🗊Презентация Позиционные задачи

ЛЕКЦИЯ 5

Позиционными задачами называют такие, в которых определяется взаимное расположение геометрических фигур в пространстве

Взаимное пересечение геометрических фигур Две геометрические фигуры, пересекаясь, дают общий элемент: Прямая с прямой - точку (а  b  К). Прямая с плоскостью - точку (а    К). Прямая с поверхностью - одну или несколько точек (а    К, М ...). Плоскость с плоскостью - прямую линию (  Г  а). Плоскость с поверхностью - плоскую кривую или плоскую ломаную (    m). Поверхность с поверхностью - пространственную кривую или несколько пространственных кривых, которые, в свою очередь, могут состоять из плоских кривых или плоских ломаных (    m).

Из всего многообразия этих задач выделяются две общие задачи, которые называют главными позиционными задачами: Первая главная позиционная задача (1 ГПЗ) - пересечение линии с поверхностью. Вторая главная позиционная задача (2 ГПЗ) - взаимное пересечение двух поверхностей.

При решении 2 ГПЗ сначала необходимо выяснить, что будет являться общим элементом у двух пересекающихся поверхностей. а) Пересекаются два многогранника - общий элемент есть пространственная ломаная линия, состоящая из отдельных звеньев

б) Пересекаются многогранник с кривой поверхностью (например, тор с пирамидой). Общий элемент - пространственная кривая линия, состоящая из отдельных звеньев. в) Пересекаются две кривые поверхности (например, сфера с конусом). Общий элемент - пространственная кривая линия.

Далее необходимо определить количество общих элементов пересекающихся поверхностей. Определяется оно в зависимости от характера пересечения поверхностей.

Характер пересечения поверхностей

Такой характер пересечения, когда одна из поверхностей насквозь пронзает другую, называется чистое проницание. В этом случае линий пересечения две (на рис. это m и n).

Когда очерки поверхностей касаются в одной точке, является частным случаем проницания. Линий пересечения две (m и n), но с одной общей точкой (А).

Когда одна из поверхностей "вдавливается" в другую, называется вмятие. В этом случае линия пересечения одна (на рис. это - m).

Решение главных позиционных задач. 3 случая. 3 алгоритма. Здесь имеет место З случая: обе пересекающиеся фигуры занимают проецирующее положение. Задачи решаются по первому алгоритму. одна из пересекающихся фигур - проецирующая, другая – непроецирующая. Задачи решаются по второму алгоритму. обе пересекающиеся фигуры - непроецирующие. Задачи решаются по третьему алгоритму.

Фигуры могут занимать проецирующее положение. Таковыми являются: прямая, плоскость, а из всех известных нам поверхностей проецирующее положение могут занимать только призматическая поверхность (частный случай - призма) и цилиндрическая поверхность (частный случай - прямой круговой цилиндр).

Главными проекциями у них являются: у прямой а - точка а1, у плоскости  - прямая 1, у призмы  - треугольник 1, у цилиндра Г - окружность Г1 (в общем случае - замкнутая или разомкнутая кривая). Главные проекции проецирующих фигур обладают "собирательными" свойствами

Решение задач в случае, когда обе пересекающиеся фигуры занимают проецирующее положение. 1 алгоритм Задача : Найти проекции точки пересечения горизонтально-проецирующей плоскости (m || n) с фронтально-проецирующей прямой а.

Алгоритм: Так как в пересечении участвует прямая линия (а), то это - первая главная позиционная задача. Обе пересекающиеся фигуры - проецирующие относительно разных плоскостей проекций. Решение начинаем с фронтальной проекции.

Выполним краткую алгоритмическую запись вышеизложенного: (m || n)  а = К; 1 ГПЗ, 1 алгоритм. 1. К  а, а  П2  К2 = а2. 2. К  а, К  ,   П1  К1 = 1  а1.

Таким образом, решение 1 ГПЗ по первому алгоритму заключается в следующем: Проекции общего элемента на чертеже уже присутствуют. Они совпадают с главными проекциями проецирующих фигур. Решение сводится к их нахождению и обозначению.

Вторую главную позиционную задачу решим в соответствии с рассмотренным алгоритмом. Задача: найти проекции линии пересечения горизонтально проецирующего цилиндра Ф с фронтально проецирующей призмой Г

Алгоритм: Пересекаются две поверхности, это - 2 ГПЗ. Вначале анализируем, что должно получиться в результате пересечения. Так как характер пересечения - вмятие, то общим элементом должна быть одна пространственная линия - m.

Алгоритмическая запись будет выглядеть следующим образом: Ф  Г = m; 2 ГПЗ, 1 алгоритм. m Г, Г  П2  m2 = Г2 m  ,   П1  m1 = 1

Проанализируем, из чего состоит линия пересечения m. Как мы уже предполагали, это пространственная линия. Она состоит из двух плоских кривых а и b, получающихся от пересечения цилиндра двумя гранями призмы, которые на рис. обозначены плоскостями  и .

Плоскость (2) - это горизонтальная плоскость уровня. Она параллельна окружности основания цилиндра, поэтому она пересечёт цилиндр Ф тоже по окружности. Плоскость (2) - фронтально проецирующая и пересечёт цилиндр Ф по эллипсу.

Проекции общего элемента на чертеже уже есть. Они совпадают с главными проекциями проецирующих фигур. Если совпадение только частичное, то находят границы общей части. Решение сводится к их нахождению и обозначению.

Решение задач в случае, когда одна из пересекающихся фигур проецирующая, вторая - непроецирующая. 2 алгоритм

Задача: Найти проекции точки пересечения плоскости общего положения (m  n) с фронтально проецирующей прямой а.

Алгоритм: Решение начинаем, с фронтальной проекции. Фронтальная проекция точки пересечения К2 совпадёт с фронтальной проекцией прямой а2, так как а2 - точка.

Горизонтальную проекцию точки пересечения К1 будем находить её по признаку принадлежности плоскости .

Следующим этапом необходимо определить видимость прямой а на горизонтальной проекции. Для этого воспользуемся методом конкурирующих точек.

Выполним краткую алгоритмическую запись решения: (m  n)  a = K; 1 ГПЗ, 2 алгоритм 1. К  a , а  П2  К2 =а2. 2. К1  , К 12, 12    К1 = а1  1121.

Рассмотрим ещё одну задачу: Пересекаются прямая общего положения а с поверхностью горизонтально проецирующего цилиндра Г. Найти проекции точек пересечения.

Алгоритмическая запись решения: Г  а = М, N, 1 ГПЗ, 2 алгоритм. М, N  Г, Г  П1  M1, N1 = Г1  а1. М, N  a  M2 ,N2  a2.

Решение задач по 2 алгоритму сводится к следующему: Выделяют из двух заданных фигур проецирующую и отмечают её главную проекцию . Ставят обозначение той проекции искомого общего элемента, которая совпадает с главной проекцией проецирующей фигуры. Если совпадение только частичное, то находят границы общей части. Вторую проекцию общего элемента находят по условию его принадлежности непроецирующей фигуре. Определяют видимость проекций общих элементов и пересекающихся фигур.

Решение 2 ГПЗ по 2 алгоритму рассмотрим на примере конических сечений. При пересечении конуса различными плоскостями можно получить прямые линии, кривые второго порядка и, как вырожденный случай, точку.

Две образующие получатся в сечении, если плоскость, пересекая конус, проходит через его вершину

Частным случаем такого вида пересечения конуса плоскостью является такое положение, при котором плоскость  проходит через ось i конуса ( 1 совпадает с плоскостью фронтального меридиана).

Окружность получится в сечении, если плоскость, пересекая конус, параллельна окружности основания n, а значит, перпендикулярна оси i конуса.

Эллипс получится в сечении, если плоскость не перпендикулярна оси конуса и пересекает все его образующие

Парабола получится в сечении, если плоскость, пересекая конус, проходит параллельно только одной его образующей

Гипербола получится в сечении, если плоскость при пересечении с конусом параллельна одновременно двум образующим конуса

Рассмотрим ещё одну задачу на пересечение поверхностей, из которых одна проецирующая, вторая - непроецирующая. Задача: Построить линию пересечения сферы  и горизонтально проецирующей призмы Г

Алгоритм: 2 ГПЗ, 2 алг. Алгоритм: 2 ГПЗ, 2 алг. 1. Вначале определяем, что должно получиться в результате пересечения. Характер пересечения - частный случай вмятия, с одной общей точкой. Призма - трёхгранная, значит можно рассматривать пересечение сферы тремя отдельными плоскостями: ,  и . Следовательно, линией пересечения является пространственная линия, состоящая из трёх плоских кривых второго порядка: двух дуг эллипсов (   = a,    = b) и одной дуги окружности (   = с). 2. Поскольку поверхность призмы – горизонтально проецирующая, то горизонтальная линия пересечения совпадает с Г1. 3. Фронтальную проекцию линии пересечения сферы с любой из плоскостей, например, Ф, строим по принадлежности сфере. a    а2  2.

Построения начинаем с характерных точек: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Промежуточные точки, находим по принадлежности параллелям сферы. Определяем видимости.

Построения начинаем с характерных точек: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Промежуточные точки, находим по принадлежности параллелям сферы. Определяем видимости.

4. Аналогично строим линию пересечения сферы с плоскостью (: b    b2  2.

Результат пересечения сферы  с плоскостью  - окружность с которая расположена за плоскостью фронтального меридиана, следовательно, с2  2 - невидимая.

Общий результат решения задачи с учётом видимости поверхностей:

Алгоритм:   Г = а, b, с. Г  П1. 2 ГПЗ, 2 алгоритм. 1. Г  П1  а1, b1, с1 = Г1. 2. а2, b2, с2  .

Решение задач в случае, когда обе пересекающиеся фигуры - непроецирующие. 3 алгоритм

В данном случае задача усложняется тем, что на чертеже нет главной проекции ни у одной из пересекающихся фигур. Поэтому для решения таких задач специально вводят вспомогательную секущую поверхность-посредник, которая пересекает обе фигуры, выявляя общие точки. Эта поверхность-посредник может быть проецирующей, и тогда решение задачи можно свести ко 2 алгоритму, или непроецирующей (например, сфера - посредник). Решение первой и второй ГПЗ рассмотрим отдельно.

Решение 1ГПЗ

Задача: Найти точку пересечения плоскости Г(АВС) с прямой а. Определить видимость прямой

1 Алгоритм: Возьмём плоскость-посредник  так, чтобы она включала в себя прямую а и была бы проецирующей, например, относительно П1. Тогда 1 совпадёт с а1

2. Пересекаем проецирующую плоскость  с плоскостью общего положения АВС, результатом будет прямая m. Задачу решаем по 2 алгоритму: m1 совпадает с 1, m2 находим по принадлежности плоскости АВС. m =12  m2 = 1222.

3. m2, пересекаясь с а2, даёт нам точку К2  К1. 4. Видимость прямой а определяем методом конкурирующих точек

Выполним краткую алгоритмическую запись решения задачи:

Такой алгоритм решения приемлем для нахождения точек пересечения любой поверхности с прямой линией. Разница заключается в форме линии m, которая является результатом пересечения плоскости-посредника с заданной поверхностью и зависит от вида поверхности. В рассмотренном примере m - это прямая линия. Если вместо плоскости Г(АВС) возьмём, например, сферу, то линия m будет являться окружностью, которая может проецироваться на какую-либо плоскость проекций в виде эллипса, если с прямой пересекается многогранник, то m - это плоский многоугольник и т.д.

Задача: Найти точки пересечения пирамиды Г(SABC) с прямой а. Определить видимость прямой.

1. Через прямую а проведём плоскость-посредник , проецирующую относительно П2 . 2 = а2

4. Определяем видимость прямой на обеих проекциях. Невидимый участок прямой расположен между точками К и Р.

Алгоритм решения: Г(SABC)  a = K ,P. 1 ГПЗ, 3 алгоритм. 1.  - плоскость-посредник,   а,   П2  2 = a2 2.   Г = m(123). 2 ГПЗ, 2 алг.   П2  m2(12,22,32) = 2; m1(11,21,31)  Г 3. m1(11,21,31)  а1 = К1, Р1  К2, Р2.

Решение 2ГПЗ (в случае пересечения непроецирующих фигур) Рассмотрим алгоритм решения на пространственной модели

Алгоритм решения 1. Ф   = m; 2ГПЗ, 3 алгоритм . 2. Отмечаем очевидные точки пересечения - М и Р. 3. Вводим плоскость-посредник  (как правило - проецирующую.) 4.   Ф = а;    = b; 5. а  b = K. 6. Для построения линии m нужно найти такое количество точек, которое определяет данную линию. Для этого вводим несколько плоскостей-посредников. 7. Определяем видимость линии пересечения m и поверхностей.

Задача: Построить линию пересечения конуса Ф со сферой 

Построения начинаем с характерных точек, не требующих дополнительных построений для их нахождения.

3. Все остальные точки находим одинаково: задаём плоскость-посредник  .

4. Видимость горизонтальной проекции линии пересечения определяют точки А и А', лежащие в плоскости экватора с сферы . На П1 они принадлежат окружности с1.

5. Крайние левые точки В и В' находим в плоскости  ', проходящей через точку встречи левой очерковой образующей конуса с перпендикуляром, проведённым из точки пересечения оси конуса с плоскостью экватора сферы

Конечный результат построений с учётом видимости линии пересечения и самих поверхностей приведен на рис.

Алгоритмическая запись решения: Ф   = m. 2ГПЗ, 3 алгоритм . 1. Точки М и Р    М2; Р2  М1; Р1. 2.  - плоскость-посредник;   П1, 3.   Ф = а  а1;    = b  b1; b1  a1 = K1; K1'  K2; K2'. 4. Аналогично строим остальные точки: m1  m2. 5. Видимость m относительно П1: точки А, А'  с.

Частные случаи пересечения поверхностей вращения второго порядка Пересечение соосных поверхностей вращения

Две соосные поверхности вращения пересекаются по окружностям, плоскости которых перпендикулярны оси вращения: Г   = m; n - окружности

Если центр сферы находится на оси поверхности вращения, то сфера пересечёт эту поверхность по окружностям, плоскости которых перпендикулярны оси вращения: Ф   = m; n - окружности .

Теорема Монжа Если две поверхности вращения второго порядка описаны около третьей поверхности вращения второго порядка, или вписаны в неё, то линия их пересечения распадается на две плоские кривые второго порядка. Причём, плоскости кривых проходят через прямую, соединяющую точки двойного соприкосновения.

Теорема Монжа проиллюстрирована пересечением двух конусов  и Г, в которые вписана сфера Ф.