Основные теоремы теории вероятностей - презентация, доклад, проект скачать

Нажмите для полного просмотра!

Основные теоремы теории вероятностей, слайд №1

Основные теоремы теории вероятностей, слайд №2

Основные теоремы теории вероятностей, слайд №3

Основные теоремы теории вероятностей, слайд №4

Основные теоремы теории вероятностей, слайд №5

Основные теоремы теории вероятностей, слайд №6

Основные теоремы теории вероятностей, слайд №7

Основные теоремы теории вероятностей, слайд №8

Основные теоремы теории вероятностей, слайд №9

Основные теоремы теории вероятностей, слайд №10

Основные теоремы теории вероятностей, слайд №11

Основные теоремы теории вероятностей, слайд №12

Основные теоремы теории вероятностей, слайд №13

Основные теоремы теории вероятностей, слайд №14

Основные теоремы теории вероятностей, слайд №15

Основные теоремы теории вероятностей, слайд №16

Основные теоремы теории вероятностей, слайд №17

Основные теоремы теории вероятностей, слайд №18

Основные теоремы теории вероятностей, слайд №19

Основные теоремы теории вероятностей, слайд №20

Основные теоремы теории вероятностей, слайд №21

Основные теоремы теории вероятностей, слайд №22

Основные теоремы теории вероятностей, слайд №23

Основные теоремы теории вероятностей, слайд №24

Основные теоремы теории вероятностей, слайд №25

Основные теоремы теории вероятностей, слайд №26

Основные теоремы теории вероятностей, слайд №27

Основные теоремы теории вероятностей, слайд №28

Основные теоремы теории вероятностей, слайд №29

Основные теоремы теории вероятностей, слайд №30

Основные теоремы теории вероятностей, слайд №31

Основные теоремы теории вероятностей, слайд №32

Основные теоремы теории вероятностей, слайд №33

Основные теоремы теории вероятностей, слайд №34

Основные теоремы теории вероятностей, слайд №35

Основные теоремы теории вероятностей, слайд №36

Основные теоремы теории вероятностей, слайд №37

Основные теоремы теории вероятностей, слайд №38

Основные теоремы теории вероятностей, слайд №39

Основные теоремы теории вероятностей, слайд №40

Основные теоремы теории вероятностей, слайд №41

Основные теоремы теории вероятностей, слайд №42

Основные теоремы теории вероятностей, слайд №43

Основные теоремы теории вероятностей, слайд №44

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Основные теоремы теории вероятностей. Доклад-сообщение содержит 44 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Описание слайда:

Основные теоремы теории вероятностей

Слайд 2

Описание слайда:

Учебные вопросы. Учебные вопросы. 1. Теорема сложения вероятностей для несовместных событий. 2. Условные вероятности. Зависимые и независимые события. Теорема умножения вероятностей. 3.Формула полной вероятностей. Формула Байеса.

Слайд 3

Описание слайда:

В теория вероятностей случайные события рассматриваются с точки зрения теории множеств, что позволяет определить отношения над ними. В теория вероятностей случайные события рассматриваются с точки зрения теории множеств, что позволяет определить отношения над ними. Первый учебный вопрос. Теорема сложения вероятностей суммы несовместных событий. Теорема. Вероятность суммы несовместных событий A и B равна сумме вероятностей этих событий: P(A+B)=P(A)+P(B).

Слайд 4

Описание слайда:

Доказательство. Введем обозначения: n –общее число возможных элементарных исходов испытания; m1-число исходов, благоприятствующих событию A; m2 –число исходов, благоприятствующих событию B Доказательство. Введем обозначения: n –общее число возможных элементарных исходов испытания; m1-число исходов, благоприятствующих событию A; m2 –число исходов, благоприятствующих событию B Число элементарных исходов, благоприятствующих наступлению либо события A, либо события B, равно m1+m2.

Слайд 5

Описание слайда:

Следовательно, Следовательно, P(A+B)=(m1+m2)/n = m1/n +m2/n. Приняв во внимание, что m1/n = P(A) и m2/n=P(B), окончательно P(A+B)=P(A)+P(B). Теорема. Если события A1,…, An попарно несовместны, то вероятность суммы этих событий равна сумме их вероятностей, т.е. P(A1+A2+…+An)= P(A1)+P(A2)+…+P(An).

Слайд 6

Описание слайда:

Теорема сложения вероятностей совместных событий Теорема сложения вероятностей совместных событий Два события называют совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании. Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления: P(A+B)= P(A)+P(B)- P(AB). (4)

Слайд 7

Описание слайда:

Вероятность суммы трех совместных событий равна: Вероятность суммы трех совместных событий равна: P(A+B+C)= P(A) +P(B) +P(C) – P(A∙B)- P(B∙C) –- -P(A∙C) +P(A∙B∙C). Полная группа событий Теорема. Сумма вероятностей событий A1, A2,…, An, образующих полную группу, равна единице: P(A1)+P(A2)+…+P(An)=1. (2)

Слайд 8

Описание слайда:

Теорема. Теорема. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице: (3) Если обозначить P(A)=p, то формула (3) примет вид p+q=1. Пример. Вероятность того, что день будет дождливым, p=0,7. Найти вероятность того, что день будет ясным.

Слайд 9

Описание слайда:

Решение. События «день дождливый» и Решение. События «день дождливый» и « день ясный»- противоположные, поэтому искомая вероятность q=1-p=1-0,7=0,3 Замечание. При решении задач на отыскание вероятности события A часто выгодно сначала вычислить вероятность события а затем найти искомую вероятность по формуле .

Слайд 10

Описание слайда:

Пример. В урне 10 шаров: 3 красных, 5 синих и 2 белых. Какова вероятность вынуть цветной шар, если вынимается один шар? Пример. В урне 10 шаров: 3 красных, 5 синих и 2 белых. Какова вероятность вынуть цветной шар, если вынимается один шар? Решение. Вероятность вынуть красный шар P(A)=3/10, P(B)=5/10. Так как события AB не совместимы, то по доказанной выше теореме P(A+B)= P(A)+P(B)= 0,3+0,5=0,8.

Слайд 11

Описание слайда:

Пример. Стрелок стреляет по мишени, разделенной на 3 области. Вероятность попадания в первую область равна 0,45, во вторую- 0,35. Найти вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадает либо в первую, либо во вторую область. Пример. Стрелок стреляет по мишени, разделенной на 3 области. Вероятность попадания в первую область равна 0,45, во вторую- 0,35. Найти вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадает либо в первую, либо во вторую область. Решение. События A- « стрелок попал в первую область» и B- « стрелок попал во вторую область»- несовместны (попадание в одну область исключает попадание в другую), поэтому теорема сложения применима. Искомая вероятность P(A+B)= P(A)+P(B)=0,45+0,35=0,80

Слайд 12

Описание слайда:

Пример. В урне находятся 12 белых и 8 черных шаров. Какова вероятность того, что наудачу вынутый шар будет белым? Пример. В урне находятся 12 белых и 8 черных шаров. Какова вероятность того, что наудачу вынутый шар будет белым? Решение. Пусть A- событие, состоящее в том, что вынут белый шар. Ясно, что n=12+8=20- число всех равновозможных случаев ( исходов опыта). Число случае, благоприятствующих событию A, равно 12, т.е. m= 12. Искомая вероятность P(A)=12/20=0,6.

Слайд 13

Описание слайда:

Пример. В урне 30 шаров: 10 красных ,5 синих и 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара. Пример. В урне 30 шаров: 10 красных ,5 синих и 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара. Решение. Появления цветного шара означает появление либо красного, либо синего шара. Вероятность появления красного шара (событие A) P(A)= 10/30=1/3. Вероятность появления синего шара (событие B) P(B)=5/30=1/6.

Слайд 14

Описание слайда:

События A и B несовместны (появление шара одного цвета исключает появление шара другого цвета), поэтому теорема сложения применима. События A и B несовместны (появление шара одного цвета исключает появление шара другого цвета), поэтому теорема сложения применима. Искомая вероятность P(A+B)= P(A)+P(B)= 1/3+ 1/6=1/2. 1. Условная вероятность. События, независимые в совокупности Теорема умножения вероятностей Произведением двух событий A и B называют событие (AB), состоящее в совместном появлении событий A и B.

Слайд 15

Описание слайда:

Зависимые и независимые события. Зависимые и независимые события. Событие A называют независимым от события B, если вероятность события A не зависит от того, произошло событие B или нет. Событие A называют зависимым от события B, если вероятность события A зависит от того, произошло событие B или нет.

Слайд 16

Описание слайда:

Условная вероятность Условная вероятность Определение. Вероятность события А , вычисленная при условии, что произошло событие В , называется условной вероятностью события А и обозначается так: P(А/В), или PВ(А). Определение. Два события А и В называются независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от появления или не появления другого, PВ (А)=p(А); pА (В)=p(В).

Слайд 17

Описание слайда:

Теорема. Вероятность произведения двух зависимых событий A и B равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое событие уже наступило: Теорема. Вероятность произведения двух зависимых событий A и B равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную в предположении, что первое событие уже наступило: P(AB)=P(A)PA(B) (1) Замечание. Применив формулу (1) к событию BA, получим P(BA)=P(B)PB(A). (2)

Слайд 18

Описание слайда:

Так как AB=BA ,то Так как AB=BA ,то а сравнивая (1) и (2), получаем равенство P(A)PA(B) = P(B)PB(A).

Слайд 19

Описание слайда:

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных. При этом вероятность каждого последующего события подсчитывается в предположении, что все предыдущие события уже появилиcь: Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных. При этом вероятность каждого последующего события подсчитывается в предположении, что все предыдущие события уже появилиcь:

Слайд 20

Описание слайда:

Слайд 21

Описание слайда:

Теорема умножения для независимых событий Теорема умножения для независимых событий Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению их вероятностей: P(AB)= P(A)P(B). Для трех независимых событий A,B,C формула принимает вид: P(ABC)=P(A)P(B)P(C). Теорема. Вероятность совместного появления n событий A1,A2,…,An независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:

Слайд 22

Описание слайда:

Слайд 23

Описание слайда:

Теорема. ( о вероятности наступления хотя бы одного из n независимых событий). Теорема. ( о вероятности наступления хотя бы одного из n независимых событий). Теорема. Если события A1,A2,…,An независимы в совокупности, то вероятность наступления хотя бы одного из этих событий (т.е. вероятность суммы) вычисляется по формуле Пример. Вероятности попадания в цель при стрельбе из трех орудий таковы: p1=0,8; p2=0,7; p3=0,9. Найти вероятность хотя бы одного попадания (событие А) при одном залпе из всех орудий.

Слайд 24

Описание слайда:

Решение. Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результатов стрельбы из других орудий, поэтому рассматриваемые события A1 (попадание первого орудия), A2 ( попадание третьего орудия) независимы в совокупности. Решение. Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результатов стрельбы из других орудий, поэтому рассматриваемые события A1 (попадание первого орудия), A2 ( попадание третьего орудия) независимы в совокупности. Вероятности событий, противоположных событиям A1, A2 и A3 (т.е. вероятности промахов), соответственно равны:

Слайд 25

Описание слайда:

q1=1-p1=1-0,8=0,2; q1=1-p1=1-0,8=0,2; q2=1-p2=1-0,7=0,3; q3=1-p3=1-0,9=0,1. Искомая вероятность P(A)=1-q1q2q3= 1-0,2∙ 0,3∙ 0,1=0,994.

Слайд 26

Описание слайда:

Задачи В урне 5 красных и 8 белых шаров. Из урны последовательно без возвращения вынимают два шара. Найти вероятность того, что: а) оба шара белые; б) оба шара красные; в) первый шар белый, а второй красный; г) шары разного цвета. В лотерее выпущено 10000 билетов и установлены 10 выигрышей по 1000 рублей, 100 – по 500 рублей, 500 – по 100 рублей и 1000 выигрышей по 25 рублей. Гражданин купил 1 билет. Какова вероятность того, что он выиграет не меньше 100 рублей?

Слайд 27

Описание слайда:

Задачи Студент знает ответы на 20 вопросов из 25. Экзаменатор последовательно задает студенту три вопроса. Найти вероятность того, что студент: а) ответит на все вопросы; б) не ответит ни на один вопрос; в) ответит на первый и второй вопросы, но не ответит на третий вопрос; г) ответит только на один вопрос. Вероятность попадания в цель при одном выстреле для первого стрелка равна p, для второго – 0,7. Вероятность ровно одного попадания при одном выстреле обоих стрелков равна 0,38. Найти p.

Слайд 28

Описание слайда:

Задачи Для разрушения моста достаточно попадания одной авиационной бомбы. Найти вероятность того, что мост будет разрушен, если на него сбросить четыре бомбы, вероятности попадания которых соответственно равны: 0,3; 0,4; 0,6; 0,7. В мешке содержится десять одинаковых кубиков с номерами от 1 до 10. Наудачу извлекают по одному три кубика. Найти вероятность того, что последовательно появятся кубики с номерами 1, 2, 3, если кубики извлекаются: а) без возвращения; б) с возвращением (извлеченный кубик возвращается в мешок).

Слайд 29

Описание слайда:

Третий учебный вопрос Третий учебный вопрос Формула полной вероятности. Формула Байеса. Следствием основных теорем вероятностей – теорем сложения и умножения вероятностей – является формула полной вероятностей. Постановка задачи. Допустим событие A может наступает при появления одного из несовместных событий B1,B2,…, Bn. Эти события образуют полную группу. Такие события Bi называются гипотезами.

Слайд 30

Описание слайда:

Также даны вероятности этих событий и условные вероятности Также даны вероятности этих событий и условные вероятности события A. Для нахождения вероятности события A можно воспользоваться следующей теоремой. Теорема (формула полной вероятности) Пусть несовместные события B1,B2,…,Bn , образуют полную группу. Тогда вероятность события A, которое может наступить только при условии появления одного из этих несовместных событий

Слайд 31

Описание слайда:

равняется сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события A: равняется сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события A:

Слайд 32

Описание слайда:

где P(B1)- вероятность события B1 ; где P(B1)- вероятность события B1 ; P(B2) - вероятность события B2 ; P(Bi) - вероятность события Bi ; условная вероятность события A при условии, что произошло событие Bi . Эту формулу называют « формулой полной вероятности».

Слайд 33

Описание слайда:

Пример. В магазин поступает изделия с двух фабрик, причем 40% из них изготовлены фабрикой №1, а остальные – фабрикой №2. Фабрика №1 дает 90% изделий первого сорта, а фабрикой №2 75%. Какова вероятность того, что купленное наудачу изделие окажется первого сорта? Пример. В магазин поступает изделия с двух фабрик, причем 40% из них изготовлены фабрикой №1, а остальные – фабрикой №2. Фабрика №1 дает 90% изделий первого сорта, а фабрикой №2 75%. Какова вероятность того, что купленное наудачу изделие окажется первого сорта? Решение. Рассмотрим события: A изделие, купленное наудачу, первого сорта; B1- изделие произведено на фабрике №1;

Слайд 34

Описание слайда:

Так как событие A может состояться лишь при условии выполнения одной из гипотез B1 или B2, то по формуле полной вероятности имеем: Так как событие A может состояться лишь при условии выполнения одной из гипотез B1 или B2, то по формуле полной вероятности имеем: Найдем вероятности гипотез, входящие в эту формулу. Так как на каждые 100 поступивших в магазин изделий 40 изготовлено фабрикой №1 (40%), а остальные 60 – фабрикой №2, то P(B1)=40/100=0,4; P(B2)=60/100=0,6

Слайд 35

Описание слайда:

По условию задачи По условию задачи Подставляя найденные вероятности в формулу (**), получим: P(A)=0,4∙0,9+0,6∙0,75=0,81

Слайд 36

Описание слайда:

Вывод формулы Байеса . Примеры. Вывод формулы Байеса . Примеры. Задача. Имеется полная группа несовместных гипотез B1,B2,…,Bn , вероятность которых P(Bi) (i=1,2,…,n) известных до опыта (вероятности априори). Производится опыт (испытание), в результате которого зарегистрировано появление события A, причем известно, что этому событию наши гипотезы приписывали определенные вероятности

Слайд 37

Описание слайда:

Тогда вероятность появления события A равна: Тогда вероятность появления события A равна:

Слайд 38

Описание слайда:

Тогда После преобразований получим

Слайд 39

Описание слайда:

Эти формулы носят название формул Байеса, благодаря которым можно оценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в результате которого появилось событие A. Эти формулы носят название формул Байеса, благодаря которым можно оценить вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в результате которого появилось событие A. Примеры. В цехе работают 20 станков, изготавливающих одинаковые детали. Из них 10 станков- 1-го типа, 6станков – 2-го типа, а остальные – 3-го типа. Вероятности того, что качество детали окажется отличным на станках этих типов, равны соответственно 0,9, 0,8 и 0,7. Производительность всех типов станков одинакова.

Слайд 40

Описание слайда:

Условная вероятность любой гипотезы Bi (i=1,2,3,…,n) рассчитывается следующим образом: Условная вероятность любой гипотезы Bi (i=1,2,3,…,n) рассчитывается следующим образом:

Слайд 41

Описание слайда:

Какова вероятность, что наугад взятая деталь, изготовленная в цехе, окажется отличного качества? Какова вероятность, что наугад взятая деталь, изготовленная в цехе, окажется отличного качества? Наугад взятая деталь оказалась отличного качества. Какова вероятность , что она была изготовлена на станке 1-го типа? Решение. Обозначим события: A- наугад взятая деталь отличного качества; В1 - наугад взятая деталь изготовлена на станке 1-го типа;

Слайд 42

Описание слайда:

В2 - наугад взятая деталь изготовлена на станке 2-го типа; В2 - наугад взятая деталь изготовлена на станке 2-го типа; В3 - наугад взятая деталь изготовлена на станке 3 -го типа; Так как производительность всех типов станков одинакова, то количество деталей, изготовленных на станках данного типа, пропорционально количеству станков. Поэтому P(B1)=10/20=0,5; P(B2)=6/20=0,3; P(B3)=4/20=0,2