🗊Презентация מדדי פיזור לשילוב

תיאור התפלגות-מדדי פיזור או על מה שמדדי הנטייה למרכז לא מספרים לנו.....! טווח/תחום (R-range) טווח/תחום בין רבעוני(IQR-inter-quartile range) שונות (variance) סטיית תקן (standard deviation)

הצגת הבעיה: מדדי הנטייה למרכז (שכיח, חציון, ממוצע) מתארים את הערך ה"טיפוסי" בקבוצה, אך אינם מתארים את המידה שבה יש חריגות מאותו ערך טיפוסי!

דוגמא: לפניכם תיאור של שתי התפלגויות (א,ב). חישבו בהן את המדדים : שכיח, חציון, וממוצע . 3 א ב 3, 3, 3, 3 2, 3, 3, 4

האם הקבוצות זהות בהרכבן? א ב 3, 3, 3, 3 2, 3, 3, 4

הגדרה כללית של מדדי פיזור: מדדים סטטיסטיים המשקפים את מידת פיזורם של הערכים (=התצפיות) בהתפלגות. למשל: ציונים בכיתה מדד פיזור קובע את מידת ההומוגניות או ההטרוגניות של ההתפלגות: הומוגניות – עד כמה קיים דמיון בין הנתונים, עד כמה הם מקובצים סביב הממוצע. הטרוגניות – עד כמה קיימים הבדלים ושוני בין הנתונים, עד כמה הם מפוזרים על פני הטווח.

מדדי פיזור מדדי הפיזור מתארים את המידה שבה האיברים בקבוצה שונים אלה מאלה. במסגרת הקורס נכיר ארבעה סוגים מרכזיים של מדדי פיזור: טווח/תחום (range) תחום בין-רבעוני (inter-quartile range) שונות (variance) סטיית תקן (standard deviation) הערה: קיימים מדדים נוספים עליהם לא נדבר בקורס זה: אחוז שגיאה -זהו אחוז המקרים בהם איבר שונה מן השכיח של הקבוצה שלו. ניתן לחישוב עבור כל סולמות המדידה-אך אינו שימושי במיוחד!

מדדי פיזור לעומת מדדי הנטייה למרכז שימו לב כי כל אחד ממדדי הפיזור מתאים למדדי נטייה למרכז מסויימים! בחלק מהמדדים גם עושים שימוש במדד נטייה למרכז על מנת לחשב את מדד הפיזור:

טווח/תחום (R-range)

טווח/תחום (Range) הטווח נותן אמדן גס למידת הפיזור של המשתנים. המדד מציין את הטווח שעליו מתפרסים הערכים בקבוצה (=התצפיות בהתפלגות). הטווח הוא ההפרש בין הערך הגבוה ביותר בקבוצה (=התצפית הגדולה ביותר) לבין הערך הנמוך ביותר (התצפית הנמוכה ביותר) דוגמא: בסדרת המספרים הבאה: 1, 7, 12, 55, 104 הטווח הוא: 103 = 1 – 104

מאפייני הטווח/תחום הטווח משמש לחישוב מהיר ונוח לערכי ההתפלגות. הטווח לוקח בחשבון רק את שני הערכים הקיצוניים-כלומר מתבסס על קצוות ההתפלגות, תוך התעלמות ממרכז ההתפלגות-פיזור הערכים בסדרה הסטטיסטית. הטווח, בדומה למדד המרכזי אמצע הטווח, אינו "מתחשב" בפיזור הנתונים וכן במספרם הטווח מושפע מערכים קיצוניים! דוגמא: בסדרה 1, 50, 50, 50, 50, 50, 50, 50, 100 הטווח (100-1=99) אינו משקף את העובדה שכלל אין פיזור במרבית ההתפלגות! ביטוי של החסרון של הטווח: קיומם של ערכים חריגים,קיצוניים-יוצא שהם קובעים את מידת הפיזור! ניתן לחישוב עבור משתני רווח ומנה. עבור משתנה סדר ניתן רק לציין את הערכים שבינייהם ממוקמות כל התצפיות בקבוצה (דוגמא: באוסף חולצות בגדלים: S, S, M, L, XL, XXL, ניתן רק לומר שהגדלים הקיימים הם בין S לבין XXL) הטווח אינו משמש לחישובים סטטיסטיים מתקדמים!

שונות (variance)

השונות משקפת את המידה שבה האיברים בקבוצה שונים מן הממוצע (סטיות מן הממוצע). השונות משקפת את המידה שבה האיברים בקבוצה שונים מן הממוצע (סטיות מן הממוצע). למשל, בקבוצה [1, 3, 5, 7, 9] הממוצע הוא 5. 1 שונה מ-5 ב-4 3 שונה מ-5 ב-2 5 שונה מ-5 ב-0 7 שונה מ-5 ב-2- 9 שונה מ-5 ב-4- השונות לוקחת בחשבון סטיות אלו מן הממוצע כדי לתת אמדן למידת הפיזור של האיברים בקבוצה. סיכום כלשהו של הסטיות מן הממוצע מהווה אמדן למידת הפיזור של המשתנה! אך החיים לא כ"כ פשוטים....!

מה קורה כאשר מסכמים את הסטיות?

דוגמא: טבלת פיזור ציוני הסטודנטים סביב הממוצע (70)

פתרון לחישוב השונות (התמודדות עם הבעיה שסכום רגיל של הסטיות מן הממוצע יהיה תמיד 0 ):

ובדוגמא של הציונים...

חישוב שונות באקסל

נוסחא לחישוב השונות השונות (s2) היא אם כך: סכום (S) הסטיות המרובעות 2( (ממוצע) – xi (תצפית)) חלקי מספר התצפיות בקבוצה (n)

המעבר משונות לסטיית תקן-הצגת הבעיה השונות- משמשת מדד פיזור בחישובים סטטיסטיים מתקדמים. אך יש כאן שתי בעיות: א. הערך של השונות גדול יחסית מהפערים בין הנתונים, בגלל החישוב של ריבועי הפערים. ב. יחידות המדידה הן בריבוע ולכן לא ניתן להשוותם לממוצע! (לדוגמא: מדדנו גובה במטרים,הממוצע יהיה במטרים,אך השונות תהיה במטרים בריבוע!) פתרון כדי לקרב את הערך של המדד עד כמה שאפשר לסדרי הגודל של הפערים וגם ע"מ לחזור ליחידות המדידה המקוריות- "נוציא שורש" ריבועי מהערך המספרי של השונות- זאת סטיית התקן !

סטית התקן- standard STDEV=deviation

השונות מהווה את הסטייה הריבועית הממוצעת מן הממוצע. השונות מהווה את הסטייה הריבועית הממוצעת מן הממוצע. על מנת לקבל אמדן לסטייה הממוצעת (שימו לב-ולא הסטייה הריבועית הממוצעת!), מחשבים את שורש השונות. זו סטיית התקן: סטית התקן מהווה אמדן למידה שבה הערכים בקבוצה שונים מממוצע הקבוצה! כלומר: זהו מדד המשקף את ממוצע הפערים של הסטיות מהממוצע

שלבים בחישוב סטיית תקן (מבוצע ע"י המחשב-לא לדאוג!) א. חישוב הממוצע ב. חישוב הפער בין כל ציון לבין הממוצע והעלאתו בריבוע ג. חישוב סכום הריבועים ד. חלוקה למספר הנבדקים ה. הוצאת שורש ריבועי

חישוב סטיית תקן באקסל-עבור טור

חישוב סטיית תקן באקסל-עבור קבוצה (בעזרת טבלת ציר) מבוסס על מאגר אקסל 6

מאפיינים כלליים של השונות וסטיית התקן ניתנים לחישוב עבור משתני רווח ומנה בלבד! משמשים להסקה סטטיסטית. כמו כל מדדי הפיזור, הם מהווים אמדן למידת ההטרוגניות/הומוגניות של הקבוצה. נלקחים בחשבון כל האיברים בקבוצה. ערכים קיצוניים (שלהם סטייה גבוהה מן הממוצע) מקבלים משקל יתר (בגלל ההעלאה של הסטיות בריבוע)! המשמעות של כך, היא שגם מספר מצומצם של ערכים קיצוניים יכולים להוביל לכך שתתקבלנה שונות וסטיית תקן גבוהות, ועל כן, כביכול, עדות להטרוגניות גבוהה! אז זהירות בהסקת מסקנות מרחיקות לכת!

המשמעויות והמאפיינים של סטית התקן

א. גודל סטיית התקן א. גודל סטיית התקן סטיית תקן גדולה - הטרוגניות של הנתונים – פיזור גדול! סטיית תקן קטנה - הומוגניות של הנתונים - פיזור קטן! ב. סטיית התקן נמדדת ביחידות המדידה של המשתנה. דוגמא: המשתנה "משקל" נמדד בק"ג, סטיית התקן אף היא נמדדת בק"ג.

ג. התפלגות נורמלית בהתפלגות נורמלית כ- 68% מהאוכלוסייה נמצאים במרחק של סטיית תקן אחת מעל הממוצע ומתחת לממוצע.

ד. ישנה זיקה בין "טווח" לגודל של סטיית התקן: 1. בהתפלגות נורמלית סטיית התקן שווה לשישית מטווח הנתונים. דוגמא: אם בהתפלגות נורמלית, הטווח שווה ל- 60, אז סטיית התקן שווה בערך ל- 10 (1/6 של 60 = 10). 2. בהתפלגות שאינה נורמלית, סטיית התקן שווה: בין שליש מהגודל של טווח הערכים לרבע ממנו. דוגמא: אם הטווח שווה ל- 22, אז סטיית התקן יכולה לקבל ערכים בין 5.5 ל- 7 (1/3 מהטווח שווה ל- 7, רבע ממנו שווה ל- 5.5). שימו לב! מדובר בהערכה של הגודל של סטיית התקן, את הערך המדויק מקבלים תמיד על ידי חישוב!

3. כאשר כל הנתונים שווים זה לזה 3. כאשר כל הנתונים שווים זה לזה סטיית התקן הנה מינימלית - שווה לאפס. במצב זה המשתנה "קבוע" (כולם בני 15 או בגובה 169). 4. כאשר קיימים שני נתונים במדגם, סטיית התקן הנה המקסימלית, ואינה יכולה לעלות על מחצית טווח הערכים. דוגמא: סטיית התקן של שני ציונים 68 ו- 72 = 2 הסבר: הטווח שווה ל 4 (68 – 72), סטיית התקן שווה ל 2 (1/2 מ- 4)

ה. השפעת גודל המדגם על סטיית התקן: ככל שגודל המדגם עולה, סטיית התקן קטנה.

ו. סטיית התקן בזיקה לשינויים (טרנספורמציה) בנתונים

טווח/תחום בין-רבעוני (IQR= Inter-Quartile Range)

מדד זה מתאר את מידת הפיזור של האיברים במרכז ההתפלגות. מדד זה מתאר את מידת הפיזור של האיברים במרכז ההתפלגות. מבוסס על חלוקת קבוצת האיברים בהתפלגות לרבעונים: הרבעון הראשון (Q1) הוא הערך ש-25% מן האיברים בקבוצה נמוכים ממנו הרבעון השני (Q2) הוא הערך ש-50% מן האיברים בקבוצה נמוכים ממנו ( זה למעשה חציון!) הרבעון השלישי (Q3) הוא הערך ש-75% מן האיברים בקבוצה נמוכים ממנו

דוגמאת חישוב רבעונים-מס' אי זוגי של איברים בקבוצה הבאה תשעה איברים: א. נחלק את הסדרה לשני חלקים, מסביב לחציון ב. כעת נמצא את החציון של כל אחד מן החלקים 3, 5, 7, 8, 9, 21, 40, 90, 120 Q1=(5+7)/2=6 Q3=(40+90)/2=65 IQR=65-6=59

חישוב IQR באקסל:

דוגמאת חישוב רבעונים-מס' זוגי של איברים נחלק את הסדרה לשני חלקים, מסביב לחציון כעת נמצא את החציון של כל אחד מן החלקים

חישוב רבעונים – נוסחאות כלליות נוסחא כללית ל-n אי-זוגי: הרבעון הראשון הוא האיבר הנמצא במקום ה- הרבעון השלישי נמצא במקום ה- נוסחא כללית ל-n זוגי: הרבעון הראשון הוא האיבר הנמצא במקום ה- הרבעון השלישי נמצא במקום ה-

חישוב טווח בין-רבעוני מטבלת שכיחויות: מחפשים את הקטגוריה (המקום) לפי שכיחות מצטברת Q1 נמצא במקום ה- Q3 נמצא במקום ה- IQR = Q3-Q1 = 2-0 = 2

המגבלות/חסרונות של IQR התחום הבין-רבעוני אינו נותן את התמונה המלאה של ההתפלגות,כי הוא מתעלם מהקצוות ומתמקד רק במרכז ההתפלגות! (שימו לב! בניגוד ל"טווח"-העוסק דווקא בקצוות ההתפלגות!). לדוגמא, בסדרה : 1, 50, 50, 50, 50, 50, 50, 50, 100 הטווח הבין-רבעוני (0) אינו משקף את העובדה שקצות ההתפלגות רחוקות מאוד ממרכזה! לא משמש להסקה סטטיסטית!

שימושים של הטווח הבין-רבעוני נוח לשימוש בהתפלגויות א-סימטריות! לא מושפע מערכים קיצוניים! ניתן לחישוב עבור משתני רווח ומנה. עבור משתנה בסולם סודרי -ניתן רק לציין את הערכים שביניהם ממוקמות התצפיות שבמרכז ההתפלגות. דוגמא: תוצאות לגבי משתנה רציף שנמצא בסקר

דוגמאות מהספרות:

סיכום: זיקה בין מדדי הנטייה למרכז לבין מדדי הפיזור

זיקה בין המושגים: מדדי פיזור ומרכז וסולמות המדידה

הדגמת מאמר בחינוך: http://users.ipfw.edu/isiorho/TEACHING%20GEOLOGY%20COURSES%20ONLINE.htm