Теория вероятностей и математическая статистика - презентация, доклад, проект скачать

Нажмите для полного просмотра!

Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №1

Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №2

Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №3

Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №4

Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №5

Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №6

Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №7

Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №8

Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №9

Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №10

Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №11

Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №12

Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №13

Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №14

Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №15

Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №16

Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №17

Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №18

Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №19

Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №20

Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №21

Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №22

Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №23

Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №24

Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №25

Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №26

Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №27

Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №28

Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №29

Теория вероятностей и математическая статистика, слайд №30

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Теория вероятностей и математическая статистика. Доклад-сообщение содержит 30 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1

Описание слайда:

Слайд 2

Описание слайда:

Лекция 8. Лекция 8. Основные изучаемые вопросы: 1. Точечные оценки параметров генеральной совокупности. 2. Ошибка выборочных наблюдений. 3. Распределение Стьюдента (Госсета). 4. Построение интервальных оценок. 5. Интервальные оценки генеральной средней (математического ожидания).

Слайд 3

Описание слайда:

В качестве точечных оценок параметров генеральной совокупности используются соответствующие выборочные характеристики. В качестве точечных оценок параметров генеральной совокупности используются соответствующие выборочные характеристики. Выборочная средняя является точечной оценкой генеральной средней, т.е. Генеральная дисперсия имеет две точечные оценки: 2выб - выборочная дисперсия, исчисляется при п ≥ 30 S2 - исправленная выборочная дисперсия, при п < 30

Слайд 4

Описание слайда:

При больших объемах выборки 2выб и S2 практически совпадают. При больших объемах выборки 2выб и S2 практически совпадают. Для того чтобы статистики служили хорошими оценками параметров генеральной совокупности, они должны обладать рядом свойств: несмещенности, эффективности, состоятельности, достаточности. Оценка называется несмещенной, если математическое ожидание выборки равно оцениваемому параметру. Оценка называется эффективной, если при заданном объеме выборки она обеспечивает наименьшую дисперсию среди всех возможных несмещенных оценок.

Слайд 5

Описание слайда:

Слайд 6

Описание слайда:

ОШИБКА ВЫБОРОЧНЫХ НАБЛЮДЕНИЙ ОШИБКА ВЫБОРОЧНЫХ НАБЛЮДЕНИЙ Разность между генеральными характеристиками и соответствующими выборочными статистиками называется ошибкой выборки, или ошибкой репрезентативности. Статистические методы позволяют оценить эту разность, которая зависит как от характеристик выборки, так и от ее объема. В процессе выборочного исследования параметры генеральной совокупности определяются в виде интервала, построенного вокруг выборочной статистики. Из теоремы Чебышева следует, что Р(Хвыб -  < Хген < Хвыб + ) = 2Ф0(t) = Ф(t) = . Таким образом определяется интервальная оценка генеральной средней, которая представляет собой доверительный интервал, содержащий оцениваемый параметр генеральной совокупности: Хвыб -  < Хген < Хвыб + , где  - предельная ошибка выборки.

Слайд 7

Описание слайда:

Интервальной оценкой называют оценку, которая определяется двумя числами - концами интервала, который с определенной вероятностью накрывает неизвестный параметр генеральной совокупности. Интервальной оценкой называют оценку, которая определяется двумя числами - концами интервала, который с определенной вероятностью накрывает неизвестный параметр генеральной совокупности. Для определения доверительного интервала необходимо вычислить предельную ошибку выборки , позволяющую установить предельные границы, в которых с заданной вероятностью (надежностью) должен находиться параметр генеральной совокупности. Предельная ошибка выборки равна t-кратному числу средних ошибок выборки. Коэффициент t позволяет установить, насколько надежно высказывание о том, что заданный интервал содержит параметр генеральной совокупности.

Слайд 8

Описание слайда:

Если мы выберем коэффициент таким, что высказывание в 97 % случаев окажется правильным и только в 3 % - неправильным, то мы говорим - со статистической надежностью в 97 % доверительный интервал выборочной статистики содержит параметр генеральной совокупности. Статистической надежности в 97 % соответствует доверительная вероятность  = 0,97. Если мы выберем коэффициент таким, что высказывание в 97 % случаев окажется правильным и только в 3 % - неправильным, то мы говорим - со статистической надежностью в 97 % доверительный интервал выборочной статистики содержит параметр генеральной совокупности. Статистической надежности в 97 % соответствует доверительная вероятность  = 0,97. Если в 5 % случаев утверждение «параметр принадлежит доверительному интервалу» будет неверным, то 5 % задает уровень значимости (а = 0,05 - вероятность ошибки). Обычно в статистике уровень значимости выбирают таким, чтобы он не превысил 5 % (а < 0,05). Доверительная вероятность и уровень значимости дополняют друг друга до 1 (или 100 %) и определяют надежность статистического высказывания. Имеет место соотношение: а = 1 - .

Слайд 9

Описание слайда:

Из теоремы Чебышева следует, что с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, можно утверждать, что при достаточно большом объеме выборки и ограниченной дисперсии генеральной совокупности разность между выборочной средней и генеральной средней будет сколь угодно мала Из теоремы Чебышева следует, что с вероятностью, сколь угодно близкой к единице, можно утверждать, что при достаточно большом объеме выборки и ограниченной дисперсии генеральной совокупности разность между выборочной средней и генеральной средней будет сколь угодно мала где Хвыб - средняя по совокупности выбранных единиц; Хген - средняя по генеральной совокупности; ген - среднее квадратическое отклонение в генеральной совокупности; n - объем выборочной совокупности. Итак, о величине расхождения между параметром и статистикой можно судить лишь с определенной вероятностью, от которой зависит величина t.

Слайд 10

Описание слайда:

Согласно центральной предельной теореме Ляпунова выборочные распределения статистик при n > 30 Согласно центральной предельной теореме Ляпунова выборочные распределения статистик при n > 30 будут иметь нормальное распределение независимо от того, какое распределение имеет генеральная совокупность. В случае, если объем выборочной совокупности n < 30, то при определении величины t используют распределение Стьюдента. Распределение Стьюдента приводится в таблицах. Величину t определяют, задаваясь - уровнем значимости a; - числом степеней свободы k = n – 1, где n – объем выборочной совокупности.

Слайд 11

Описание слайда:

Слайд 12

Описание слайда:

Распределение Стьюдента (Госсета) Распределение Стьюдента (Госсета) Случайная величина Т имеет распределение Стьюдента с k степенями свободы (под k обычно понимают размер выборки без единицы), если она определена на интервале (-, +) и имеет следующую плотность вероятности График плотности вероятности распределения Стьюдента имеет вид, напоминающий нормальное распределение, однако спад значений f(t) более пологий, а максимум функции расположен ниже, чем у соответствующего нормального распределения.

Слайд 13

Описание слайда:

При стремлении k к бесконечности (уже при k > 30) распределение Стьюдента стремится к нормальному распределению. При стремлении k к бесконечности (уже при k > 30) распределение Стьюдента стремится к нормальному распределению. Математическое ожидание распределения Стьюдента равно 0 (оно является центрированным), а дисперсия равна Использование распределения Стьюдента в математической статистике основано на следующей интерпретации. Пусть Z и V – независимые случайные величины, причем Z распределена по нормированному нормальному закону с нулевым матожиданием и единичной дисперсией, а V имеет 2 – распределение с k степенями свободы.

Слайд 14

Описание слайда:

Тогда случайная величина Тогда случайная величина распределена по закону Стьюдента с k степенями свободы. Установлено, что распределение Стьюдента имеет случайная величина, представляющая собой отношение точности оценки  к дисперсии математического ожидания этой оценки:

Слайд 15

Описание слайда:

Слайд 16

Описание слайда:

ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕРВАЛЬНЫХ ОЦЕНОК ПОСТРОЕНИЕ ИНТЕРВАЛЬНЫХ ОЦЕНОК Пусть найденная по данным выборки статистическая характеристика Хвыб служит точечной оценкой неизвестного параметра Xген генеральной совокупности. Доверительным интервалом  = [Хвыб - ; Хвыб + ] для параметра Х называет такой интервал, относительно которого можно утверждать с определенной, близкой к единице, вероятностью , что он содержит неизвестное значение параметра Xген. Величину  называют доверительной вероятностью (надежностью) оценки параметра Х. Величину  называют точностью оценки. Нижняя и верхняя границы интервала равны: Х min = Хвыб - , Х max = Хвыб + . Ширина доверительного интервала: h = Х max - Х min. Простейший способ построения интервальной оценки основан на использовании неравенства Чебышева.

Слайд 17

Описание слайда:

Пусть Хвыб - несмещенная оценка параметра Хген, тогда Пусть Хвыб - несмещенная оценка параметра Хген, тогда (DХ предполагается существующей и известной), откуда доверительный интервал определяется как h = [Хвыб - ; Хвыб + ]. Итак, интервальное оценивание сводится к определению границ интервала, удовлетворяющему условию: P(Хmin < Хген < Хmax ) = . Рассмотрим правила построения доверительных интервалов для параметров нормальной совокупности X на основании случайной выборки х1, х2, … , хn.

Слайд 18

Описание слайда:

ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ГЕНЕРАЛЬНОЙ СРЕДНЕЙ (МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ) ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ ГЕНЕРАЛЬНОЙ СРЕДНЕЙ (МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОЖИДАНИЯ) Пусть из генеральной совокупности X, имеющей нормальный закон распределения с математическим ожиданием  и дисперсией 2 взята случайная выборка объемом п. В качестве основы интервальной оценки математического ожидания используется точечная оценка - среднее арифметическое х, относительно которого строится симметричный интервал. Правила построения доверительного интервала для математического ожидания зависят от того, известна или неизвестна дисперсия генеральной совокупности 2. 1. Доверительный интервал для  при известной дисперсии 2. В этом случае полагают распределенной по нормальному закону величину

Слайд 19

Описание слайда:

Тогда Тогда где Ф(t) – интегральная функция Лапласа. Итак, построение доверительного интервала с заданной надежностью  для генеральной средней при известной генеральной дисперсии осуществляется по формуле: где t – значение стандартной нормальной величины, соответствующее надежности : t = Ф-1(). Точность оценки генеральной средней равна

Слайд 20

Описание слайда:

Пример. Анализ доходности акций на основе случайной выборки за 16 дней показал, что средняя доходность составляет 10,37 %. Предполагая, что доходность акций подчиняется нормальному закону распределения: Пример. Анализ доходности акций на основе случайной выборки за 16 дней показал, что средняя доходность составляет 10,37 %. Предполагая, что доходность акций подчиняется нормальному закону распределения: А). Определить ширину доверительного интервала для средней доходности с надежностью  = 0,97, если известно, что  = 2 %; Б). Найти доверительную вероятность того, что точность оценивания составит  = 0,98; В). Определить минимальное число наблюдений, которое необходимо провести, чтобы с вероятностью  = 0,99 можно было утверждать, что средняя доходность заключена в интервале шириной 3 %.

Слайд 21

Описание слайда:

Решение. Решение. А). Так как дисперсия генеральной совокупности известна, то при построении доверительного интервала для генеральной средней будем исходить из формулы Для заданной надежности  определим значение t = Ф-1() по таблице функции Лапласа Ф-1(0,97) = 2,17, откуда ширина доверительного интервала средней доходности

Слайд 22

Описание слайда:

Слайд 23

Описание слайда:

В). Ширина доверительного интервала генеральной средней определяется выражением В). Ширина доверительного интервала генеральной средней определяется выражением Отсюда Для заданной надежности у определим значение t = Ф-1() по таблицам функции Лапласа, t = Ф-1(0,99) = 2,58, откуда минимальное число наблюдений, которое необходимо провести, чтобы с вероятностью  = 0,99 можно было утверждать, что средняя доходность заключена в интервале шириной 3 %, равно:

Слайд 24

Описание слайда:

2. Доверительный интервал для  при неизвестной дисперсии 2. 2. Доверительный интервал для  при неизвестной дисперсии 2. В этом случае полагают величину ta распределенной по закону распределения Стьюдента (t-распределение) с k = п - 1 степенями свободы: Построение доверительного интервала с заданной надежностью  для генеральной средней при неизвестной генеральной дисперсии осуществляется по формуле: где ta - значение функции распределения Стьюдента (t-распределения), соответствующее k = п - 1 степеням свободы и вероятности  = 1 – ; ta = St-1 ( = 1 - ; k = п - 1).

Слайд 25

Описание слайда:

Точность оценки генеральной средней равна Точность оценки генеральной средней равна Пример. По данным предыдущего примера, при условии, что на основе случайной выборки за 16 дней получена оценка S = 2,5 % А). Определить верхнюю границу доверительного интервала для средней доходности с надежностью  = 0,9; Б). Найти доверительную вероятность того, что средняя доходность заключена в интервале (10,35 %; 10,39 %). Решение. А). Так как точное значение дисперсии генеральной совокупности неизвестно, то при построении доверительного интервала для генеральной средней будем исходить из формулы

Слайд 26

Описание слайда:

Для заданной надежности  определим значение Для заданной надежности  определим значение ta = St-1(n) по таблице t-распределения Стьюдента ta = St-1(1 - 0,9; 16 - 1) = St-1(0,1; 15) = 1,753, откуда верхняя граница доверительного интервала

Слайд 27

Описание слайда:

Слайд 28

Описание слайда:

Далее в таблице t-распределения Стьюдента для числа степеней свободы k = п - 1 = 16 - 1 = 15 берем ближайшее к полученному значению t и получаем приближенное значение надежности: Далее в таблице t-распределения Стьюдента для числа степеней свободы k = п - 1 = 16 - 1 = 15 берем ближайшее к полученному значению t и получаем приближенное значение надежности:  = 1 – St (ta; n - 1) = 1 – St (3,098; 15) ≈ ≈ 1 – St (2,947; 15) = 1 - 0,01 = 0,99. Чтобы получить более точное значение вероятности  = St(ta; п – 1) и надежности , необходимо прибегнуть к методу линейной интерполяции в таблице t-распределения Стьюдента.

Слайд 29

Описание слайда:

1. Производятся измерения размера детали с помощью штангенциркуля. 1. Производятся измерения размера детали с помощью штангенциркуля. 2. Генеральная совокупность измерений включает 20 результатов: 10,3 мм 10,1 мм 10,2 мм 10,3 мм 10,0 мм 10,1 мм 10,3 мм 10,2 мм 10,1 мм 10,3 мм 9,9 мм 9,7 мм 9,8 мм 10,2 мм 9,7 мм 9,7 мм 10,2 мм 9,9 мм 9,8 мм 9,9 мм 3. Определите математическое ожидание и дисперсию размера детали: - по всей генеральной совокупности; - по выборочной совокупности из серии, включающей первые десять измерений (две верхних строки); - по выборочной совокупности из серии, включающей вторую группу из десяти измерений (две нижних строки).

Слайд 30

Описание слайда:

4. Постройте вариационный ряд и кумуляту с интервалами, равными 0,1 мм, для генеральной совокупности измерений. 4. Постройте вариационный ряд и кумуляту с интервалами, равными 0,1 мм, для генеральной совокупности измерений. 5. Определите ширину доверительного интервала при доверительной вероятности 0,95 для первой выборки и для всей генеральной совокупности.