🗊Презентация Элементы математической логики

Тема 4 Тема 4 Элементы математической логики

Высказывания Предложение, о котором имеет смысл говорить, что оно является истинным или ложным, называют высказыванием. Являются ли высказываниями предложения? Волга впадает в Черное море. 2+2=4 Который час? Мойте руки перед едой! Земля – единственная обитаемая планета во Вселенной.

Значение истинности высказывания Введем функцию (P) , значение которой равно 1, если высказывание Р истинно и 0, если высказывание Р ложное. Число (P) будем назвать значением истинности высказывания.

Элементарные и сложные высказывания Если никакая часть высказывания сама по себе не является высказыванием, то высказывание называют элементарным или исходным. Сложным называют высказывание, допускающее разделение его на другие высказывания.

Операции над высказываниями 1. Инверсия ( логическое отрицание) 2. Дизъюнкция (логическое сложение) 3. Конъюнкция (логическое умножение) 4. Импликация (логическое следствие) 5. Эквивалентность (логическое равенство)

Обозначения и значение Инверсия: ¬A , , «Не» Дизъюнкция: , «Или» Конъюнкция: , «И» Импликация: «Если, то» Эквивалентность «тогда, и только тогда»

Основные законы логики 1. Закон тождества 2. Закон непротиворечия 3. Закон исключения третьего 4. Закон отрицания отрицания

Закон тождества Всякое высказывание тождественно са­мому себе: А = А

Закон непротиворечия Высказывание не может быть од­новременно истинным и ложным. Если высказывание А — истинно, то его отрицание не А должно быть ложным. Сле­довательно, логическое произведение высказывания и его отрицания должно быть ложно: A  ¬A = 0 =0

Закон исключения третьего Высказывание может быть либо истинным, либо ложным, третьего не дано. Это означа­ет, что результат логического сложения высказывания и его отрицания всегда принимает значение истина:  A v ¬A = 1 =1

Закон отрицания отрицания Если дважды отрицать неко­торое высказывание, то в результате мы получим исходное высказывание: ¬ ¬A = A =А

Пример задачи Трое подозреваемых в преступлении Иванов, Петров и Сидоров дали следующие показания: Иванов сказал: «Если виновен Сидоров, то и Петров тоже виновен». Петров сказал: «Виновен либо Иванов, либо Сидоров, но не оба». Сидоров сказал: «Я не виновен, а виновен Петров».

Построить таблицу истинности каждого высказывания и по ней определить: Построить таблицу истинности каждого высказывания и по ней определить: а) Кто виновен, если все говорят правду? б) Кто виновен, если все лгут? в) Кто лжет, если все виновны? г) Кто лжет, если все невиновны? д) Кто виновен, если виновные лгут, а невиновные говорят правду?

Введем простые высказывания: А={виновен Иванов}; Введем простые высказывания: А={виновен Иванов}; В={виновен Петров}; С={виновен Сидоров}.

Иванов : «Если виновен Сидоров, то и Петров тоже виновен». С Петров : «Виновен либо Иванов, либо Сидоров, но не оба».(А v С)() Сидоров: «Я не виновен, а виновен Петров».

Составляем таблицу истинности каждого высказывания:

а) Если все говорят правду, то в показаниях (последние три столбца) должны быть три единицы. Такому условию соответствует предпоследняя строка, из которой по значениям в первых трех столбцах (1,1,0) делаем вывод, что Иванов и Петров виновны, а Сидоров нет. а) Если все говорят правду, то в показаниях (последние три столбца) должны быть три единицы. Такому условию соответствует предпоследняя строка, из которой по значениям в первых трех столбцах (1,1,0) делаем вывод, что Иванов и Петров виновны, а Сидоров нет.

б) Если все лгут, то в показаниях должны быть три нуля. Такому условию соответствует шестая строка, из которой по значениям в первых трех столбцах делаем вывод, что Иванов и Сидоров виновны, а Петров нет. б) Если все лгут, то в показаниях должны быть три нуля. Такому условию соответствует шестая строка, из которой по значениям в первых трех столбцах делаем вывод, что Иванов и Сидоров виновны, а Петров нет.

в) Условию того, что все виновны, соответствует последняя строка, у которой в первых трех столбцах все единицы. По значениям показаний (последние три столбца) видно, что Иванов говорит правду, а Петров и Сидоров лгут в) Условию того, что все виновны, соответствует последняя строка, у которой в первых трех столбцах все единицы. По значениям показаний (последние три столбца) видно, что Иванов говорит правду, а Петров и Сидоров лгут

г) Условию того, что все невиновны, соответствует первая строка, у которой в первых трех столбцах все нули. По значениям показаний видно, что Иванов говорит правду, а Петров и Сидоров лгут. г) Условию того, что все невиновны, соответствует первая строка, у которой в первых трех столбцах все нули. По значениям показаний видно, что Иванов говорит правду, а Петров и Сидоров лгут.

д) Если виновные лгут, а невиновные говорят правду, то в каждой паре значений столбцов виновности (первые три) и показаний (последние три) для каждого подозреваемого должны стоять разные значения. Этому условию соответствует третья строка у которой значения первых трех столбцов (0,1,0), а последних трех (1,0,1). Это означает, что Иванов невиновен и говорит правду, Петров виновен и лжет, а Сидоров невиновен и говорит правду. д) Если виновные лгут, а невиновные говорят правду, то в каждой паре значений столбцов виновности (первые три) и показаний (последние три) для каждого подозреваемого должны стоять разные значения. Этому условию соответствует третья строка у которой значения первых трех столбцов (0,1,0), а последних трех (1,0,1). Это означает, что Иванов невиновен и говорит правду, Петров виновен и лжет, а Сидоров невиновен и говорит правду.