🗊Презентация Элементы теории вероятностей

Тема: Элементы теории вероятностей лекция для студентов 1 курса

План лекции: Актуальность темы. Немного из истории. Виды событий. Случайное событие. Алгебра событий. Классическое определение вероятности события. Статистическое определение вероятности события. Комбинаторика. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Формула Бернулли. Выводы.

Тема «Элементы теории вероятностей» является основополагающей при изучении основных разделов математической статистики, без которой невозможна количественная оценка научных и практических данных.

Человечество всегда стремилось к некоторого рода предсказаниям. Любая наука основана на этом. Однако предвидение фактов не может быть абсолютным, каким бы обоснованным оно не казалось. У нас не может быть абсолютной уверенности в том, что наше предвидение не будет опровергнуто опытом. Человечество всегда стремилось к некоторого рода предсказаниям. Любая наука основана на этом. Однако предвидение фактов не может быть абсолютным, каким бы обоснованным оно не казалось. У нас не может быть абсолютной уверенности в том, что наше предвидение не будет опровергнуто опытом.

Возникновение теории вероятностей как науки относят к средним векам и первым попыткам математического анализа азартных игр (орлянка, кости, рулетка). Возникновение теории вероятностей как науки относят к средним векам и первым попыткам математического анализа азартных игр (орлянка, кости, рулетка).

Возникновение теории вероятностей относится к середине XVII века и связано с исследованиями Паскаля (1623 - 1662), Ферма (1601 - 1665) и Гюйгенса (1629 - 1695) в области теории азартных игр. В этих работах постепенно сформировались такие важные понятия, как вероятность и математическое ожидание; были установлены их основные свойства и приемы их вычисления. Возникновение теории вероятностей относится к середине XVII века и связано с исследованиями Паскаля (1623 - 1662), Ферма (1601 - 1665) и Гюйгенса (1629 - 1695) в области теории азартных игр. В этих работах постепенно сформировались такие важные понятия, как вероятность и математическое ожидание; были установлены их основные свойства и приемы их вычисления.

Случайные события – одно из главных понятий, которым оперирует теория вероятности. Случайные события – одно из главных понятий, которым оперирует теория вероятности. Виды случайных событий: Несовместные это события, которые не могут одновременно произойти в одном испытании. Равновозможными называются события, если условия опыта обеспечивают одинаковую возможность появления каждого из них. Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания обязательно появление хотя бы одного из них. Два события (А и А) называются противоположными, если появление одного из них равносильно не появлению другого. А - противоположное событие (читается «не А»)

Алгебра событий Суммой (объединением) событий называется новое событие состоящее в осуществлении хотя бы одного из них. А+В А «или» В Произведением (совмещением) двух событий называется новое событие, состоящее в совместном осуществлении всех этих событий. А*В А«и»В

Пример: Пример: В поле наблюдения микроскопа находятся четыре клетки. За время наблюдения каждая из них может как разделиться, так и нет. Рассматриваются события: А – разделилась ровно одна клетка В – разделилась хотя бы одна клетка С – разделилось не менее двух клеток D – разделились ровно две клетки E – разделились ровно три клетки F – разделились ровно четыре клетки В чем состоят события: 1) А+B; 2) АB; 3) В+C; 4) ВC; 5) D+E+F; 6) BF?

Пример: Из множества обследованных детей наугад выбирается одна пара. События: Пример: Из множества обследованных детей наугад выбирается одна пара. События: А – первый ребенок болел коклюшем; В – второму ребенку сделана прививка; С – второй ребенок тоже болел коклюшем. Выяснить смысл событий: АС, ВС, АВС, , , А+С.

Классическое определение вероятности Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию элементарных исходов(m) к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов (n), образующих полную группу. Обозначается Р(А).

Статистическое определение вероятности Относительной частотой W(А) события А называется отношение числа опытов (m), в которых появилось событие А, к общему числу произведенных опытов (n). Относительная частота меняется для данного события мало – тем меньше, чем больше число испытаний. Вероятностью события А называют число, к которому стремится относительная частота события А при увеличении числа испытаний.

Комбинаторика

Теоремы сложения и умножения вероятностей Теорема1. Вероятность суммы двух или нескольких несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий. Р(А+В)=Р(А)+Р(В) Следствие: Вероятность суммы противоположных событий равна единице. Р(А+А)=1 Замечание: Сумму вероятностей совместных событий находить сложно, поэтому лучше вычислить вероятность через противоположное событие

Теорема 2. Теорема 2. Вероятность произведения двух или нескольких зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности остальных. P(A*В)=P(A)*P(B/А) Следствие: Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Р(А*В)=Р(А)*Р(В)

Теорема Бернулли. Теорема Бернулли. Пусть вероятность появления события A в каждом опыте постоянна и равна р. Тогда вероятность того, что в n независимых испытаниях событие A появится ровно k раз, рассчитывается по формуле: где - число сочетаний, q=1-p

Вывод: Важнейшим понятием математики является понятие функции, но почти всегда речь шла об однозначной функции, у которой одному значению аргумента соответствует только одно значение функции и функциональная связь между ними четко определенная. Однако в реальности происходят случайные явления, и многие события имеют не определенный характер связей. Поиск закономерностей в случайных явлениях - это задача раздела математики теория вероятности. Теория вероятности является инструментом для изучения скрытых и неоднозначных связей различных явлений во многих отраслях науки, техники и экономики.  Также теория вероятности является основой такой науки как статистика.