🗊Презентация Математический анализ

Математический анализ (ю) Лекция -1

Введение • Математика зародилась в глубокой древности и к настоя- щему времени проникла во многие сферы человеческий деятельности. Математические методы давно и успешно используются в таких точных науках как механика, физика, астрономия и находят широкое применение в технике. • Со второй половины XX в. приложения математики начали интенсивно внедряться в химию, биологию, медицину, пси-хологию, лингвистику, социологию и другие гуманитарные науки. Стали привычными сочетания слов “математическая экономика”, “математическая биология”, “математическая лингвистика”. Поэтому современный инженер немыслим без прочного и всестороннего союза с математикой.

Введение • В чем же суть инженерной математики ? В общих чертах ее суть проявляется в практических прило- жениях математики. Например, для конкретного физического объекта или явления строят абстрактный геометрический образ и/или определенное логическое соотношение и далее подбирают готовую модель в виде уравнений и формул, затем средствами математического аппарата анализируют ее. • Результаты анализа проверяют с реальностью и в случае расхождения уточняют модель или создают новую. В то же время математическое моделирование позволяет не только рассчитывать параметры реальных объектов, но и делать открытия в реальной действительности. Например, в астрономии Леверье в 1846 г. открыл – предсказал – планету Нептун по рассчитанным отклонениям планеты Уран. Аналогично в 1930 г. открыли планету Плутон

Теорема Теорема • Логические символы и кванторы общности широко исполь-зуются в математике при записи предложений, выражающих мысли и представляющих собой свойства математических объектов. Однако следует отметить, что часть предложений приходится выражать словами. К ним относятся такие понятия как теорема. В общем случае любая теорема состоит в задании некоторого свойства А , называемого условием, из которого выводят свойство В , называемого заключением • В отличие от теоремы аксиома – утверждение, истинность которого принимается (в основном, на основе практики).

• Множество • Множество понятие множество принадлежит к числу основных математических понятий. Оно строго не определено, но может быть пояснено на примерах: множество учащихся одного выпуска, множество всех книг, составляющих данную библиотеку, множество всех точек данного отрезка прямой, множество всех решений данного уравнения и т.д. • Множество будем обозначать заглавными буквами А, B , C, …, X, Y, Z , а их элементы – прописными a , b , c , …, x , y , z ; x является элементом множества Е обозначают x  Е . Запись x  Е означает, что x не принадлежит множеству Е Два множества и называют равными = , если они состоят из одних и тех же элементов. Множество можно задавать перечислением элементов: А = {1, 2, 3, 5}.

Функции

Раздел 8

Раздел 10 Тригонометрические ф-ии не являются взаимно-однозначными Для определения обратных им ф-ий необходимо из области их определения на множестве Х выделить подмножество Х 1  Х, где они являются взаимно-однозначными, как ф-ии из Х 1 в  : Х 1 = [-/2; /2] - y = sin x Х 1 = [ 0; ] - y = cos x Х 1 = (-/2; /2) - y = tg x Х 1 = ( 0;  ) - y = ctg x Функции arcsin x , arccos x определены на отрезке [-1,1] , а arctg x , arcctg x на числовой прямой.

Числовая последовательность Числовая последовательность Часто последовательность задается формулой для вычисления ее элементов по их номерам : 1, 1/2 , 1/3 , …,1/n – функция натурального аргумента : xn = f(n) Определение: число a наз. пределом последовательности xn, если ε > 0 N = N(ε) : ( n > N  |x n – a | < ε ) Обозначение : Определение: последовательность x n, имеющая предел a называется сходящейся ( к числу a ) , а не имеющая предел – расходящейся. Примеры (1) : , т.е. a = 0 . Поскольку выражение | 1/n – 0 | = 1/n < ε выполнено  n > 1/ε = N(ε) N(ε) – не обязательно целое, n – номер, обязательно целое. (2) : x n – стационарная последовательность, x n = a . n  ; т.к. n  |x n – a | = | a – a | = 0 < ε

Геометрическая интерпретация Геометрическая интерпретация

Замечание. Обратное неверно, например, r

Число a наз. пределом последовательности x 1, x 2, x 3, …, x n, … Число a наз. пределом последовательности x 1, x 2, x 3, …, x n, … , если для любого ε > 0 существует число N = N(ε) такое, что |x n – a| < ε при n > N . Пример: показать, что Составим разность если n > 1/ε – 1 = N(ε) . Таким образом, для каждого положительного числа ε найдется число N = 1/ε – 1 такое, что при n > N будет иметь место неравенство n > 1/ε – 1 . Следовательно, число a = 2 является пределом

Определение : функция f(x)  A при x  a (A, a - числа), Определение : функция f(x)  A при x  a (A, a - числа), если для любого  > 0 существует δ = δ(ε) > 0 такое, что . | f(x) – A| <  при 0 < |x – a | < δ Аналогично, если |f(x) – A| <  при |x| > N () 1. 2. 3.

Непрерывные функции .

. .