🗊Презентация Теория вероятностей и математическая статистика

Теория вероятностей и математическая статистика

Понятие случайного события Случайное событие – это любой факт, который в результате испытания может произойти или не произойти. Случайное событие – это результат испытания. Испытание – это эксперимент, выполнение определенного комплекса условий, в которых наблюдается то или иное явление, фиксируется тот или иной результат. События обозначаются заглавными буквами латинского алфавита А,В,С. Численная мера степени объективности возможности наступления события называется вероятностью случайного события.

Примеры случайных событий Подбрасывание монеты Выпадение орла Выпадение решки Бросание игральной кости Вытаскивание карты из игральной колоды Стрельба по мишени

Определение вероятности Вероятностью события называется отношение числа элементарных исходов, благоприятствующих данному событию, к числу всех равно­возможных исходов опыта в котором может появиться это  событие. Вероятность события А обозначают через Р(А) (здесь Р - первая буква французского слова probabilité - вероятность). В соответствии с определением P(A)=m/n где m - число элементарных исходов, благоприятствующих событию А; n - число всех равновозможных элементарных исходов опыта, образующих полную группу событий. Это определение вероятности называют классическим. Оно возникло на начальном этапе развития теории вероятностей.

Основные теоремы теории вероятностей Теорема умножения вероятностей Теорема сложения вероятностей Теорема гипотез (формула Бейеса)

Теорема умножения вероятностей. Событие A называется независимым от события B, если вероятность события A не зависит от того, произошло событие B или нет. Событие A называется зависимым от события B, если вероятность события A меняется в зависимости от того, произошло событие B или нет. Вероятность события A, вычисленная при условии, что событие B уже произошло, называется условной вероятностью события A и обозначается P(A/B). Условие независимости события A от события B можно записать в виде P(A/B)=P(A) . Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место: P(AB)=P(A)P(B/A) или P(AB)=P(B)P(A/B). Если событие A не зависит от события B, то событие B не зависит от события A. При этом вероятность произведения событий равна произведению их вероятностей: P(AB)=P(A)P(B)

Теорема умножения вероятностей Пример: Имеется 3 ящика, содержащих по 10 деталей. В первом ящике 8, во втором - 7 и в третьем 9 стандартных деталей. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что все три вынутые детали окажутся стандартными. Вероятность того, что из первого ящика вынута стандартная деталь (событие A) равна P(A)=8/10=0,8. Вероятность того, что из второго ящика вынута стандартная деталь (событие B) равна P(B)=7/10=0,7. Вероятность того, что из третьего ящика вынута стандартная деталь (событие C) равна P(C)=9/10=0,9.

Теорема сложения вероятностей Теорема сложения вероятностей совместных событий Если события  и  совместны, то вероятность появления одного из них равна сумме их вероятностей минус вероятность их одновременного появления. P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A*B) В случае если события A и B  несовместны, то есть P(A*B)=0 , то имеет место следующая теорема. Теорема сложения вероятностей несовместных событий Вероятность появления одного из двух несовместимых событий A и B равна сумме их вероятностей: P(A+B)=P(A)+P(B)

Теорема сложения вероятностей Примеры: Охотник стреляет в мишень, разделенную на четыре области. Вероятность попадания в первую область равна 0,29; во вторую – 0,23 ; в третью – 0,4. Найти вероятность того, что охотник попадет в первую или во вторую, или в третью мишень. Обозначим D - событие, вероятность которого необходимо найти, A - охотник попадет в первую область, B – охотник попадет во вторую область, C - охотник попадет в третью область. По условию P(A)=0,29;P(B)=0,23;P(C)=0,4.События A,B,C - несовместны, поэтому по теореме о сложении вероятности несовместных событий имеем: P(D)=P(A)+P(B)+P(C)=0,92

Теорема сложения вероятностей Примеры: В коробке 30 шариков: 17 белых; 9 красных и 4 черных. Какая вероятность того, что взятый наугад шарик будет не черным? Пусть событие А - "взятый шарик не черный". Тогда противоположное событие В - "взятый шар черный". P(A)=4/(17+9+4)=2/15 Тогда, по следствию из теоремы о сумме вероятностей, P(A)+P(B)=1 вероятность события B равна P(B)=1-P(A)=1-2/15=13/15

Теорема гипотез (формула Бейеса) Если событие А может происходить только с одной из гипотез, которые образуют полную группу событий, то вероятность гипотез при условии, что событие А произошло, вычисляется по формуле: Пример: Электролампы изготовляются на двух заводах. Первый завод производит 60% общего количества электроламп, второй – 40%. Продукция первого завода содержит 70% стандартных ламп, второго – 80%. В магазин поступает продукция обоих заводов. Лампочка купленная в магазине оказалась стандартной. Найти вероятность того, что лампа изготовлена на первом заводе.

Теорема гипотез (формула Бейеса) Событие А состоит в том, что лампа стандартная. Гипотеза Н1 состоит в том, что лампа изготовлена на первом заводе  P(H1)=0,6; PH1(A)=0,7 Гипотеза H2 состоит в том, что лампа изготовлена на втором заводе P(H2)=0,4; PH2(A)=0,8

Элементы математической статистики Среднее арифметическое(в математике и статистике) множества чисел  - число, равное сумме всех чисел множества, делённой на их количество. Пример: Утром температура была 15 градусов, днём она поднялась до 27 градусов, а вечером опустилась до 19, ночью температура достигла отметки в 11 градусов. Найти среднюю температуру за сутки. Сначала найдём общую сумму температур за сутки: 15 + 27 + 19 + 11 = 72 затем разделим полученную сумму на 4: 72 : 4 = 18 Ответ: средняя температура за сутки равна 18 градусам.

Элементы математической статистики Мода— значение во множестве наблюдений, которое встречается наиболее часто. Медиана – это значение признака, приходящееся на середину ранжированной совокупности. Иначе медиана – это величина, которая делит численность упорядоченного вариационного ряда на две равные части – одна часть имеет значения варьирующего признака меньшие, чем средний вариант, а другая – большие.

Элементы математической статистики Пример: найти моду и медиану.

Элементы математической статистики В данном примере модальный интервал находится в пределах возрастной группы 25-30 лет, так как на этот интервал приходится наибольшая частота (1054). Рассчитаем величину моды: Это значит что модальный возраст студентов равен 27 годам. Вычислим медиану. Медианный интервал находится в возрастной группе 25-30 лет, так как в пределах этого интервала расположена варианта, которая делит совокупность на две равные части (Σfi/2 = 3462/2 = 1731). Далее подставляем в формулу необходимые числовые данные и получаем значение медианы: Это значит что одна половина студентов имеет возраст до 27,4 года, а другая свыше 27,4 года.

Элементы математической статистики Размахом ряда чисел называется разность между наибольшим и наименьшим из этих чисел. Размах ряда 5,24, 6,97, 8,56, 7,32, 6,23 равен 8,56-5,24=3,32

Дискретная случайная величина Дискретная случайная величина — это случайная величина, множество значений которой не более чем счётно (то есть конечно или счётно).Очевидно, значения дискретной случайной величины не содержат какой-либо непрерывный интервал на числовой прямой. Примеры:  Любая случайная величина, принимающая целочисленные значения. Моменты испускания альфа-частиц атомом радиоактивного элемента.

Математическое ожидание Математическое ожидание— среднее значение случайной величины (распределение вероятностей стационарной случайной величины) при стремлении количества выборок или количества измерений (иногда говорят — количества испытаний) её к бесконечности. Среднее арифметическое одномерной случайной величины конечного числа испытаний обычно называют оценкой математического ожидания. При стремлении числа испытаний стационарного случайного процесса к бесконечности оценка математического ожидания стремится к математическому ожиданию. Математическое ожидание — одно из основных понятий в теории вероятностей.

Закон больших чисел Закон больших чисел (ЗБЧ) это принцип, который описывает результат выполнения одного и того же эксперимента много раз. Согласно закону, среднее значение конечной выборки из фиксированного распределения близко к математическому ожиданию этого распределения. ЗБЧ важен, поскольку он гарантирует устойчивость для средних значений некоторых случайных событий при достаточно длинной серии экспериментов. Важно помнить, что закон применим только тогда, когда рассматривается большое количество испытаний. Применяется во многих науках и сферах.