайд 12

Описание слайда:

Пусть А = {1, 2, 3}, и В = {r, s}. Тогда A  B = {(1, r), (1, s), (2, r), (2, s), (3, r), (3, s)}. Если каждое из множеств А и В представляет собой множество действительных чисел, то A  B представляет собой декартову плоскость, на которой упорядоченные пары чисел используются для графического изображения функций.

Слайд 13

Описание слайда:

Диаграммы Венна Перейдем к обозначениям, принятым в булевой записи А  В А  В

Слайд 14

Описание слайда:

Диаграммы Венна А - В

Слайд 15

Описание слайда:

Диаграммы Венна

Слайд 16

Описание слайда:

Диаграммы Венна

Слайд 17

Описание слайда:

Теорема Пусть А, В и С – подмножества универсального множества U . Тогда справедливы

Слайд 18

Описание слайда:

Слайд 19

Описание слайда:

Слайд 20

Описание слайда:

Мощность

Слайд 21

Описание слайда:

Определение Мощность множества есть просто количество содержащихся в нем элементов. Пустое множество есть конечное множество мощности 0. Если существует взаимно однозначное соответствие между множеством А и множеством {1, 2, 3, …, n}, то А есть конечное множество мощности n. Множество А называется счетно бесконечным, если существует взаимно однозначное соответствие между множеством А и множеством {1, 2, 3, …, n}. Множество называется счетным, если оно конечно или счетно бесконечно.

Слайд 22

Описание слайда:

Теорема а) Пусть А и В – непересекающиеся конечные множества. Тогда множество А  В конечно. Если А имеет мощность n и В имеет мощность m, то А  В имеет мощность m + n. б) Пусть А и В – непересекающиеся счетно бесконечные множества. Тогда множество А  В - счетно бесконечное множество. в) Пусть А и В – непересекающиеся счетные множества. Тогда множество А  В - счетное множество. Теорема. Подмножество счетного множества счетно.

Слайд 23

Описание слайда:

Теорема. Пусть S – счетно бесконечное множество, тогда множество SS также счетно бесконечное. Доказательство: Если N – множество натуральных положительных чисел, то N N счетно.

Слайд 24

Описание слайда:

По диагональным стрелкам определяют соотношение : (1)=(1, 1), (2)=(1, 2), (3)=(2, 1), (4)=(1, 3), (5)=(2, 3)… Функция  устанавливает взаимно однозначное соответствие. Упорядоченная пара (m, n) расположена на m+n -1 диагонали и является m-ым элементом вдоль диагональной линии.  Множество NN счетно. S – счетно бесконечное множество.  Существует взаимно однозначное соответствие  : N  S. Соответствие    : N  N  S  S определяется так:    (a, b) = ( (a), (b)). Функция    устанавливает взаимно однозначное соответствие между множествами N  N и S  S.

Слайд 25

Описание слайда:

Теорема. Множество Q+ положительных рациональных чисел является счетно бесконечным. Доказательство: Рассмотрим подмножество М множества N  N вида {(a, b): (a, b)   N, а и b – взаимно простые}. Функция  : Q+  M ,  (a / b ) = (a, b) – есть искомое взаимно однозначное соответствие. Множество N  N - счетно бесконечное множество  М также счетно бесконечное.  Q+ – счетно бесконечное множество.

Слайд 26

Описание слайда:

Теорема. Если А и В – счетные множества, то А  В также счетно. Доказательство: Множество А – В счетно как подмножество счетного множества А. Множества А – В не пересекаются, следовательно (А – В)  В = А  В являются счетными. Все множества счетны?! Существуют бесконечные, но несчетные множества!

Слайд 27

Описание слайда:

Теорема. Пусть R – множество действительных чисел. Множество I = {x : x  R и 0< x < 1} не является счетным.

Слайд 28

Описание слайда:

Теорема. Множество действительных R несчетно. Доказательство: Если бы R было счетным, то множество I  R было бы счетным.

Слайд 29

Описание слайда:

Теорема. Не существует взаимно однозначного соответствия между множеством S и его булеаном P(S).

Слайд 30

Описание слайда:

Пример (Парадокс Рассела) Пусть S – множество всех множеств. Пусть W = {x : x x }. Пустое множество принадлежит W, т.к. оно не принадлежит самому себе. На самом деле, большинство множеств принадлежит W. Однако S не принадлежит W, т.к. S  S. W W ? Если W  W, то оно принадлежит множеству всех множеств, которые сами себе не принадлежат.  W  W. Однако, если предположить W  W, то W принадлежит множеству всех множеств, которые не принадлежат сами себе. Таким множеством является W  W  W. Противоречие.