Основные теоремы теории вероятностей - презентация, доклад, проект скачать

Нажмите для полного просмотра!

Основные теоремы теории вероятностей, слайд №1

Основные теоремы теории вероятностей, слайд №2

Основные теоремы теории вероятностей, слайд №3

Основные теоремы теории вероятностей, слайд №4

Основные теоремы теории вероятностей, слайд №5

Основные теоремы теории вероятностей, слайд №6

Основные теоремы теории вероятностей, слайд №7

Основные теоремы теории вероятностей, слайд №8

Основные теоремы теории вероятностей, слайд №9

Основные теоремы теории вероятностей, слайд №10

Основные теоремы теории вероятностей, слайд №11

Основные теоремы теории вероятностей, слайд №12

Основные теоремы теории вероятностей, слайд №13

Основные теоремы теории вероятностей, слайд №14

Основные теоремы теории вероятностей, слайд №15

Основные теоремы теории вероятностей, слайд №16

Основные теоремы теории вероятностей, слайд №17

Основные теоремы теории вероятностей, слайд №18

Основные теоремы теории вероятностей, слайд №19

Основные теоремы теории вероятностей, слайд №20

Основные теоремы теории вероятностей, слайд №21

Основные теоремы теории вероятностей, слайд №22

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Основные теоремы теории вероятностей. Доклад-сообщение содержит 22 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Описание слайда:

Лекция 2 Основные теоремы теории вероятностей

Слайд 2

Описание слайда:

1. Теорема сложения вероятностей несовместимых событий Теорема. Вероятность суммы двух несовместимых событий А и В равна сумме вероятностей этих событий: Р(А + В) = Р(А) + Р(В) (1)

Слайд 3

Описание слайда:

1. Теорема сложения вероятностей несовместимых событий Следствие 1. Если события А1, А2, ..., Аn образуют полную группу попарно несовместимых событий, то сумма их вероятностей равна единице: P(A1) + Р(А2) + ... + Р(Аn) = 1 (3)

Слайд 4

Описание слайда:

1. Теорема сложения вероятностей несовместимых событий Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий А и Ā равна единице: Р(А) + Р(Ā) = 1 (4) Это следствие — частный случай следствия 1.

Слайд 5

Описание слайда:

2. Теорема умножения вероятностей Определение 1. Два события А и В называют независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того, появилось другое событие или нет. В противном случае события А и В называют зависимыми. Несколько событий А1, …, Аk называют независимыми в совокупности (или просто независимыми), если вероятность появления любого из них не зависит от того, произошли какие-либо другие рассматриваемые события или нет.

Слайд 6

Описание слайда:

Предположим теперь, что вынутый шар в первом испытании не кладется обратно в урну. Предположим теперь, что вынутый шар в первом испытании не кладется обратно в урну. Тогда, если произошло событие А, т. е. в первом испытании вынут белый шар, то вероятность события В уменьшается и оказывается равно одной трети, если в первом испытании был вынут черный шар, то вероятность события В увеличивается и становится равно двум третям. Итак, вероятность события В существенно зависит от того, произошло или не произошло событие А, в таких случаях события А и В - зависимые.

Слайд 7

Описание слайда:

Определение 2. Пусть А и В - зависимые события. Условной вероятностью РА(В) события В называют вероятность события В, найденную в предположении, что событие А уже наступило. Определение 2. Пусть А и В - зависимые события. Условной вероятностью РА(В) события В называют вероятность события В, найденную в предположении, что событие А уже наступило. Так, в только что рассмотренном примере РА(В) = 1/3. Обозначение РА(В) ~ P(B|A) ~ P(B/A)

Слайд 8

Описание слайда:

Теорема 1. Вероятность произведения двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое событие уже наступило: Теорема 1. Вероятность произведения двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое событие уже наступило: Р(АВ)= Р(А)РА(В). (7)

Слайд 9

Описание слайда:

Применив формулу (7) к событию ВА, получим Применив формулу (7) к событию ВА, получим Р(ВА) = Р(В)РВ(А). (7') Так как АВ = ВА, то РB(А) = (8) Сравнивая (7) и (7'), получаем равенство Р(А)РА(В) = Р(В)РВ(А). (9)

Слайд 10

Описание слайда:

Задача. В группе туристов 20% детей, причем 12% девочки. Наугад выбирают ребенка. Какова вероятность того, что это девочка? Какова вероятность того, что это мальчик? Задача. В группе туристов 20% детей, причем 12% девочки. Наугад выбирают ребенка. Какова вероятность того, что это девочка? Какова вероятность того, что это мальчик?

Слайд 11

Описание слайда:

Задача. Предположим, что вероятности встретить реку, загрязняемую постоянным фактором А – Р(А), временным фактором В – Р(В) и обоими факторами – Р(АВ), равны соответственно 0,4; 0,1 и 0,05. Задача. Предположим, что вероятности встретить реку, загрязняемую постоянным фактором А – Р(А), временным фактором В – Р(В) и обоими факторами – Р(АВ), равны соответственно 0,4; 0,1 и 0,05. Найдем: 1) вероятность того, что река, загрязняемая временным фактором, будет к тому же загрязнена и постоянным фактором, т.е. РВ(А); 2) вероятность того, что река, загрязняемая постоянным фактором, будет еще загрязнена и временным фактором, т.е. РА(В).

Слайд 12

Описание слайда:

Теорема 2. Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий Теорема 2. Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению вероятностей этих событий Р(АВ) = Р(А)Р(В). (10)

Слайд 13

Описание слайда:

Замечание 1. Если события А1, А2, ..., Аn независимы в совокупности, то и противоположные им события Ā1, Ā2, ..., Āп также независимы в совокупности. Замечание 1. Если события А1, А2, ..., Аn независимы в совокупности, то и противоположные им события Ā1, Ā2, ..., Āп также независимы в совокупности.

Слайд 14

Описание слайда:

Теорема 3. Если события А1, А2, ..., Аn независимы в совокупности, то вероятность наступления хотя бы одного из этих событий (т. е. вероятность суммы) вычисляется по формуле Теорема 3. Если события А1, А2, ..., Аn независимы в совокупности, то вероятность наступления хотя бы одного из этих событий (т. е. вероятность суммы) вычисляется по формуле Р(А1+ А2+ ...+ Аn)=1 – Р(Ā1) ·Р(Ā2)· ... ·Р(Āп) (12)

Слайд 15

Описание слайда:

Теорема. Вероятность суммы двух совместимых событий А и В равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их произведения: Теорема. Вероятность суммы двух совместимых событий А и В равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их произведения: Р(А + В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ). (13)

Слайд 16

Описание слайда:

Замечание 1. При использовании формулы (13) следует иметь в виду, что события А и В могут быть как независимыми, так и зависимыми. Замечание 1. При использовании формулы (13) следует иметь в виду, что события А и В могут быть как независимыми, так и зависимыми. Для независимых событий Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(А)Р(В); (14) для зависимых событий Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(А)РА(В).

Слайд 17

Описание слайда:

Пример. Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны: Р(А) = 0,7 и Р(В)=0,8. Найдем вероятность попадания при одном залпе (из обоих орудий) хотя бы одним из орудий. Пример. Вероятности попадания в цель при стрельбе первого и второго орудий соответственно равны: Р(А) = 0,7 и Р(В)=0,8. Найдем вероятность попадания при одном залпе (из обоих орудий) хотя бы одним из орудий.

Слайд 18

Описание слайда:

Теорема. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из п попарно несовместимых событий В1, В2, ..., Вn, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А: Теорема. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из п попарно несовместимых событий В1, В2, ..., Вn, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А: Р(А) = Р(В1)РВ1(А) + Р(В2)РВ2(А) +... + Р(Вп)РВп(А) (15) (формула полной вероятности).

Слайд 19

Описание слайда:

Задача. В санатории 30% пациентов - мужчины (М) и 70% - женщины (Ж). Болезни сердца среди мужчин встречаются в два раза чаще, чем среди женщин. Какова вероятность того, что наугад выбранный пациент сердечник? Задача. В санатории 30% пациентов - мужчины (М) и 70% - женщины (Ж). Болезни сердца среди мужчин встречаются в два раза чаще, чем среди женщин. Какова вероятность того, что наугад выбранный пациент сердечник?

Слайд 20

Описание слайда:

Пусть в условиях рассуждения, относящегося к формуле полной вероятности, осуществлено одно испытание, в результате которого произошло событие А. Пусть в условиях рассуждения, относящегося к формуле полной вероятности, осуществлено одно испытание, в результате которого произошло событие А. Спрашивается, как изменились (в связи с тем, что событие А уже произошло) вероятности гипотез, т.е. величины Р(Вк), к=1, 2, ..., п?

Слайд 21

Описание слайда:

Формулы Байеса применяются, когда событие А, которое может появиться только с одной из гипотез В1, В2, ..., Вn образующих полную группу событий, произошло и необходимо произвести количественную переоценку априорных вероятностей этих гипотез Р(В1), P(В2),...,P(Вп), известных до испытания, т.е. надо найти апостериорные (получаемые после проведения испытания) условные вероятности гипотез PА(В1), PA(В2), …, PА(Вn). Значение формулы Байеса состоит в том, что при наступлении события А, т.е. по мере получения новой информации, мы можем проверять и корректировать выдвинутые до испытания гипотезы. Такой подход, называемый байесовским, дает возможность корректировать управленческие решения в экономике, оценки неизвестных параметров распределения изучаемых признаков в статистическом анализе и т.п.

Слайд 22

Описание слайда:

Задача. Партия деталей изготовлена тремя рабочими, причем первый рабочий изготовил 25% всех деталей, второй - 35%, третий - 40%. В продукции первого рабочего брак составляет 5%, в продукции второго - 4% и в продукции третьего - 2%. Случайно выбранная для контроля деталь оказалась бракованной. Какова вероятность того, что она изготовлена вторым рабочим? Задача. Два стрелка независимо друг от друга стреляют по мишени, делая каждый по одному выстрелу. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,8; для второго - 0,4. После стрельбы в мишени обнаружена одна пробоина. Какова вероятность того, что она принадлежит: а) 1-му стрелку; б) 2-му стрелку?