Дифференциальные уравнения - презентация, доклад, проект скачать

Нажмите для полного просмотра!

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Дифференциальные уравнения. Доклад-сообщение содержит 36 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Описание слайда:

Слайд 2

Описание слайда:

Глава 1. Дифференциальные уравнения

Слайд 3

Описание слайда:

§1. Основные понятия ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ) называется уравнение, связывающее независимую переменную x, искомую функцию y = y(x) и ее производные y (x) , y (x) , … , y(n)(x) .  в общем случае ОДУ имеет вид F(x, y , y  , y  , y  , … , y(n)) = 0 . Порядок старшей производной, входящей в ОДУ, называется порядком дифференциального уравнения. ПРИМЕР. Определить порядок уравнений:

Слайд 4

Описание слайда:

Замечание. Уравнение, связывающее неизвестную функцию Замечание. Уравнение, связывающее неизвестную функцию n переменных, ее аргументы и ее частные производные, называется уравнением в частных производных. Функция y = (x) называется решением дифференциального уравнения на интервале (a;b), если при ее подстановке в это уравнение получается тождество, справедливое для всех x из интервала (a;b). ПРИМЕР. 1) y = cosx – решение ДУ y  + y = 0 на (–  , + ) ; 2) – решение ДУ в интервале (– 1 ; 1) . Уравнение Φ(x,y) = 0 , задающее в неявном виде решение дифференциального уравнения, называется интегралом дифференциального уравнения.

Слайд 5

Описание слайда:

Слайд 6

Описание слайда:

Слайд 7

Описание слайда:

Слайд 8

Описание слайда:

Задача нахождения решения дифференциального уравнения F(x,y,y )=0, удовлетворяющего начальному условию y(x0) = y0, называется задачей Коши. Задача нахождения решения дифференциального уравнения F(x,y,y )=0, удовлетворяющего начальному условию y(x0) = y0, называется задачей Коши. Теорему 1 называют теоремой существования и единственности решения задачи Коши для ДУ 1-го порядка, разрешенного относительно производной. Решение (интеграл), в каждой точке которого выполняется условие единственности, называется частным. Решение (интеграл) y = (x), в каждой точке которого нарушено условие единственности (т.е. через каждую точку кривой y = (x) проходит еще хотя бы одна, отличная от y = (x), интегральная кривая), называется особым. График особого решения называют особой интегральной кривой уравнения.

Слайд 9

Описание слайда:

Замечание. Теорема 1 дает достаточные условия существо- вания и единственности решения задачи Коши. Замечание. Теорема 1 дает достаточные условия существо- вания и единственности решения задачи Коши.  Возможно, что в точке (x0,y0) условия теоремы 1 не вы- полняются, а решение y = y(x) уравнения (2), удовлет- воряющее условию y(x0) = y0, существует и единственно. Из теоремы 1  1) вся область D покрыта интегральными кривыми уравнения (2), которые нигде между собой не пересекаются; 2) ДУ (2) имеет множество решений. Совокупность решений зависит от произвольной постоянной.

Слайд 10

Описание слайда:

Слайд 11

Описание слайда:

Любое решение (интеграл), получающееся из общего решения (интеграла) при конкретном значении постоянной C (включая C = ), является частным. Любое решение (интеграл), получающееся из общего решения (интеграла) при конкретном значении постоянной C (включая C = ), является частным. Особое решение, очевидно, не входит в общее решение дифференциального уравнения. Особое решение всегда «теряется» в процессе интегрирования и обладает тем свойством, что оно может быть включено в общее решение, если допустить C = C(x) . С геометрической точки зрения особая интегральная кривая является огибающей семейства интегральных кривых. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Линия ℓ называется огибающей однопара- метрического семейства кривых, если она в каждой своей точке касается одной кривой семейства, причем в различных точках она касается различных кривых.

Слайд 12

Описание слайда:

ПРИМЕР. Прямые y =  R являются огибающими семейства окружностей (x + C)2 + y2 = R2 . ПРИМЕР. Прямые y =  R являются огибающими семейства окружностей (x + C)2 + y2 = R2 .

Слайд 13

Описание слайда:

Слайд 14

Описание слайда:

Слайд 15

Описание слайда:

Слайд 16

Описание слайда:

Замечания. Замечания. 1) Деление на 1(y)  f2(x) может привести к потере решений. Поэтому чтобы получить полное решение, необхо- димо рассмотреть корни уравнений 1(y) = 0, f2(x) = 0. 2) Обычная форма дифференциального уравнения с разделяющимися переменными имеет вид: y  = f(x)  (y) . Рассмотрим уравнение y  = f(ax + by + c) , (6) где a , b и c – некоторые числа. Оно приводится к уравнению с разделяющимися переменными заменой z(x) = ax + by + c и его общий интеграл имеет вид:

Слайд 17

Описание слайда:

Слайд 18

Описание слайда:

Дифференциальное уравнение первого порядка Дифференциальное уравнение первого порядка y  = f(x , y) называется однородным относительно x и y, если функция f(x , y) является однородной нулевой степени. Дифференциальное уравнение M(x , y)dx + N(x , y)dy = 0 является однородным относительно x и y, если функции M(x , y) и N(x , y) – однородные функции одного и того же измерения. Однородное уравнение приводится к уравнению с разделя- ющимися переменными заменой Замечание. Некоторые однородные уравнения проще интегри- руются с помощью замены

Слайд 19

Описание слайда:

Слайд 20

Описание слайда:

Слайд 21

Описание слайда:

б) Если Δ = 0 , то уравнение (7) приводится к уравнению с разделяющимися переменными. б) Если Δ = 0 , то уравнение (7) приводится к уравнению с разделяющимися переменными. Действительно, если Δ = 0 , то строки определителя Δ про- порциональны, т.е. a2 = a1 , b2 = b1 . Тогда  y  = (a1x + b1y) . Это уравнение (6) (см. §4). Оно приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью замены z(x) = a1x + b1y .

Слайд 22

Описание слайда:

2. Обобщенно однородные уравнения Уравнение 1-го порядка называется обобщённо однородным, если существует такое рациональное число , что каждое слагаемое уравнения – однородная функция степени m отно- сительно x, y, y  (относительно x, y, dx, dy), если считать x – величиной измерения 1, y – величиной измерения , y (dy) – величиной измерения  – 1, dx – величиной измерения 0. Иначе говоря, уравнение P(x , y)dx + Q(x , y)dy = 0 – обобщен- но однородное, если ℚ такое, что P(tx , ty)dx + Q(tx , ty)  (t  dy) = tm  [ P(x , y)dx + Q(x , y)dy ] . Обобщенно однородное уравнение приводится к однородному уравнению заменой y = z . Обобщенно однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными заменой y = zx .

Слайд 23

Описание слайда:

Слайд 24

Описание слайда:

Слайд 25

Описание слайда:

2) Полагаем, что решение неоднородного уравнения по структуре совпадает с решением соответствующего линей- ного однородного уравнения. 2) Полагаем, что решение неоднородного уравнения по структуре совпадает с решением соответствующего линей- ного однородного уравнения.  Оно имеет вид Функцию C(x) найдем, подставив y и y  в исходное неод- нородное уравнение (8). Получим: Таким образом, общее решение линейного неоднородного уравнения (8) имеет вид: (10)

Слайд 26

Описание слайда:

Замечания. Замечания. 1) Раскроем скобки в (10): (11) Заметим, что первое слагаемое в (11) – общее решение линейного однородного уравнения, а второе – частное решение линейного неоднородного уравнения (получается из общего решения при C = 0). 2) Так как ex  0, то любую функцию y(x) можно записать в виде Это является основанием метода вариации постоянной.

Слайд 27

Описание слайда:

II) Метод Бернулли. II) Метод Бернулли. Будем искать решение (8) в следующем виде: y = u(x)  v(x) . Тогда y  = u   v + u  v  . Подставим y и y  в уравнение (8) и получим: u   v + u  v  + puv = f(x) или u   v + u  [ v  + pv ] = f(x) . Полагаем, что функция v(x) такова, что [ v  + pv ] = 0 . Тогда u   v = f(x) .

Слайд 28

Описание слайда:

Условия (12) позволяют однозначно определить v(x) и u(x) . Условия (12) позволяют однозначно определить v(x) и u(x) . При этом получим Замечание. Линейное неоднордное уравнение вида y  + a  y = b проще интегрировать как уравнение с разделяющимися переменными

Слайд 29

Описание слайда:

Слайд 30

Описание слайда:

2) Решив получившееся после замены линейное уравнение методом Бернулли, получим: 2) Решив получившееся после замены линейное уравнение методом Бернулли, получим: z = u(x)  v(x) , Таким образом, решение уравнения Бернулли можно сразу искать в виде произведения двух функций методом Бернулли, не приводя предварительно к линейному уравнению.

Слайд 31

Описание слайда:

Слайд 32

Описание слайда:

ТЕОРЕМА 2. ТЕОРЕМА 2. Пусть функции M(x , y) , N(x , y) определены и непрерывны в области D плоскости xOy и имеют в ней непрерывные частные производные Для того чтобы выражение M(x , y)dx + N(x , y)dy представляло собой полный дифференциал некоторой функции u(x , y) , необходимо и достаточно, чтобы во всех точках области D выполнялось условие

Слайд 33

Описание слайда:

Способы нахождения функции u(x , y): Способы нахождения функции u(x , y): 1) используя алгоритм, предложенный в доказательстве теоре- мы 2; 2) используя одну из следующих формул: где (x0 ,y0) – любая точка области D непрерывности функций M(x , y), N(x , y).

Слайд 34

Описание слайда:

3) методом интегрируемых комбинаций. 3) методом интегрируемых комбинаций. Суть метода интегрируемых комбинаций: выделить в M(x , y)dx + N(x , y)dy выражения, являющиеся дифференциалами известных функ- ций («интегрируемые комбинации») и привести его таким образом к виду du(x , y) . ПРИМЕРЫ интегрируемых комбинаций:

Слайд 35

Описание слайда:

Слайд 36

Описание слайда:

ТЕОРЕМА 3 (о существовании интегрирующего множителя вида (x) или (y)). ТЕОРЕМА 3 (о существовании интегрирующего множителя вида (x) или (y)). Пусть 1) Если  = (x), то уравнение (14) имеет интегрирующий множитель (x), который является решением уравнения 2) Если  = (y), то уравнение (14) имеет интегрирующий множитель (y), который является решением уравнения

Теги Дифференциальные уравнения

Похожие презентации