🗊Презентация Классическое определение вероятности

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТИ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Лекция 2. Лекция 2. Основные изучаемые вопросы: Классическое определение вероятности. Геометрическое определение вероятности. Статистическое определение вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятностей.

Классическое определение вероятности Вероятность события - это численная мера объективной возможности его появления. В соответствии с классическим определением, вероятность Р(А) события А равняется отношению числа случаев М, благоприятствующих событию А, к общему числу всех возможных исходов испытания N: При этом полагают, что: испытание содержит конечное число исходов, то есть А1, А2, А3, Аn – полная группа событий; все исходы испытания равновозможны и несовместны: говорят: «взяты наугад», «наудачу» и т.п.

Примеры В урне находятся 10 шаров белого цвета и 5 шаров красного цвета. Пусть событие А1 состоит в извлечении из урны белого шара , а событие А2 – в извлечении красного шара. Тогда Р(А1) = 10/(10 + 5) = 2/3, Р(А2) = 5/(10 + 5) = 1/3.

Геометрическое определение вероятности Классическое определение вероятности основывается на том, что число всех возможных случаев конечно. Если распределение возможных исходов испытания непрерывно и бесконечно, то при решении задач используется понятие геометрической вероятности - вероятности попадания точки в область (отрезок, часть плоскости, часть объема и т. д.).

Геометрической вероятностью события А называется отношение меры области g (mes(g)), благоприятствующей событию А, к мере всей области G (mes(G)): Геометрической вероятностью события А называется отношение меры области g (mes(g)), благоприятствующей событию А, к мере всей области G (mes(G)): Область, на которую распространяется геометрическая вероятность, может быть: одномерной (кривая, отрезок), тогда ее мерой является длина; двумерной (геометрическая фигура на плоскости), мерой ее является площадь; трехмерной (тело в пространстве), мерой ее является объем; n-мерной в общем случае.

Пример. Два друга договорились встретиться в определенном месте между 16.00 и 17.00. Пришедший первым ждет другого в течение 15 минут, после чего уходит. Какова вероятность их встречи, если приход каждого из друзей в течение указанного времени случаен и моменты прихода независимы? Пример. Два друга договорились встретиться в определенном месте между 16.00 и 17.00. Пришедший первым ждет другого в течение 15 минут, после чего уходит. Какова вероятность их встречи, если приход каждого из друзей в течение указанного времени случаен и моменты прихода независимы? Решение. Событие А состоит в том, что встреча друзей состоялась. Обозначим х и у- моменты прихода двух друзей, которые меняются в интервале от 0 до 60 минут. Все такие пары (х, у) представляют собой все возможные моменты приходов двух друзей. Для того чтобы встреча состоялась необходимо, чтобы х - у < 15 или у - х < 15, т. е. |х - у| < 15. При графическом изображении (х, у) в двумерной системе координат область G - всех возможных исходов представляет собой квадрат со сторонами 60, а область g (исходов, благоприятствующих событию g), представляет собой выделенную область.

Вероятность события А, согласно геометрическому определению вероятности, равна отношению площади выделенной фигуры g к площади квадрата G: Вероятность события А, согласно геометрическому определению вероятности, равна отношению площади выделенной фигуры g к площади квадрата G:

Статистическое определение вероятности Статистическая вероятность определяется из опыта наблюдения результатов испытания. С этой целью проводится в неизменных условиях большое число п независимых друг от друга одинаковых испытаний, в каждом из которых некоторое событие А может появиться или не появиться, и фиксируется число появлений события А, обозначаемое через тА. По данным наблюдений рассчитывают отношение называемое частостью (относительной частотой, выборочной долей) события А. Статистической вероятностью события А называется предел частости (относительной частоты) тА / п появления этого события в п произведенных испытаниях при стремлении п к бесконечности:

При конечном значении n, меньшем бесконечности, частость в результате проведения опыта может, разумеется, несколько отличаться от вероятности. При конечном значении n, меньшем бесконечности, частость в результате проведения опыта может, разумеется, несколько отличаться от вероятности. Например, при проведении серий из 1000 опытов с подбрасыванием монеты Яков Бернулли лишь несколько раз получил значение частости выпадения «орла», в точности равным 0,5; в большинстве же случаев частость отличалась от «теоретического» значения на 1-2 %. Общее правило при этом таково: с увеличением числа опытов среднее значение частости стремится к значению «классической» вероятности события. Классическая вероятность априорна (ее получают, не производя опытов, на основе рассуждений), а статистическая вероятность апостериорна (ее получают после проведения серии или нескольких серий опытов).

Пример. На 1000 заключенных договоров определенного типа страховщик зафиксировал к концу года 15 произошедших страховых случаев. Следовательно, в дальнейшем он может считать вероятность наступления страхового случая в такого типа договорах, приблизительно равной: Пример. На 1000 заключенных договоров определенного типа страховщик зафиксировал к концу года 15 произошедших страховых случаев. Следовательно, в дальнейшем он может считать вероятность наступления страхового случая в такого типа договорах, приблизительно равной: Заметим, что рассматриваемый статистический подход к определению неизвестной вероятности события дает оценку вероятности, понятие которой уточняется в математической статистике. К статистическому определению вероятности приходится часто обращаться на практике, когда исходы случайного эксперимента уточнены досконально и, если даже они известны в конечном числе, то их никак нельзя считать равновероятными до опыта.

Теоремы сложения и умножения вероятностей Для использования теорем сложения вероятностей необходимо установить совместность - несовместность событий, т. е. могут ли они происходить одновременно. Теорема сложения для двух несовместных событий Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий. Р(А+В) = Р(А) + Р(В). Теорема сложения для n несовместных событий Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий. Р(А1 + А2 + А3 ... + Аn) = Р(А1) + P(A2) + Р(А3) ... + Р(Аn).

Рассмотрим важные следствия из теоремы сложения для несовместных случайных событий. Рассмотрим важные следствия из теоремы сложения для несовместных случайных событий. Следствие 1. Сумма вероятностей событий H1, Н2 ..., Hn, образующих полную группу несовместных событий, равна 1. Р(Н1) + Р(Н2) + ... + Р(Нn) = 1. Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1. Р(А) + Р(А) = 1. Теорема сложения для двух совместных событий Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления. Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(А·В).

Теорема сложения для трех совместных событий Теорема сложения для трех совместных событий Вероятность суммы трех совместных событий равна: Р(А+В+С) = Р(А)+Р(В)+Р(С)-Р(А·В)-Р(В·С)-Р(А·С)+Р(А·В·С). Пример. Сеть закусочных, торгующих хотдогами и гамбургерами, установила, что 75 % всех посетителей используют горчицу, 80 % - кетчуп, а 65 % - и то, и другое. а) Какова вероятность, что случайно взятый клиент будет использовать хотя бы одну из этих приправ? б) Какова вероятность, что он будет использовать только кетчуп? Решение. Обозначим случайные события: А - случайно выбранный посетитель использует горчицу; В - случайно выбранный посетитель использует кетчуп. Тогда P(A) = 0,75; Р(В) = 0,8; Р(А·В) = 0,65.

В соответствии с формулой для двух совместных событий В соответствии с формулой для двух совместных событий Р(А + В) = Р(А) + Р(В) - Р(А·В) = 0,75 + 0,8 – 0,65 = 0,9. Итак, вероятность того, что посетитель воспользуется хотя бы одной из двух специй Р(А + В) = 0,9. Вероятность события, заключающегося в том, что посетитель воспользуется только кетчупом, можно определить двумя способами: - вычесть из вероятности использования хотя бы одной из специй вероятность использования горчицы: Р(А + В) - Р(А) = 0,9 – 0,75 = 0,15; - вычесть из вероятности использования посетителем кетчупа вероятность использования одновременно обеих специй: Р(В) - Р(А·В) = 0,8 – 0,65 = 0,15.

Теоремы умножения вероятностей Если при использовании теорем сложения вероятностей проверяется совместность/несовместность событий, то применение теорем умножения требует проверки случайных событий на зависимость/независимость. События А и В называются зависимыми, если вероятность одного из них зависит от наступления или не наступления другого. Иначе случайные события называются независимыми. Пример. При подбрасывании двух монет событие А - появление герба на первой монете и событие В - появление герба на 2-й монете - есть события независимые друг от друга, так как вероятность их наступления не зависит от появления или не появления другого события. При подбрасывании одной и той же монеты несколько раз появление герба каждый раз не зависит от того, появился ли герб предыдущий раз, и соответствующие события также будут независимыми.

Пример. При извлечении без возвращения одного за другим двух шаров из урны с черными и белыми шарами событие Пример. При извлечении без возвращения одного за другим двух шаров из урны с черными и белыми шарами событие А - появление первого белого шара и событие В - извлечение после этого второго белого шара - являются зависимыми, так как вероятность события В зависит от того, произошло или нет событие А, изменяющее количество и состав шаров в урне. Несовместные события зависимы, так как появление любого из их обращает в нуль вероятности появления всех остальных. В случае зависимых событий вводится понятие условной вероятности. Условной вероятностью Р(А/В) события А называется его вероятность, вычисленная при условии, что событие В произошло. Аналогично, через Р(В/А) обозначается условная вероятность события В при условии, что А наступило. Для независимых событий по определению Р(А/В)=Р(А); Р(В/А) = Р(В).

Пример. Из полной колоды карт (52 шт.) случайным образом извлекается одна карта. Определим случайные события: Пример. Из полной колоды карт (52 шт.) случайным образом извлекается одна карта. Определим случайные события: А - появление дамы, В - появление карты черной масти, С - появление пиковой дамы. Определить зависимость/независимость следующих пар событий: 1) А и В; 2) А и С, 3) В и С. Решение. 1) А и В - независимы, при этом P(A) = 1/13, P(B) = 1/4. 2) A и C – зависимы, при этом P(A/С) = 1, P(С/А) = 1/4. 3) В и C – зависимы, при этом P(В/С) = 1, P(С/В) = 1/26.

Теорема умножения для зависимых событий Теорема умножения для зависимых событий Вероятность произведения зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, при условии, первое произошло. Р(А·В) = Р(А) · Р(В/А) = Р(В) · Р(А/В). Следствие 1. Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей. Р(А·В) = Р(А) · Р(В). Следствие 2. Для п независимых испытаний, в каждом из которых случайное событие А может появиться с вероятностью Р(А) = р, вероятность появления А хотя бы один раз равна: Р(В) = 1 - (1 - р)п.

Пример. В коробке имеется 5 новых и 7 использованных батареек. Случайным образом из коробки извлекают две батарейки. Какова вероятность, что обе батарейки окажутся новыми, если осуществляется выбор: Пример. В коробке имеется 5 новых и 7 использованных батареек. Случайным образом из коробки извлекают две батарейки. Какова вероятность, что обе батарейки окажутся новыми, если осуществляется выбор: а) без возвращения - батарейки не возвращаются обратно; б) с возвращением - батарейки после извлечения возвращаются обратно в коробку. Решение. Обозначим события: A1 - первая извлеченная батарейка - новая; А2 - вторая извлеченная батарейка - новая; А - обе извлеченные батарейки - новые. Очевидно, что событие А является произведением А1 и А2, так как оба эти события должны наступить для того, чтобы произошло событие А, т. е. А= А1 · А2.

а). Так как выбор осуществляется без возвращения, то события А1 и А2 - зависимые. Вероятность события А2 зависит от того, произошло или не произошло до этого событие А1. а). Так как выбор осуществляется без возвращения, то события А1 и А2 - зависимые. Вероятность события А2 зависит от того, произошло или не произошло до этого событие А1. Вероятность того, что первая извлеченная батарейка будет новой, равна Р(А1) = 5/12. После этого в коробке останется 11 батареек, из них 4 новые. Таким образом, условная вероятность события А2, при условии что перед ним произошло событие А1 равна Р(А2/А1) = 4/11. По теореме умножения для зависимых событий вероятность искомого события А: Р(А) = Р(А1)·Р(А2/А1) = 5/12 · 4/11 = 5/33.

б). Так как выбор осуществляется с возвращением, то состав коробки не изменяется, следовательно, события А1 и А2 - независимые, так как вероятность события А2 не зависит от того, произошло или не произошло до этого событие А1. б). Так как выбор осуществляется с возвращением, то состав коробки не изменяется, следовательно, события А1 и А2 - независимые, так как вероятность события А2 не зависит от того, произошло или не произошло до этого событие А1. Вероятность того, что первая и вторая извлеченные батарейки будут новыми равна P(A1) = P(A2) = 5/12. По теореме умножения для независимых событий, вероятность искомого события А: Р(А) = P(A1·А2) = Р(А1)·Р(A2) = (5/12)2 = 25/144.

Примеры для обсуждения Примеры для обсуждения По какой формуле вычисляют вероятность совместного появления двух зависимых событий? а) Р(А) + Р(В) – Р(А·В); б) Р(А) + Р(В); в) Р(А) · Р(В/А); г) Р(А) · Р(В). По какой формуле можно определить вероятность появления одного из двух несовместных событий а) Р(А) · Р(В); б) Р(А) + Р(В); в) Р(А) · Р(В/А); г) Р(А) + Р(В) – Р(А·В).

Известны вероятности событий А, В и С. Какие из формул соответствуют событию, состоящему в том, что выполнятся все события А, В и С? Известны вероятности событий А, В и С. Какие из формул соответствуют событию, состоящему в том, что выполнятся все события А, В и С? а) 1– Р(А·В·С); б) Р(А + В + С); в) 1– Р(А·В·С); г) Р(А)·Р(В)·Р(С). Известны вероятности событий А, В и С. Какая из формул соответствует событию, состоящему в том, что выполнится хотя бы одно из событий А, В и С? а) 1– Р(А·В·С); б) 1 - Р(А + В + С); в) 1– Р(А·В·С) – Р(А·В·С) – Р(А·В·С); г) Р(А)·Р(В)·Р(С) + Р(А)·Р(В)·Р(С) + Р(А)·Р(В)·Р(С).

Задача Бюффона Задача Бюффона На плоскости проведены две параллельные прямые на расстоянии 2а друг от друга. На плоскость наудачу брошена игла длиной 2l < 2а. Какова вероятность того, что игла пересечет одну из прямых? Решение Возможные положения иглы (длины отрезка 2l ) полностью определяются поперечной координатой центра иглы x и углом поворота ее относительно параллельных прямых . Эти параметры не зависят друг от друга.

Координата x может изменяться относительно середины расстояния между прямыми в интервале от 0 до а, а координата  – в интервале от 0 до . Координата x может изменяться относительно середины расстояния между прямыми в интервале от 0 до а, а координата  – в интервале от 0 до . Множество возможных положений иглы может быть задано прямоугольником размерами а· Благоприятные для пересечения иглой одной из параллельных прямых задаются неравенством x ≤ l sin