🗊Презентация Дискретная математика. Теория множеств

Категория: Математика
Нажмите для полного просмотра!
Дискретная математика. Теория множеств, слайд №1Дискретная математика. Теория множеств, слайд №2Дискретная математика. Теория множеств, слайд №3Дискретная математика. Теория множеств, слайд №4Дискретная математика. Теория множеств, слайд №5Дискретная математика. Теория множеств, слайд №6Дискретная математика. Теория множеств, слайд №7Дискретная математика. Теория множеств, слайд №8Дискретная математика. Теория множеств, слайд №9Дискретная математика. Теория множеств, слайд №10Дискретная математика. Теория множеств, слайд №11Дискретная математика. Теория множеств, слайд №12Дискретная математика. Теория множеств, слайд №13Дискретная математика. Теория множеств, слайд №14Дискретная математика. Теория множеств, слайд №15Дискретная математика. Теория множеств, слайд №16Дискретная математика. Теория множеств, слайд №17Дискретная математика. Теория множеств, слайд №18Дискретная математика. Теория множеств, слайд №19Дискретная математика. Теория множеств, слайд №20Дискретная математика. Теория множеств, слайд №21Дискретная математика. Теория множеств, слайд №22Дискретная математика. Теория множеств, слайд №23Дискретная математика. Теория множеств, слайд №24Дискретная математика. Теория множеств, слайд №25Дискретная математика. Теория множеств, слайд №26Дискретная математика. Теория множеств, слайд №27Дискретная математика. Теория множеств, слайд №28
Скачать

Содержание ▲

Вы можете ознакомиться и скачать презентацию на тему Дискретная математика. Теория множеств. Доклад-сообщение содержит 28 слайдов. Презентации для любого класса можно скачать бесплатно. Если материал и наш сайт презентаций Mypresentation Вам понравились – поделитесь им с друзьями с помощью социальных кнопок и добавьте в закладки в своем браузере.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1


Дискретная математика. Теория множеств
Описание слайда:
Дискретная математика. Теория множеств

Слайд 2


Теория множеств Множества Операции над множествами Упорядоченные множества Соответствия Отображения и функции Отношения
Описание слайда:
Теория множеств Множества Операции над множествами Упорядоченные множества Соответствия Отображения и функции Отношения

Слайд 3


Множества. Основные понятия Множество - совокупность определенных, вполне различаемых объектов, рассматриваемых как целое. Элемент множества - отдельный объект множества. Пустое множество  - множество не содержащее элементов. Универсальное множество (универсум) U - множество содержащее все возможные элементы в рамках заданного рассмотрения Мощность множества |M| - количество элементов множества.
Описание слайда:
Множества. Основные понятия Множество - совокупность определенных, вполне различаемых объектов, рассматриваемых как целое. Элемент множества - отдельный объект множества. Пустое множество  - множество не содержащее элементов. Универсальное множество (универсум) U - множество содержащее все возможные элементы в рамках заданного рассмотрения Мощность множества |M| - количество элементов множества.

Слайд 4


Способы задания множеств Перечисление элементов М = {a1, a2, a3, …, ak} M9 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Выделение определяющего свойства M = {x | P(x)} M9 = {n | n & n < 10} Определение порождающей процедуры M = {x | x = f} M9 = {n | for n from 1 to 9 write n}
Описание слайда:
Способы задания множеств Перечисление элементов М = {a1, a2, a3, …, ak} M9 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Выделение определяющего свойства M = {x | P(x)} M9 = {n | n & n < 10} Определение порождающей процедуры M = {x | x = f} M9 = {n | for n from 1 to 9 write n}

Слайд 5


Сравнение множеств Два множества равны между собой, если они состоят из одних и тех же элементов Свойства: для любых трех множеств X, Y, Z верно рефлексивность X = X; (идемпотентность) коммутативность X = Y  Y = X; транзитивность (X = Y) & (Y = Z)  X = Z. Множество X является подмножеством множества Y, если любой элемент множества X принадлежит и множеству Y. XY, если xX и xY; XY, если XY и XY Свойства: рефлексивность X  X транзитивность XY & Y Z, XZ свойства 0 и 1 YU
Описание слайда:
Сравнение множеств Два множества равны между собой, если они состоят из одних и тех же элементов Свойства: для любых трех множеств X, Y, Z верно рефлексивность X = X; (идемпотентность) коммутативность X = Y  Y = X; транзитивность (X = Y) & (Y = Z)  X = Z. Множество X является подмножеством множества Y, если любой элемент множества X принадлежит и множеству Y. XY, если xX и xY; XY, если XY и XY Свойства: рефлексивность X  X транзитивность XY & Y Z, XZ свойства 0 и 1 YU

Слайд 6


Границы множества Если множество конечно и состоит из элементов, сравнимых между собой, то существуют наибольший и наименьший элементы такого множества. Если множество бесконечно и состоит из элементов, сравнимых между собой, то существуют границы этого множества: верхняя и нижняя. S = {xR| a<x<b} S = ]a,b[ a = inf S ('инфинум) b = sup S (супр'емум)
Описание слайда:
Границы множества Если множество конечно и состоит из элементов, сравнимых между собой, то существуют наибольший и наименьший элементы такого множества. Если множество бесконечно и состоит из элементов, сравнимых между собой, то существуют границы этого множества: верхняя и нижняя. S = {xR| a<x<b} S = ]a,b[ a = inf S ('инфинум) b = sup S (супр'емум)

Слайд 7


Теорема о границах Если ВА, то inf В  inf А; sup В  sup А. Доказательство: Пусть b'B и b' = inf B; т.к. ВА  b'А. Пусть a'A и a' = inf A; при этом если a' = b', то b' = a'=inf А; а если a'  b', то b' = inf B > a'=inf А. Пусть b"B и b" = sup B; т.к. ВА  b"А. Пусть a"A и a" = sup A; при этом если b" = a", то a"=sup А = b"=sup B; а если b"  a", то a"=sup А > b".
Описание слайда:
Теорема о границах Если ВА, то inf В  inf А; sup В  sup А. Доказательство: Пусть b'B и b' = inf B; т.к. ВА  b'А. Пусть a'A и a' = inf A; при этом если a' = b', то b' = a'=inf А; а если a'  b', то b' = inf B > a'=inf А. Пусть b"B и b" = sup B; т.к. ВА  b"А. Пусть a"A и a" = sup A; при этом если b" = a", то a"=sup А = b"=sup B; а если b"  a", то a"=sup А > b".

Слайд 8


Операции над множествами Объединение AB = {x |xA  xB} Пересечение AB = {x |xA & xB} Разность A\B = {x |xA & xB} Симметрическая разность A/B = (AB)\(AB ) = {x | (xA & xB)  (xA & xB)} Дополнение = {x | x  A} = U\A, где U - некоторый универсум.
Описание слайда:
Операции над множествами Объединение AB = {x |xA  xB} Пересечение AB = {x |xA & xB} Разность A\B = {x |xA & xB} Симметрическая разность A/B = (AB)\(AB ) = {x | (xA & xB)  (xA & xB)} Дополнение = {x | x  A} = U\A, где U - некоторый универсум.

Слайд 9


Объединение Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В. Свойства рефлексивность А  А = A коммутативность А  В = В  А ассоциативность А  (ВС) = (АВ)  С = А  В  С свойство 0 А   = А свойство 1 А  U = U
Описание слайда:
Объединение Объединением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств А или В. Свойства рефлексивность А  А = A коммутативность А  В = В  А ассоциативность А  (ВС) = (АВ)  С = А  В  С свойство 0 А   = А свойство 1 А  U = U

Слайд 10


Пересечение Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат как множеству А, так и множеству В. Свойства рефлексивность А  А = A коммутативность А  В = В  А ассоциативность А  (ВС) = (АВ)  С = А  В  С свойство 0 А   =  свойство 1 А  U = А
Описание слайда:
Пересечение Пересечением множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат как множеству А, так и множеству В. Свойства рефлексивность А  А = A коммутативность А  В = В  А ассоциативность А  (ВС) = (АВ)  С = А  В  С свойство 0 А   =  свойство 1 А  U = А

Слайд 11


Разность Разностью множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В. Свойства свойство 0 А \  = А  \ А =  свойство 1 А \ U =  U \ А =
Описание слайда:
Разность Разностью множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В. Свойства свойство 0 А \  = А  \ А =  свойство 1 А \ U =  U \ А =

Слайд 12


Симметрическая разность Симметрической разностью множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат объединению множеств А и В, и не принадлежат их пересечению. Свойства коммутативность А / В = В / А ассоциативность А / (В/С) = (А/В) / С = А / В / С свойство 0 А /  = А свойство 1 А / U =
Описание слайда:
Симметрическая разность Симметрической разностью множеств А и В называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат объединению множеств А и В, и не принадлежат их пересечению. Свойства коммутативность А / В = В / А ассоциативность А / (В/С) = (А/В) / С = А / В / С свойство 0 А /  = А свойство 1 А / U =

Слайд 13


Дополнение Дополнением множества А до универсального множества называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат универсальному множеству, и не принадлежат множеству А. Свойства А  = U А  =  инволютивность = А
Описание слайда:
Дополнение Дополнением множества А до универсального множества называется множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат универсальному множеству, и не принадлежат множеству А. Свойства А  = U А  =  инволютивность = А

Слайд 14


Разбиения и покрытия Система множеств X={X1, X2, …,Xn} называется разбиением множества М, если она удовлетворяет условиям: любое множество системы есть подмножество множества М: XiX : XiM, 1in; любые два множества системы являются непересекающимися: XiX, XjX : ij  XiXj= объединение всех множеств системы дает множество М:
Описание слайда:
Разбиения и покрытия Система множеств X={X1, X2, …,Xn} называется разбиением множества М, если она удовлетворяет условиям: любое множество системы есть подмножество множества М: XiX : XiM, 1in; любые два множества системы являются непересекающимися: XiX, XjX : ij  XiXj= объединение всех множеств системы дает множество М:

Слайд 15


Алгебра подмножеств Алгебра = <Базовое множество, Операции> Результат применения любой операции к элементам базового множества также является элементом базового множества Алгебра подмножеств AM = <2U, {, ,\, }> Множество всех подмножеств универсума с операциями объединения, пересечения , разности и дополнения образует алгебру подмножеств множества U.
Описание слайда:
Алгебра подмножеств Алгебра = <Базовое множество, Операции> Результат применения любой операции к элементам базового множества также является элементом базового множества Алгебра подмножеств AM = <2U, {, ,\, }> Множество всех подмножеств универсума с операциями объединения, пересечения , разности и дополнения образует алгебру подмножеств множества U.

Слайд 16


Законы теории множеств Дистрибутивный A  (B  C) = (A  B)  (A  C) A  (B  C) = (A  B)  (A  C) Закон поглощения (A  B)  A = A (A  B)  A = A Законы де Моргана Выражение для разности A \ B = A 
Описание слайда:
Законы теории множеств Дистрибутивный A  (B  C) = (A  B)  (A  C) A  (B  C) = (A  B)  (A  C) Закон поглощения (A  B)  A = A (A  B)  A = A Законы де Моргана Выражение для разности A \ B = A 

Слайд 17


Метод доказательства законов алгебры подмножеств Обозначим алгебраическое выражение над множествами А, В, С как Е(А,В,С). Результат выполнения операций данного выражения есть некоторое множество Е. Пусть Е1 и Е2 два выражения над А,В,С. Чтобы доказать, что Е1=Е2, достаточно показать, что Е1Е2 и Е2Е1. Чтобы доказать, что Е1Е2, нужно убедиться, что из хЕ1 следует хЕ2; и, аналогично, для Е2Е1 – что из хЕ2  хЕ1.
Описание слайда:
Метод доказательства законов алгебры подмножеств Обозначим алгебраическое выражение над множествами А, В, С как Е(А,В,С). Результат выполнения операций данного выражения есть некоторое множество Е. Пусть Е1 и Е2 два выражения над А,В,С. Чтобы доказать, что Е1=Е2, достаточно показать, что Е1Е2 и Е2Е1. Чтобы доказать, что Е1Е2, нужно убедиться, что из хЕ1 следует хЕ2; и, аналогично, для Е2Е1 – что из хЕ2  хЕ1.

Слайд 18


Пример доказательства A \ B = A  E1= A \ B, E2= A  . xE1  [по определению разности] xA & xB, если xB, но xU, значит x , и в то же время xA, следовательно, x A  = E2, значит E1 E2. xE2  [по определению пересечения] xA & x , если x , но xU, значит xB, и в то же время xA, следовательно, x A \ В = E1, значит E2 E1. Так как, было показано, что E1 E2 & E2 E1,  E1= E2. Тождество доказано. 
Описание слайда:
Пример доказательства A \ B = A  E1= A \ B, E2= A  . xE1  [по определению разности] xA & xB, если xB, но xU, значит x , и в то же время xA, следовательно, x A  = E2, значит E1 E2. xE2  [по определению пересечения] xA & x , если x , но xU, значит xB, и в то же время xA, следовательно, x A \ В = E1, значит E2 E1. Так как, было показано, что E1 E2 & E2 E1,  E1= E2. Тождество доказано. 

Слайд 19


Структурированное множество Кортеж - последовательность элементов, или совокупность элементов, в которой каждый элемент занимает определенное место. Элементы данной совокупности называются компонентами кортежа. Обозначение: (а1, а2, …, аn) - кортеж длины n с компонентами а1, …, аn. ( ) =  - пустой кортеж. Примеры: множество слов во фразе; (x,y) - координаты точки на плоскости; запись в таблице базы данных. Отличие от обычного множества: кортеж может содержать одинаковые по значению компоненты, например, точка с координатой (5,5).
Описание слайда:
Структурированное множество Кортеж - последовательность элементов, или совокупность элементов, в которой каждый элемент занимает определенное место. Элементы данной совокупности называются компонентами кортежа. Обозначение: (а1, а2, …, аn) - кортеж длины n с компонентами а1, …, аn. ( ) =  - пустой кортеж. Примеры: множество слов во фразе; (x,y) - координаты точки на плоскости; запись в таблице базы данных. Отличие от обычного множества: кортеж может содержать одинаковые по значению компоненты, например, точка с координатой (5,5).

Слайд 20


Вектор. Гиперпространство. Вектор (точка пространства) - кортеж, элементами которого являются вещественные числа. Пространство, определяемое n-мерными векторами, называют n-мерным пространством (пространством n измерений) или гиперпространством.
Описание слайда:
Вектор. Гиперпространство. Вектор (точка пространства) - кортеж, элементами которого являются вещественные числа. Пространство, определяемое n-мерными векторами, называют n-мерным пространством (пространством n измерений) или гиперпространством.

Слайд 21


Проекция вектора Если кортеж (а1,а2) рассматривать как вектор, проведенный из начала координат в данную точку (а1,а2), то компоненты а1, а2 будут проекциями вектора на оси координат. ПрХ(а1,а2) = а1. ПрY(а1,а2) = а2. Если а = (а1, а2, …,аn) - вектор гиперпространства, то Прi a = аi, i= 1, 2, …,n; Прi,j,…,k a = (аi, аj, …, аk), где i, j, …,k номера осей, такие что, 1  i < j < … < k  n; Пр a = .
Описание слайда:
Проекция вектора Если кортеж (а1,а2) рассматривать как вектор, проведенный из начала координат в данную точку (а1,а2), то компоненты а1, а2 будут проекциями вектора на оси координат. ПрХ(а1,а2) = а1. ПрY(а1,а2) = а2. Если а = (а1, а2, …,аn) - вектор гиперпространства, то Прi a = аi, i= 1, 2, …,n; Прi,j,…,k a = (аi, аj, …, аk), где i, j, …,k номера осей, такие что, 1  i < j < … < k  n; Пр a = .

Слайд 22


Прямое произведение множеств Прямым (декартовым) произведением множеств А и В, называется множество АВ, состоящее из всех тех и только тех упорядоченных пар, первая компонента которых принадлежит множеству А, вторая - В. АВ = {(a,b) | aA & bB}. А1А2...Аn = {(a1,a2,…,an) | aiAi , i=1, 2, …, n}. Свойства: декартово произведение не коммутативно: АВ  BA. декартово произведение есть пустое множество, если один из сомножителей - пустое множество: АВ =   A=   B= .
Описание слайда:
Прямое произведение множеств Прямым (декартовым) произведением множеств А и В, называется множество АВ, состоящее из всех тех и только тех упорядоченных пар, первая компонента которых принадлежит множеству А, вторая - В. АВ = {(a,b) | aA & bB}. А1А2...Аn = {(a1,a2,…,an) | aiAi , i=1, 2, …, n}. Свойства: декартово произведение не коммутативно: АВ  BA. декартово произведение есть пустое множество, если один из сомножителей - пустое множество: АВ =   A=   B= .

Слайд 23


Степень множества Степенью множества А называется его прямое произведение самого на себя: Аn = AA... A. Соответственно, А0 = {}; А1 = A; А2 = AA; Аn = AAn-1. Теорема: |A  B| = |A||B|. Доказательство: 1-й компонент кортежа (а,b) можно выбрать |A| способами, 2-й компонент - |B| способами. Таким образом, имеется всего |A||B| различных кортежей (a,b). . Следствие: | Аn | = |A|n.
Описание слайда:
Степень множества Степенью множества А называется его прямое произведение самого на себя: Аn = AA... A. Соответственно, А0 = {}; А1 = A; А2 = AA; Аn = AAn-1. Теорема: |A  B| = |A||B|. Доказательство: 1-й компонент кортежа (а,b) можно выбрать |A| способами, 2-й компонент - |B| способами. Таким образом, имеется всего |A||B| различных кортежей (a,b). . Следствие: | Аn | = |A|n.

Слайд 24


Проекция множества Пусть А - множество, состоящее из кортежей длины n, тогда проекцией множества А называют множество проекций кортежей из А. (операция проекции может применяться только к таким множествам, элементами которых являются кортежи одинаковой длины). Если А = XY, то Пр1А = Х, Пр2А = Y. Если А  XY, то Пр1А  Х, Пр2А  Y.
Описание слайда:
Проекция множества Пусть А - множество, состоящее из кортежей длины n, тогда проекцией множества А называют множество проекций кортежей из А. (операция проекции может применяться только к таким множествам, элементами которых являются кортежи одинаковой длины). Если А = XY, то Пр1А = Х, Пр2А = Y. Если А  XY, то Пр1А  Х, Пр2А  Y.

Слайд 25


Соответствия Соответствие - это множество пар вида (a,b), образующихся при сопоставлении заданным образом элементов множества А элементам множества В,и сами сопоставляемые множества А и В. q = (A, B, Q), QAB. ПрАQ  A называется областью определения соответствия, или источником соответствия. ПрВQ  В называется областью значений соответствия, или приемником. Множество пар Q, определяющих соответствие, называется графиком соответствия.
Описание слайда:
Соответствия Соответствие - это множество пар вида (a,b), образующихся при сопоставлении заданным образом элементов множества А элементам множества В,и сами сопоставляемые множества А и В. q = (A, B, Q), QAB. ПрАQ  A называется областью определения соответствия, или источником соответствия. ПрВQ  В называется областью значений соответствия, или приемником. Множество пар Q, определяющих соответствие, называется графиком соответствия.

Слайд 26


Способы задания соответствия В виде описания в соответствии с определением А={красный, желтый, зеленый}; B={стоять, идти}; Q={(красный, стоять),(зеленый, идти)} Графически В виде матрицы
Описание слайда:
Способы задания соответствия В виде описания в соответствии с определением А={красный, желтый, зеленый}; B={стоять, идти}; Q={(красный, стоять),(зеленый, идти)} Графически В виде матрицы

Слайд 27


Обратное соответствие Соответствие, обозначаемое как q-1 = (B, A,Q-1), где Q-1 BA, является обратным для соответствия q=(A,B,Q), где QAB, и получается, если данное соответствие q рассматривать в обратном направлении. Пример: А={красный, желтый, зеленый}; B={стоять, идти}; Q={(красный, стоять),(зеленый, идти)}. Q-1={(стоять, красный),(идти, зеленый)}. Свойства: (q-1)-1 = q.
Описание слайда:
Обратное соответствие Соответствие, обозначаемое как q-1 = (B, A,Q-1), где Q-1 BA, является обратным для соответствия q=(A,B,Q), где QAB, и получается, если данное соответствие q рассматривать в обратном направлении. Пример: А={красный, желтый, зеленый}; B={стоять, идти}; Q={(красный, стоять),(зеленый, идти)}. Q-1={(стоять, красный),(идти, зеленый)}. Свойства: (q-1)-1 = q.

Слайд 28


Композиция соответствий Композиция соответствий - это операция с 3-мя множествами А, В, С, на которых заданы два соответствия q = (A, B, Q), где QAB и р = (В, С, Р), где Р BC, причем область значений первого соответствия q совпадает с областью определения второго р Пр2Q = Пр1Р. Обозначение: q(p) = (A, C, QP), QP  A  C.
Описание слайда:
Композиция соответствий Композиция соответствий - это операция с 3-мя множествами А, В, С, на которых заданы два соответствия q = (A, B, Q), где QAB и р = (В, С, Р), где Р BC, причем область значений первого соответствия q совпадает с областью определения второго р Пр2Q = Пр1Р. Обозначение: q(p) = (A, C, QP), QP  A  C.

Скачать

Похожие презентации
Mypresentation.ru
Загрузить презентацию