Дифференциальные уравнения высших порядков - презентация, доклад, проект скачать

Нажмите для полного просмотра!

Дифференциальные уравнения высших порядков, слайд №1

Дифференциальные уравнения высших порядков, слайд №2

Дифференциальные уравнения высших порядков, слайд №3

Дифференциальные уравнения высших порядков, слайд №4

Дифференциальные уравнения высших порядков, слайд №5

Дифференциальные уравнения высших порядков, слайд №6

Дифференциальные уравнения высших порядков, слайд №7

Дифференциальные уравнения высших порядков, слайд №8

Дифференциальные уравнения высших порядков, слайд №9

Дифференциальные уравнения высших порядков, слайд №10

Дифференциальные уравнения высших порядков, слайд №11

Дифференциальные уравнения высших порядков, слайд №12

Дифференциальные уравнения высших порядков, слайд №13

Дифференциальные уравнения высших порядков, слайд №14

Дифференциальные уравнения высших порядков, слайд №15

Дифференциальные уравнения высших порядков, слайд №16

Дифференциальные уравнения высших порядков, слайд №17

Дифференциальные уравнения высших порядков, слайд №18

Дифференциальные уравнения высших порядков, слайд №19

Дифференциальные уравнения высших порядков, слайд №20

Дифференциальные уравнения высших порядков, слайд №21

Дифференциальные уравнения высших порядков, слайд №22

Дифференциальные уравнения высших порядков, слайд №23

Дифференциальные уравнения высших порядков, слайд №24

Дифференциальные уравнения высших порядков, слайд №25

Дифференциальные уравнения высших порядков, слайд №26

Дифференциальные уравнения высших порядков, слайд №27

Дифференциальные уравнения высших порядков, слайд №28

Дифференциальные уравнения высших порядков, слайд №29

Дифференциальные уравнения высших порядков, слайд №30

Дифференциальные уравнения высших порядков, слайд №31

Дифференциальные уравнения высших порядков, слайд №32

Дифференциальные уравнения высших порядков, слайд №33

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Дифференциальные уравнения высших порядков. Доклад-сообщение содержит 33 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Описание слайда:

Глава 1. Дифференциальные уравнения

Слайд 2

Описание слайда:

§1. Основные понятия и определения Дифференциальными уравнениями высшего порядка называ- ют уравнения порядка выше первого. В общем случае ДУ высшего порядка имеет вид F(x, y , y  , y  , y  , … , y(n)) = 0 , (1) где n > 1 . Замечание. Функция F может и не зависеть от некоторых из аргументов x, y, y , y , … , y(n–1) . ДУ высшего порядка, которое можно записать в виде: y(n) = f(x, y , y  , y  , … , y(n–1)) , (2) называют уравнением, разрешенным относительно стар- шей производной.

Слайд 3

Описание слайда:

ДУ порядка n имеет множество решений (интегралов). ДУ порядка n имеет множество решений (интегралов). Чтобы выбрать одно из них, задают n условий, которым должно удовлетворять искомое решение. Обычно, задают значение искомой функции и всех ее производных до порядка n – 1 включительно при некотором значении аргумента x = x0 : y(x0) = y0 , y  (x0) = y01 , y  (x0) = y02 , … , y(n–1)(x0) = y0n–1 . (3) Совокупность условий (3) называется начальными условиями для дифференциального уравнения n-го порядка. Нахождение решения уравнения (1) (или (2)), удовлет- воряющего заданным начальным условиям (3), называется решением задачи Коши для этого уравнения.

Слайд 4

Описание слайда:

ТЕОРЕМА 1 (Коши). ТЕОРЕМА 1 (Коши). Пусть для уравнения y(n) = f(x, y , y  , y  , … , y(n–1)) (2) выполняются два условия: 1) функция f(x, y , y  , y  , … , y(n–1)) непрерывна как функция (n + 1)-ой переменной x, y , y  , y  , … , y(n–1) в некоторой области D (n + 1)-мерного пространства; 2) функция f(x, y , y  , y  , … , y(n–1)) имеет в этой области D ограниченные частные производные по переменным y , y  , y  , … , y(n–1) . Тогда для любой точки (x0 ,y0 ,y01 ,y02 , … , y0n–1)D существует, и притом единственное, решение y = (x) уравнения (2), определенное в некотором интервале, содер- жащем точку x0 , и удовлетворяющее начальным условиям (x0) = y0 ,   (x0) = y01 ,   (x0) = y02 , … , (n–1)(x0) = y0n–1 .

Слайд 5

Описание слайда:

Замечание. Единственность решения задачи Коши для урав- нения n-го порядка (n > 1) НЕ ОЗНАЧАЕТ, что через дан- ную точку M0(x0 ,y0) плоскости xOy проходит одна интег- ральная кривая y = (x). Замечание. Единственность решения задачи Коши для урав- нения n-го порядка (n > 1) НЕ ОЗНАЧАЕТ, что через дан- ную точку M0(x0 ,y0) плоскости xOy проходит одна интег- ральная кривая y = (x). Кривых через точку M0 проходит множество, а единст- венность означает, что они различаются набором значений y  (x0) , y  (x0) , …, y(n–1)(x0) . Из теоремы 1  1) ДУ (2) имеет множество решений. 2) Совокупность решений зависит от n произвольных постоянных.

Слайд 6

Описание слайда:

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Общим решением дифференциального урав- нения y(n) = f(x, y , y  , y  , … , y(n–1)) (2) ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Общим решением дифференциального урав- нения y(n) = f(x, y , y  , y  , … , y(n–1)) (2) в области D существования и единственности решения задачи Коши называется функция y = (x , C1 , C2 , … , Cn) , зависящая от x и n произвольных постоянных C1 , C2 , … , Cn , которая удовлетворяет следующим двум условиям: 1) при любых допустимых значениях C1 , C2 , … , Cn она удовлетворяет уравнению (2); 2) каковы бы ни были начальные условия y(x0) = y0, y  (x0) = y01, y  (x0) = y02, … , y(n–1)(x0) = y0n–1 (3) (где (x0,y0,y01,y02,…,y0n–1)D), можно найти единственный набор значений C1 = C01 , C2 = C02 , … , Cn = C0n такой, что функция y = (x , C01 , C02 , … , C0n) удовлетворяет задан- ным начальным условиям.

Слайд 7

Описание слайда:

Уравнение Φ(x , y , C1 , C2 , … , Cn) = 0 , задающее общее решение в неявном виде, называется общим интегралом уравнения. Уравнение Φ(x , y , C1 , C2 , … , Cn) = 0 , задающее общее решение в неявном виде, называется общим интегралом уравнения. С геометрической точки зрения общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения (2) представляет собой семейство интегральных кривых, зависящих от n параметров. Решение (интеграл), в каждой точке которого выполняется условие единственности, называется частным. Любое решение (интеграл), получающееся из общего решения (интеграла) при конкретных значениях постоянных Ci (включая Ci = ), является частным. Решение (интеграл), в каждой точке которого нарушено условие единственности, называется особым. Особое решение, очевидно, не входит в общее решение дифференциального уравнения.

Слайд 8

Описание слайда:

§2. Уравнения, допускающие понижение порядка 1. Уравнение вида F(x,y(n)) = 0 Возможны 2 случая: 1) уравнение разрешено относительно y(n) , 2) уравнение нельзя разрешить относительно y(n) . 1) Пусть уравнение разрешено относительно y(n) , т.е. имеет вид y(n) = f(x) , (4) где f(x) непрерывна на (a;b) . Общее решение уравнения (4) получается в результате n-кратного последовательного интегрирования правой части, т.е. имеет вид:

Слайд 9

Описание слайда:

2) Пусть уравнение F(x,y(n)) = 0 не разрешено относительно y(n) . 2) Пусть уравнение F(x,y(n)) = 0 не разрешено относительно y(n) . Если уравнение допускает параметрическое представление x = (t) , y(n) = (t) , то его решение можно найти в параметрическом виде. Действительно,  dy(n–1) = y(n)  dx ; y(n) = (t) dx =  (t)dt Аналогично найдем y(n–2) , y(n–3) , … y  , y и получим общее решение

Слайд 10

Описание слайда:

2. Уравнение не содержит искомой функции и ее производных до порядка (k – 1) включительно Пусть уравнение имеет вид F(x, y(k), y(k + 1), …, y(n)) = 0 , (1  k

Слайд 11

Описание слайда:

3. Уравнение не содержит независимой переменной Пусть уравнение имеет вид F(y , y  , y  , … , y(n)) = 0 , (6) Уравнение (6) допускает понижение порядка на единицу. Действительно, сделаем замену y  = z(y) . Тогда y  = z   z , y  = z   z2 + (z )2  z , ………………………. y(n) = (z , z  , z  , … , z(n – 1)) . Подставляя эти выражения в (5), получаем уравнение (n – 1)-го порядка.

Слайд 12

Описание слайда:

Пусть z = (y , C1 , C2 , …, Cn – 1) – общее решение получившего- ся после замены уравнения. Пусть z = (y , C1 , C2 , …, Cn – 1) – общее решение получившего- ся после замены уравнения. Тогда y  = (y , C1 , C2 , …, Cn – 1) Следовательно, общий интеграл уравнения (6) будет иметь вид

Слайд 13

Описание слайда:

4. Уравнение, однородное относительно неизвестной функции и ее производных Уравнение F(x, y , y  , y  , y  , … , y(n)) = 0 называется однородным относительно y , y  , y  , … , y(n), если при всех t  0 выполняется тождество F(x, ty , ty  , ty  , … , ty(n)) = tm  F(x, y , y  , y  , … , y(n)) . Порядок такого уравнения может быть понижен на единицу заменой y  = yz , где z = z(x) – новая неизвестная функция.

Слайд 14

Описание слайда:

§3. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка. Общие понятия и определения ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Линейным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение, линейное относительно неизвестной функции y и ее производных y  , y  , … , y(n), т.е. уравнение вида p0(x)y(n) + p1(x)y(n – 1) + … + pn – 1(x)y  + pn(x)y = g(x) , (7) где pi(x) (i = 0, 1, 2, …, n) и g(x) – заданные функции. Если g(x) ≡ 0, то уравнение (7) называется линейным однородным. Если g(x) ≢ 0 , то уравнение (7) называется линейным неоднородным (или уравнением с правой частью).

Слайд 15

Описание слайда:

Так как p0(x) ≢ 0 , то уравнение (7) можно записать в виде: Так как p0(x) ≢ 0 , то уравнение (7) можно записать в виде: y(n) + a1(x)  y(n – 1) + … + an – 1(x)  y  + an(x)  y = f(x) . (8) Уравнение (8) называют приведенным. В дальнейшем будем работать только с приведенным уравнением. Кроме того, будем предполагать, что ai(x) (i = 1, 2, …, n) и f(x) непрерывны на некотором отрезке [a;b]. Тогда в области D = {(x ,y0 ,y1 ,y2 , … , yn–1) | x[a;b] , yiℝ}ℝn + 1 для уравнения (8) будут выполняться условия теоремы существования и единственности решения. Следовательно, x0[a;b] и y0 , y0iℝ существует един- ственное решение уравнения (8), удовлетворяющее условию y(x0) = y0 , y  (x0) = y01 , y  (x0) = y02 , … , y(n–1)(x0) = y0n–1 .

Слайд 16

Описание слайда:

§4. Линейные однородные уравнения n-го порядка Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение (ЛОДУ) порядка n, т.е. уравнение вида y(n) + a1(x)  y(n – 1) + … + an – 1(x)  y  + an(x)  y = 0 . (9) ТЕОРЕМА 1 (свойство решений ЛОДУ). Если y1(x) и y2(x) являются решениями ЛОДУ (9), то y1(x) + y2(x) и C  y1(x) (Cℝ) тоже является решениями уравнения (9). СЛЕДСТВИЕ 2. Если y1 , y2 , … , yn – решения уравнения (9), то их линейная комбинация C1  y1 + C2  y2 + … + Cn  yn тоже является решением уравнения (9) для любых постоянных C1 , C2 , … , Cn .

Слайд 17

Описание слайда:

Обозначим: S[a;b] – множество решений уравнения (9), Обозначим: S[a;b] – множество решений уравнения (9), C[a;b] – множество функций, непрерывных на [a;b]. Имеем: S[a;b]  C[a;b] , Из теоремы 1  S[a;b] – линейное подпространство C[a;b] ЗАДАЧА. Изучить S[a;b] как линейное пространство. Пусть y1(x) , y2(x) , … , yn(x) – (n – 1) раз дифференцируемые на [a;b] функции. Запишем для них определитель порядка n вида

Слайд 18

Описание слайда:

Определитель W – функция, определенная на [a;b]. Определитель W – функция, определенная на [a;b]. Его обозначают W(x) или W[y1 , y2 , … , yn ] и называют опреде- лителем Вронского (вронскианом) функций y1 , y2 , … , yn . ТЕОРЕМА 3 (необходимое условие линейной зависимости функций). Если функции y1(x) , y2(x) , … , yn(x) n – 1 раз дифферен- цируемы и линейно зависимы на [a;b], то их определитель Вронского на [a;b] тождественно равен нулю. ТЕОРЕМА 4 (достаточное условие линейной независимости решений ЛОДУ). Если n решений ЛОДУ (9) линейно независимы на [a;b], то их определитель Вронского W[y1 , y2 , … , yn ] не может обратиться в нуль ни в одной точке этого промежутка.

Слайд 19

Описание слайда:

СЛЕДСТВИЕ 5 (теоремы 3 и 4). СЛЕДСТВИЕ 5 (теоремы 3 и 4). Пусть y1(x) , y2(x) , … , yn(x) решения ЛОДУ (9). Тогда 1) либо W[y1 , y2 , … , yn ] ≡ 0 и это означает, что решения линейно зависимы; 2) либо W[y1 , y2 , … , yn ]  0 , x[a;b] , и это означает, что решения линейно независимы. ТЕОРЕМА 6 (о размерности пространства решений ЛОДУ). Пространство решений S[a;b] ЛОДУ (9) конечномерно и его размерность совпадает с порядком дифференциального уравнения, т.е. dimS[a;b] = n . Система n линейно независимых решений ЛОДУ n-го порядка (базис пространства S[a;b]) называется его фундамен- тальной системой решений (фср).

Слайд 20

Описание слайда:

§5. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами Пусть линейное однородное уравнение имеет вид y(n) + a1  y(n – 1) + … + an – 1  y  + an  y = 0 , (10) где a1 , a2 , … , an – некоторые действительные числа. Уравнение (10) называется линейным однородным уравнением n–го порядка с постоянными коэффициентами. Решения уравнения (10) будем искать в виде y = e x , где  – некоторая постоянная. Имеем: y  =   e x , y  = 2  e x , y  = 3  e x , … , y(n) = n  e x . Подставляем y , y  , y  , … , y(n) в уравнение (10) и получаем: n  e x + a1  n – 1  e x + … + an – 1    e x + an  e x = 0 ,  n + a1  n – 1 + … + an – 1   + an = 0 . (11)

Слайд 21

Описание слайда:

Уравнение (11) называется характеристическим уравнением (для) уравнения (10). Уравнение (11) называется характеристическим уравнением (для) уравнения (10). Многочлен в левой части (11) называется характеристичес- ким многочленом, Корни уравнения (11) называются характеристическими корнями уравнения (10). Замечания. 1) Формально характеристическое уравнение (11) получается из (10) заменой производных искомой функции на соответ- ствующие степени , а самой функции – на 0 = 1 . 2) Уравнение (10) – алгебраическое уравнение n-й степени.  оно имеет n корней, но 1) каждый корень считается столько раз, какова его кратность; 2) корни могут быть комплексными (причем, комплексные корни попарно сопряжены). Следовательно, функции вида e x в общем случае не дадут всю ф.с.р. уравнения (10).

Слайд 22

Описание слайда:

ТЕОРЕМА 6. ТЕОРЕМА 6. Пусть  – характеристический корень уравнения (10). Тогда 1) если ℝ и  – простой корень уравнения (11), то решением уравнения (10) является функция e x; 2) если ℝ и  – корень кратности k уравнения (11) , то решениями уравнения (10) являются функции e x, x  e x, x2  e x, …, xk – 1  e x; 3) если  =  + iℂ и  – простой корень уравнения (11), то ̄ =  – i тоже является простым корнем уравнения (11), а решениями уравнения (10) являются функции e x  cosx , e x  sinx ; 4) если  =  + iℂ и  – корень кратности k уравнения (11), то ̄ =  – i тоже является корнем кратности k уравнения (11), а решениями (10) являются функции e x  cosx, xe x  cosx, x2e x  cosx, …, xk – 1e x  cosx e x  sinx, xe x  sinx, x2e x  sinx, …, xk – 1e x  sinx .

Слайд 23

Описание слайда:

Решения, относящиеся к различным характеристическим корням, линейно независимы и найденные таким образом n решений уравнения (10) будут образовывать его ф.с.р. Решения, относящиеся к различным характеристическим корням, линейно независимы и найденные таким образом n решений уравнения (10) будут образовывать его ф.с.р. ПРИМЕР 1. Найти общее решение уравнения ПРИМЕР 2. Найти общее решение уравнения ПРИМЕР 3. Найти общее решение уравнения

Слайд 24

Описание слайда:

§6. Уравнения Эйлера Линейное однородное уравнение вида xn  y(n) + a1xn – 1  y(n – 1) + … + an – 1x  y  + an  y = 0 , (12) (где aiℝ) называется уравнением Эйлера. Уравнение Эйлера сводится к линейному однородному уравнению с постоянными коэффициентами заменой x = et .  фундаментальная система решений уравнения (12) состоит из функций вида x ↔ e t ; lnℓx  x ↔ t ℓ  e t ; x  cos(ln x) , x  sin(ln x) ↔ e t  cost , e t  sint ; lnℓx  xcos(ln x), lnℓx  xsin(ln x) ↔ tℓ e tcost, tℓ e tsint .

Слайд 25

Описание слайда:

Замечание. На практике, при интегрировании уравнения Эйлера, можно сразу записать его характеристическое уравнение. Замечание. На практике, при интегрировании уравнения Эйлера, можно сразу записать его характеристическое уравнение. Действительно, характеристическое уравнение – это условие для , при котором e t является решением ЛОДУ. Но et = x . Следовательно, то же самое условие для  полу- чится, если потребовать, чтобы функция y = x являлась решением уравнения (12).

Слайд 26

Описание слайда:

§7. Линейные однородные уравнения 2-го порядка с произвольными коэффициентами Рассмотрим уравнение y  + a1(x)  y  + a2(x)  y = 0 . (13) Пусть y1(x) любое ненулевое решение уравнения (13). Тогда его общее решение можно найти по формуле Абеля: ПРИМЕР. Найти общее решение уравнения , если известно, что его решением является функция

Слайд 27

Описание слайда:

§8. Линейные неоднородные уравнения n-го порядка. Метод вариации произвольных постоянных Рассмотрим линейное неоднородное уравнение y(n) + a1(x)  y(n – 1) + … + an – 1(x)  y  + an(x)  y = f(x) . (14) Если известно общее решение соответствующего ЛОДУ y(n) + a1(x)  y(n – 1) + … + an – 1(x)  y  + an(x)  y = 0 , (15) то можно найти и общее решение ЛНДУ (14). Действительно, пусть y1 , y2 , … , yn – ф.с.р. уравнения (15). Тогда его общее решение будет иметь вид y = C1  y1 + C2  y2 + … + Cn  yn , (16) где C1 , C2 , … , Cn – произвольные постоянные. Полагаем, что РЕШЕНИЕ ЛНДУ ПО СТРУКТУРЕ совпадает с решением соответствующего ЛОДУ, т.е. имеет вид y = C1(x)  y1 + C2(x)  y2 + … + Cn(x)  yn , (17) где C1(x) , C2(x) , … , Cn(x) – некоторые функции.

Слайд 28

Описание слайда:

Потребуем, чтобы производные y  , y  , …, y(n – 1) функции (17) структурно совпадали с производными функции (16), Потребуем, чтобы производные y  , y  , …, y(n – 1) функции (17) структурно совпадали с производными функции (16), т.е. чтобы они получались из соответствующих производных функции (16) заменой констант Ci функциями Ci(x). Получили, что C1(x) , C2(x) , … , Cn(x) должны удовлетворять системе (18) (18) – система n линейных уравнений с n неизвестными. Ее определитель – определитель Вронского W[y1 , y2 , … , yn ] .

Слайд 29

Описание слайда:

Так как y1 , y2 , … , yn образуют ф.с.р. однородного уравнения, то по теореме 4 §4 W[y1 , y2 , … , yn ]  0 , x[a;b] . Так как y1 , y2 , … , yn образуют ф.с.р. однородного уравнения, то по теореме 4 §4 W[y1 , y2 , … , yn ]  0 , x[a;b] .  система (18) совместна и имеет единственное решение: Откуда получаем где C̃i – произвольные постоянные. Общее решение неоднородного уравнения тогда имеет вид (19) Изложенный выше метод нахождения решения линейного неоднородного уравнения n-го порядка получил название метода вариации произвольных постоянных.

Слайд 30

Описание слайда:

§9. Линейные неоднородные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида Раскроем скобки в (19) и сгруппируем слагаемые: Первая сумма – общее решение соответствующего ЛОДУ, вторая сумма – частное решение ЛНДУ (получается из обще- го решения при C̃i = 0). ТЕОРЕМА 7 (О структуре общего решения ЛНДУ). Общее решение ЛНДУ n–го порядка равно сумме общего решения соответствующего ему однородного уравнения и любого частного решения ỹ(x) неоднородного уравнения, т.е. имеет вид y(x) = C1  y1 + C2  y2 + … + Cn  yn + ỹ(x) , (20) где y1 , y2 , … , yn – ф.с.р. соответствующего ЛОДУ.

Слайд 31

Описание слайда:

Пусть правая часть f(x) ЛНДУ с постоянными коэффициентами имеет вид Пусть правая часть f(x) ЛНДУ с постоянными коэффициентами имеет вид f(x) = e x  [Ps(x)  cosx + Pk(x)  sinx ] , (21) где Ps(x), Pk(x) – многочлены степени s и k соответственно,  и  – некоторые числа. Функцию (21) принято называть функцией специального вида. ТЕОРЕМА 8 (о структуре частного решения ЛНДУ с постоян- ными коэффициентами и правой часть специального вида). Если правая часть линейного неоднородного уравнения с постоянными коэффициентами имеет специальный вид (21), то частным решением уравнения является функция вида ȳ = xℓ  e x  [Rm(x)  cosx + Tm(x)  sinx ] , (22) где Rm(x) и Tm(x) –многочлены степени m (неизвестные), m – большая из степеней многочленов Ps(x), Pk(x) , ℓ – кратность характеристического корня   i (ℓ = 0, если   i не характеристический корень).

Слайд 32

Описание слайда:

ПРИМЕРЫ. Записать структуру частного решения ЛНДУ с постоянными коэффициентами, если его правая часть f(x) имеет вид: ПРИМЕРЫ. Записать структуру частного решения ЛНДУ с постоянными коэффициентами, если его правая часть f(x) имеет вид: 1) f(x) = Ps(x) ; 2) f(x) = a  e x , где a – число; 3) f(x) = Ps(x)  e x ; 4) f(x) = a  cosx + b  sinx , где a,b – числа; 5) f(x) = a  cosx (или f(x) = a  sinx ) 6) f(x) = Ps(x)  cosx + Pk(x)  sinx ; 7) f(x) = a  e x  cosx + b  e x  sinx .

Слайд 33

Описание слайда:

ТЕОРЕМА 9 (о наложении решений). ТЕОРЕМА 9 (о наложении решений). Если ȳ1(x) и ȳ2(x) – решения соответственно уравнений y(n) + a1(x)  y(n – 1) + … + an – 1(x)  y  + an(x)  y = f1(x) , y(n) + a1(x)  y(n – 1) + … + an – 1(x)  y  + an(x)  y = f2(x) , то функция ȳ(x) = ȳ1(x) + ȳ2(x) будет являться решением уравнения y(n) + a1(x)  y(n – 1) + … + an – 1(x)  y  + an(x)  y = f1(x) + f2(x) .