🗊Презентация Формула полной вероятности

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Лекция 3. Лекция 3. Основные изучаемые вопросы: Формула полной вероятности. Формула Байеса. Повторение опытов.

Формула полной вероятности Формула полной вероятности является следствием теорем сложения и умножения вероятностей. Она позволяет определять вероятность некоторого события, которое может происходить в различных ситуациях с разной вероятностью, причем вероятности этих ситуаций можно оценить до опыта, а условные вероятности появления рассматриваемого события при каждой сложившейся ситуации должны быть известны. С учетом этого искомая вероятность определяется как «средневзвешенная» вероятность, а «весами» при этом являются вероятности ситуаций, при которых данное событие может происходить. Пример: дождь может пойти с вероятностью Р(А) и не пойти с вероятностью Р(А) (ситуация характеризуется вероятностью дождя. При наличии дождя вероятность грома Р(В/А), а при его отсутствии, очевидно, такая вероятность Р(В/А).

Пусть рассматривается полная группа попарно несовместных событий, т. е. выполняются условия А1 +А2 +...+ Ап = , Пусть рассматривается полная группа попарно несовместных событий, т. е. выполняются условия А1 +А2 +...+ Ап = , Аi·Aj =  для всех i j, и некоторое событие В, которое может осуществиться одновременно только с одним из Ai. Говорят еще, что об обстановке проведения опыта можно сделать п исключающих друг друга предположений Аi, называемых гипотезами. Вероятность Р(В) события В, которое может произойти только при условии появления одного из событий (гипотез) А1, А2, … Аn, образующих полную группу попарно несовместных событий, равна сумме произведений вероятностей каждого из событий А1, А2, … Аn на соответствующие условные вероятности события В:

Подчеркнем: поскольку гипотезы составляют полную группу событий, то сумма вероятностей гипотез равна единице: Подчеркнем: поскольку гипотезы составляют полную группу событий, то сумма вероятностей гипотез равна единице: Условные вероятности появления события В при i-той гипотезе обозначают P(B/Ai). «Взвешенную» вероятность события В при i-той гипотезе определяют как P(B/Ai)·Р(Аi). Сумма «взвешенных» вероятностей дает вероятность события В с учетом всех гипотез А1….Аn Р(В) = P(B/A1)·Р(А1) + P(B/A1)·Р(А1) + ….+ P(B/An)·Р(Аn).

Пример. На сборку поступают детали с трех станков, производительности которых соотносятся, как 2:3:5. Брак в продукции этих станков составляет 2 %, 1 % и 3 %, соответственно. Найти вероятность того, что случайно взятая деталь из общей продукции автоматов не является бракованной. Пример. На сборку поступают детали с трех станков, производительности которых соотносятся, как 2:3:5. Брак в продукции этих станков составляет 2 %, 1 % и 3 %, соответственно. Найти вероятность того, что случайно взятая деталь из общей продукции автоматов не является бракованной. Решение. Обозначим события: А1 - деталь изготовлена первым автоматом; А2 - деталь изготовлена вторым автоматом; А3 - деталь изготовлена третьим автоматом. Вероятности этих событий Эти события составляют полную группу попарно несовместных событий, так как никакие два из этих событий не могут произойти одновременно.

Событие В – случайно выбранная из общей продукции деталь не является браком - происходит одновременно с одним из событий Ai. Условные вероятности события В согласно условию задачи: Событие В – случайно выбранная из общей продукции деталь не является браком - происходит одновременно с одним из событий Ai. Условные вероятности события В согласно условию задачи: Р(В/А1) = 1 - 0,02 = 0,98; Р(В/А2) = 1 - 0,01 = 0,99; Р(B/A3) = 1 - 0,03 = 0,97. По формуле полной вероятности: Р(В) = Р(А1)Р(В/А1) + Р(А2)Р(В/А2) + Р(А3)Р(В/А3) = = 0,2·0,98 + 0,3·0,99 + 0,5·0,97 = 0,978.

Формула Байеса Формула Байеса или теорема гипотез является следствием формулы полной вероятности и теоремы умножения вероятностей. Она дает возможность пересчитать «априорные» (имевшиеся до проведения опыта) вероятности гипотез Р(Аi) с учетом результата проведенного опыта, то есть определять так называемые «апостериорные» (после опыта) вероятности Р(Аi/В). Пусть об условиях опыта, в котором может произойти событие В, можно сделать ряд взаимоисключающих гипотез А1, А2, …, Аn. Гипотезы образуют полную группу событий

Если уже наступило рассматриваемое некоторое событие В, происходящее с одним из событий Аi, образующих полную группу несовместных событий, причем известны вероятности этих гипотез до испытания P(Ai), а также вероятности, сообщаемые ими событию P(B/Ai), то можно рассчитать вероятности гипотез Аi после того, как событие В произошло. Если уже наступило рассматриваемое некоторое событие В, происходящее с одним из событий Аi, образующих полную группу несовместных событий, причем известны вероятности этих гипотез до испытания P(Ai), а также вероятности, сообщаемые ими событию P(B/Ai), то можно рассчитать вероятности гипотез Аi после того, как событие В произошло. Вероятность Р(Аi/В) гипотезы Ai при условии, что событие В произошло (апостериорная вероятность гипотезы): Формула Байеса, таким образом, дает возможность «пересмотреть» вероятности гипотез с учетом наблюденного результата опыта по мере получения новой информации.

Пример. Наборщик типографии использует два набора шрифтов одинакового объема, при этом в первом наборе 80 %, а во втором – 70 % отличного шрифта. Наудачу извлеченная литера оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта литера взята из второго набора. Пример. Наборщик типографии использует два набора шрифтов одинакового объема, при этом в первом наборе 80 %, а во втором – 70 % отличного шрифта. Наудачу извлеченная литера оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта литера взята из второго набора. Решение. Обозначим события: А1 - литера извлечена из первого набора; А2 - литера извлечена из второго набора. Так как по условию наборы шрифтов имеют одинаковый объем, то вероятности событий: Р(А1) = Р(А2) = 0,5. Эти события составляют полную группу попарно несовместимых событий, так как они не могут произойти одновременно, и сумма их вероятностей равна 1.

Событие В - наудачу взятая литера отличного качества - происходит одновременно с одним из событий Аi. Условные вероятности события В согласно условию задачи: Событие В - наудачу взятая литера отличного качества - происходит одновременно с одним из событий Аi. Условные вероятности события В согласно условию задачи: Р(B/А1) = 0,8; Р(B/А2) = 0,7. В задаче требуется переоценить вероятность события А2 при условии, что событие В произошло. По формуле Байеса

Пример. Вертолет осуществляет поиск льдины с рыбаками в заданном районе моря, где по метеонаблюдениям в 60 % всех случаев в это время года бывает облачная погода, а в 40 % случаев – малооблачная погода. Вероятность обнаружения льдины с рыбаками в хорошую погоду составляет Р1 = 0,9, а в случае плохой погоды – Р2 = 0,6. Пример. Вертолет осуществляет поиск льдины с рыбаками в заданном районе моря, где по метеонаблюдениям в 60 % всех случаев в это время года бывает облачная погода, а в 40 % случаев – малооблачная погода. Вероятность обнаружения льдины с рыбаками в хорошую погоду составляет Р1 = 0,9, а в случае плохой погоды – Р2 = 0,6. Определить апостериорные вероятности Р(B/А1) и Р(B/А2), считая, что обнаружение рыбаков (событие В) произошло. Решение Определяем вероятность события В по «доопытным» данным: Р(В) = Р(А1)·Р(B/А1) + Р(А2)·Р(B/А2) = 0,4·0,9 + 0,6·0,6 = 0,72. По формуле Байеса апостериорная вероятность гипотезы А1

По той же формуле Байеса для апостериорной вероятности гипотезы А2 получаем: По той же формуле Байеса для апостериорной вероятности гипотезы А2 получаем: Из этого следует: тот факт, что событие В произошло в результате опыта, повлиял на изменение априорных вероятностей гипотез: первая увеличилась с 0,4 до 0,5, а вторая уменьшилась с 0,6 до 0,5. Причина этого - более высокая условная вероятность обнаружения рыбаков в хорошую погоду Р(B/А1) = 0,9 по сравнению с Р(B/А2) = 0,6.

Формула Байеса находит широкое применение при создании систем распознавания образов и самообучающихся систем, используемых в робототехнике. Такие системы способны принимать решение о дальнейшем поведении (робота) - делать выбор из множества альтернативных решений - на основании анализа поступающей информации с последующей переоценкой априорных вероятностей (вычисление и анализ апостериорных вероятностей). Формула Байеса находит широкое применение при создании систем распознавания образов и самообучающихся систем, используемых в робототехнике. Такие системы способны принимать решение о дальнейшем поведении (робота) - делать выбор из множества альтернативных решений - на основании анализа поступающей информации с последующей переоценкой априорных вероятностей (вычисление и анализ апостериорных вероятностей). Рассмотрим простейший пример применения так называемого Байесовского подхода к построению самообучающихся систем. Пусть система S на основании поступающей информации Z должна выбрать одно из двух альтернативных решений А0 или А1. Апостериорная вероятность правильности решения А0, зависящего от информации Z о результатах опыта, может быть представлена в виде:

где Р(А0), Р(А1) - априорные вероятности, где Р(А0), Р(А1) - априорные вероятности, P(Z /А0), P(Z /А1) - правдоподобия решений. Разделим числитель и знаменатель правой части равенства на P(Z /А0) ≠ 0 . Отношение правдоподобия обозначим Тогда получим следующее выражение для Р(A0/Z): Проанализируем полученный результат. Пусть Р(A0) = 1, Р(А1) = 0. Тогда апостериорная вероятность Р(A0 / Z) = 1. Если, наоборот, Р(A0) = 0, Р(А1) = 1, то апостериорная вероятность Р(A0 / Z) = 0.

Это означает, что исследуемая система S в первом случае принимает решение А0, а во втором случае - решение А1. Это означает, что исследуемая система S в первом случае принимает решение А0, а во втором случае - решение А1. Таким образом, наличие информации Z о результатах опытов не оказывает никакого влияния на процесс принятия решения системы S - система не имеет тенденции к самообучению, а отношение правдоподобия в данном случае не играет роли. Если отношение правдоподобия (3.6.9) равно единице L = 1, то апостериорная вероятность равна априорной вероятности P(А0 / Z) = P(А0), следовательно, поступающая информация Z не влияет на принятие решения. Чем больше отношение правдоподобия L отличается от единицы, тем в большей степени наблюдается отличие апостериорной и априорной вероятностей, тем сильнее влияние поступающей информации Z на принятие решения А0.

При наблюдении за результатами опытов будет накапливаться информация в виде частоты Р*(А0/Z), которая с ростом числа опытов п будет сходиться по вероятности к вероятности Р(А0/Z). Следовательно, в данном случае накопление информации Z о результатах опытов влияет на принятие решения. При наблюдении за результатами опытов будет накапливаться информация в виде частоты Р*(А0/Z), которая с ростом числа опытов п будет сходиться по вероятности к вероятности Р(А0/Z). Следовательно, в данном случае накопление информации Z о результатах опытов влияет на принятие решения. Таким образом, при отсутствии информации Z о результатах опытов система S руководствуется при принятии решения лишь априорными вероятностями Р(А0) и P(А1). По мере накопления информации Z о результатах опытов система S «самообучается» и корректирует свое поведение в зависимости от Z. Система, "прошедшая обучение", принимает решение, руководствуясь апостериорными вероятностями Р(А0/Z) и Р(А1/Z), которые зависят от Z - информации, получаемой по результатам опытов.

Повторение опытов Повторение опытов связано с задачами, в которых осуществляется последовательность независимых опытов, в каждом из которых может произойти (или не произойти) некоторое событие А, вероятность которого известна. Задача заключается в определении вероятности появления события А ровно т раз в п независимых опытах, которая в дальнейшем будет обозначаться через Рт,п (т = 0...п). Опыты со случайным исходом называются независимыми, если вероятность исхода того или иного опыта не зависит от исходов других опытов. В противном случае опыты будут зависимыми. Рассмотрим два случая определения вероятности Рт,п .

Первый случай Первый случай Независимые опыты проводятся в одинаковых условиях, поэтому вероятность появления события А в каждом опыте одинакова и равна Р(А) = р, а вероятность непоявления события А (появления противоположного события А) равна Р(А) = 1 - р = q . Такая последовательность опытов (испытаний) носит название "испытания Бернулли". Требуется определить вероятность Рт,п появления события А ровно т раз в п опытах (т = 0, ..., n). Примеры задач, связанных с испытаниями Бернулли. 1. Производится п бросаний симметричной монеты на гладкую поверхность стола. При каждом бросании герб (цифра) может появиться с одной и той же вероятностью р = 0,50 . Требуется определить вероятность Рт,п появления герба (цифры) ровно т раз из п бросаний (т = 0, ..., n).

2. Производятся стендовые испытания п однотипных агрегатов на надежность в течение времени t. Вероятность безотказной работы одного агрегата p(t) известна и одинакова для всех агрегатов. 2. Производятся стендовые испытания п однотипных агрегатов на надежность в течение времени t. Вероятность безотказной работы одного агрегата p(t) известна и одинакова для всех агрегатов. Требуется определить вероятность Рm,п того, что все п агрегатов успешно пройдут стендовые испытания. 3. Производится стрельба в тире по мишени п выстрелами с индивидуальным прицеливанием при каждом выстреле с одной дистанции. Вероятность попадания в "десятку" для данного стрелка оценивается величиной р. Требуется определить вероятность Рт,п попадания в "десятку" т раз при п выстрелах (т = 0...п). Вероятность Рт,п появления события А т раз в n независимых опытах определяется выражением (формулой Бернулли)

Пример. Производятся четыре независимых опыта, в каждом из которых с вероятностью р = 0,60 может произойти событие А. Определить вероятность появления события А не менее трех раз. Пример. Производятся четыре независимых опыта, в каждом из которых с вероятностью р = 0,60 может произойти событие А. Определить вероятность появления события А не менее трех раз. Решение. Обозначим В - событие, состоящее в появлении события А не менее трех раз в четырех независимых опытах. Тогда вероятность события В определяется как сумма вероятностей появления события А три или четыре раза: Р(В) = Р3,4+Р4,4. По формуле Бернулли получим решение задачи:

Пример. Монета бросается пять раз. Какова вероятность того, что число выпавших гербов будет больше числа выпавших цифр? Пример. Монета бросается пять раз. Какова вероятность того, что число выпавших гербов будет больше числа выпавших цифр? Решение. Обозначим А искомое событие - число выпавших гербов больше числа цифр при пяти бросаниях монеты. Для выполнения события А необходимо, чтобы число гербов при пяти бросаниях монеты было 3, 4 или 5 (при этом цифр будет соответственно 2, 1 или 0). По формуле Бернулли получим